专题09 利用锐角三角函数解实际问题(含答案)-备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练

备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题09利用锐角三角函数解实际问题【典型例题】1．(2022·辽宁沈河·九年级期末)如图是我们日常生活中经常使用的订书器，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动．在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝cm．(1)如图1，当∠ABC＝45°，BE＝12cm时，求连接杆DE的长度；(结果保留根号)(2)现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离．(结果保根号)【专题训练】选择题1．(2022·山东历下·九年级期末)如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为4m，则的长度为()A．8m B．m C．m D．m2．(2022·山东历下·九年级期末)我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为()(参考数据：，)A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米3．(2022·江苏通州·九年级期末)如图，要测量山高，可以把山坡“化整为零”地划分为和两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长，，测得坡角，，则山高为(

)A． B．C． D．4．(2022·山东历城·九年级期末)如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，米，米，则宣传牌CD的高度是(

)米A． B． C． D．二、填空题5．(2022·江苏海门·九年级期末)如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为______m．6．(2022·北京房山·九年级期末)如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60，看这栋高楼底部的俯角为30，热气球与高楼的水平距离为60m，这栋楼的高度是___________m．7．(2022·河北·石家庄二十三中九年级期末)第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒．此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45°方向．(1)此时A到B的距离是_____；(2)该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为_____．(提示：sin15°)．8．(2022·浙江婺城·九年级期末)图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2(忽略跑步机的厚度)．该跑步机由支杆AB(点A固定)，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．(1)BE＝_____cm；(2)当滑动端点E与点A的距离EA＝_____cm时，察看仪表盘视角最佳．三、解答题9．(2021·浙江诸暨·九年级期末)为有效预防新型冠状病毒的传播，如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？(注：额头到地面的距离以身高计)(参考数据：，结果精确到0.01米)10．(2022·重庆荣昌·九年级期末)如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)(1)求点B距水平地面AE的高度；(2)求广告牌CD的高度．11．(2022·山东泰山·九年级期末)如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为，楼间距为．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，1号楼在2号楼墙面上的影高为；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，1号楼在2号楼墙面上的影高为．已知．(1)求楼间距；(2)若2号楼共30层，层高均为，则点位于第几层？12．(2022·浙江鄞州·九年级期末)如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，2小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．(参考数据：)(1)求处距离小岛的距离(精确到海里)；(2)为安全起见，渔船在处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？13．(2022·山东商河·九年级期末)一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度，假设AB所在的直线为地面，已知，当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的的位置时，由变为．(1)你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？(参考数据：，)(2)已知点O为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点O到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适．请你求出此时枕部E到地面的高度．14．(2021·山东张店·九年级期中)在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳篷，如图①．现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳篷，如图②所示，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°．图②中表示窗户的高，表示直角形遮阳篷．(1)怎样设计遮阳篷，才能正好在冬天正午太阳最低时使光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时使光线刚好不射入室内？请在图③中画图表示；(2)已知，在(1)的条件下，求出，的长度．(精确到1cm)(参考数据：，，，，，)15．(2022·重庆南开中学九年级期末)如图，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB坡度，且米，米，于点C，(A，B，C，D，E，F均在同一平面内，)．(1)求平台上点B到山体底部底面AE的距离；(2)求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．(精确到1米，参考数据：，，)16．(2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末)图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE(90°≤∠BAE≤150°)，同时杆EF始终与地面BD保持平行．(参考数据：≈1.414，≈1.732)(1)当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离(结果精确到0.01m)；(2)试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？17．(2022·重庆南开中学九年级期末)如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于点C(A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AE∥BF)．(1)求平台上点B到山体底部地面AE的距离；(2)求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．(精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)18．(2022·重庆·西南大学附中九年级期末)重庆移动为了提升网络信号，在坡度为的山坡AD上加装了信号塔PQ(如图所示)，信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距高斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．(1)求点Q所在位置的铅直高度；(2)请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．(参考数据：，，，结果精确到0.1米)19．(2022·重庆八中九年级期末)小明家的新建房子从正面看为一轴对称图形(图1)，图2是它的正面示意图，为测量房子的高度，小明在地面P处测得房顶B的仰角为30°，且此时地面P、房檐C、房顶B恰好在一条直线上，继续向前走13米到达点Q，又测得房顶B的仰角为22°．已知M，N，P，Q在同一水平线上，，．(参考数据：，，，)(1)求房顶B到横梁AC的距离(结果保留根号)；(2)求房顶B到地面MN的距离(结果精确到0.1m)．20．(2021·江苏·开明中学九年级期末)图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度：(2)直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离cm．21．(2021·辽宁皇姑·九年级期末)如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图(MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂)，若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．(1)如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长(结果保留根号)；(2)若(1)中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．(结果保留根号)22．(2021·甘肃·九年级专题练习)如图①，太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘．如图②是该太极揉推器的左视图，立柱AB的长为125cm，支架OC的长为40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm，支架OC与立柱AB的夹角∠OCA＝120°，转盘的直径DE、PQ为60cm，点O是DE的中点，支架OC与转盘直径DE垂直．(1)求直径DE与直径PQ所在直线的夹角；(2)求转盘的最低点E距离地面的距离．23．(2022·上海徐汇·九年级期末)如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．(1)当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；(2)点A处的转轴与后车轮转轴(点E处)的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．(精确到0.1米，参考值：，，，)24．(2021·山东文登·九年级期中)图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5cm．(参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，)(1)求∠ABC的度数；(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位)备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题09利用锐角三角函数解实际问题【典型例题】1．(2022·辽宁沈河·九年级期末)如图是我们日常生活中经常使用的订书器，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动．在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝cm．(1)如图1，当∠ABC＝45°，BE＝12cm时，求连接杆DE的长度；(结果保留根号)(2)现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离．(结果保根号)【答案】(1)连接杆的长度为；(2)．【解析】【分析】(1)过点D作DM⊥AB交AB与点M，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可求出DM、BM的长度，在Rt△DEM中，利用勾股定理可求出DE的长；(2)在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，结合(1)中BE的长度即可求出点E滑动的距离．【详解】解(1)在图1中，过点D作DM⊥AB交AB与点M，在Rt△BDM中，DM=BD•sin45°=，BM=BD•cos45°=，在Rt△DEM中，∠DME=90°，DM=4，EM=BE-BM=8，∴DE=∴连接杆DE的长度为；(2)在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BD=，DE=，∴BE=

∴在此过程中点E滑动的距离为cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形以及灵活使用勾股定理是解决问题的关键．【专题训练】选择题1．(2022·山东历下·九年级期末)如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为4m，则的长度为()A．8m B．m C．m D．m【答案】B【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC即可．【详解】根据题意可知，∴，解得：m，故选B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡比问题，掌握坡比的概念是解题的关键．2．(2022·山东历下·九年级期末)我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为()(参考数据：，)A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米【答案】D【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AD=5(千米)，再由锐角三角函数定义求出PD、BD的长，即可得出答案．【详解】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=，∴AD=AP=×10=5(千米)，PD=AP•cos30°=10×=5(千米)，在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=，∴BD=PD•tan45°=5×1=5(千米)，∴AB=BD-AD=5-5≈8.5-5=3.5(千米)，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．3．(2022·江苏通州·九年级期末)如图，要测量山高，可以把山坡“化整为零”地划分为和两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长，，测得坡角，，则山高为(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABF中根据∠BAF=30°得出BF的长，从而得到DE的长，再在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和DE的和即可．【详解】解：∵BE⊥CD，BF⊥AD，∠D=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF=DE，∵AB=600，∠BAF=30°，∴DE=BF=AB=300米，在Rt△BCE中，∵BC=200米，∠CBE=45°，∴CE=BC·sin∠CBE=800×=400(米)，∴CD=300+400(米),故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答问题．4．(2022·山东历城·九年级期末)如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，米，米，则宣传牌CD的高度是(

)米A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，在Rt△ABG中，由已知可求得BG、AG的长，从而可易得EF及EG、BF的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF的长度，在Rt△DAE中，由正切函数关系可求得DE的长度，从而可求得CD的长度．【详解】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，如图在Rt△ABG中，∠BAG=30゜∴米，(米)∴米∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED

∴四边形BGEF是矩形∴EF=BG=5米，米∵∠CBF=45゜，BF⊥ED∴∠BCF=∠CBF=45゜∴米在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米∴(米)∴米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．二、填空题5．(2022·江苏海门·九年级期末)如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为______m．【答案】【解析】【分析】由题意知，有，，可得，，根据计算求解即可．【详解】解：由题意知∴解得∴∴解得故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于确定线段的数量关系．6．(2022·北京房山·九年级期末)如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60，看这栋高楼底部的俯角为30，热气球与高楼的水平距离为60m，这栋楼的高度是___________m．【答案】【解析】【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，根据，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD，CD就可以．【详解】解：在Rt△ABD中，，，AD=60m，∴．在Rt△ACD中，，，∴．∴故答案为：．【点睛】此题主要考查了仰角俯角问题，利用三角函数关系解直角三角形是解题的关键．7．(2022·河北·石家庄二十三中九年级期末)第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒．此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45°方向．(1)此时A到B的距离是_____；(2)该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为_____．(提示：sin15°)．【答案】

18nmile

nmile##nmile【解析】【分析】如图，过作于先由路程等于速度乘以时间求解再利用sin15°求解再设而再利用建立方程，再解方程，从而可得答案.【详解】解：如图，过作于由题意可得：设则设而解得：经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为：nmile.故答案为：18nmile，nmile.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用的值求解是解本题的关键.8．(2022·浙江婺城·九年级期末)图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2(忽略跑步机的厚度)．该跑步机由支杆AB(点A固定)，点E在滑槽AC上滑动．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；打开时，若滑动杆EF与AD夹角的正切值为2，则察看点F处的仪表盘视角为最佳．(1)BE＝_____cm；(2)当滑动端点E与点A的距离EA＝_____cm时，察看仪表盘视角最佳．【答案】

65

【解析】【分析】(1)根据收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合；可得AB＝FB，EF＝AC，利用已知数据计算即可；(2)过点B作BM⊥AC，垂足为M，解直角三角形即可．【详解】解：(1)∵收纳时，滑动端点E向右滑至点C，点F与点A重合，∴AB＝FB＝60cm，EF＝AC＝125cm，∴BE＝EF-FB＝65cm，故答案为：65；(2)过点B作BM⊥AC，垂足为M，∵察看仪表盘视角最佳，∴，∴，即解得，cm；cm；cm；EA＝cm；故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，准确解直角三角形．三、解答题9．(2021·浙江诸暨·九年级期末)为有效预防新型冠状病毒的传播，如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？(注：额头到地面的距离以身高计)(参考数据：，结果精确到0.01米)【答案】1.63米【解析】【分析】延长BC交AD于点E，设AE=x米，通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据得到，解得即可求出AE进而即可求出CN．【详解】解：延长BC交AD于点E，设AE=x米，(米)(米)(米)解得(米)(米)答：小聪的身高CN为1.63m．【点睛】此题考查了直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形．10．(2022·重庆荣昌·九年级期末)如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)(1)求点B距水平地面AE的高度；(2)求广告牌CD的高度．【答案】(1)6米(2)约为米【解析】【分析】(1)过点作于点，先根据坡度的定义可得，从而可得，再根据直角三角形的性质即可得；(2)过点作于点，作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据即可得．(1)解：如图，过点作于点，山坡的坡度，米，，，米，故点距水平地面的高度为6米．(2)解：如图，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，米，米，米，米，米，在中，，，米，米，在中，，米，，解得(米)，(米)，答：广告牌的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．11．(2022·山东泰山·九年级期末)如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为，楼间距为．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，1号楼在2号楼墙面上的影高为；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，1号楼在2号楼墙面上的影高为．已知．(1)求楼间距；(2)若2号楼共30层，层高均为，则点位于第几层？【答案】(1)(2)点位于21层【解析】【分析】(1)构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．(2)只需计算出CA的高度即可求出楼层数．(1)过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，∴由题意可知：设，在中，，

，

同理可得：在中，，，由，可得，解得：楼间距，(2)由(1)可得：，由于2号楼每层3米，可知点位于21层．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段．12．(2022·浙江鄞州·九年级期末)如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，2小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．(参考数据：)(1)求处距离小岛的距离(精确到海里)；(2)为安全起见，渔船在处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？【答案】(1)22.6海里(2)能安全通过．【解析】【分析】(1)根据方向角的定义得出∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，在两个直角三角形中，由直角三角形的边角关系可求出CM，进而求出BC；(2)求出点C到BE的距离CN的值，比较得出答案．(1)解：如图，过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由题意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝CM＝16≈22.6(海里)，答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里；(2)解：在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC•sin∠CBN≈16×0.94≈21.2(海里)，∵21.2＞20，∴能安全通过，答：能安全通过．【点睛】本题考查直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．13．(2022·山东商河·九年级期末)一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆CD的位置来调节躺椅舒适度，假设AB所在的直线为地面，已知，当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的的位置时，由变为．(1)你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？(参考数据：，)(2)已知点O为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点O到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适．请你求出此时枕部E到地面的高度．【答案】(1)调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约；(2)枕部E到地面的高度为【解析】【分析】(1)过点E作，交AB的延长线于点F．利用锐角三角函数，即可求解；(2)通过解直角三角形AEF可得结论．(1)如图，过点E作，交AB的延长线于点F．当时，，此时．当时，，此时．所以调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约．(2)因为点O为AE的一个三等分点，所以．如图，过点O作，垂足为P．设当人体感觉最舒适时，，则，所以．所以当人体感觉最舒适时，枕部E到地面的高度为78cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程，正确构造直角三角形．14．(2021·山东张店·九年级期中)在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳篷，如图①．现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳篷，如图②所示，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°．图②中表示窗户的高，表示直角形遮阳篷．(1)怎样设计遮阳篷，才能正好在冬天正午太阳最低时使光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时使光线刚好不射入室内？请在图③中画图表示；(2)已知，在(1)的条件下，求出，的长度．(精确到1cm)(参考数据：，，，，，)【答案】(1)见解析(2)BC、CD的长度分别约为30cm、45cm．【解析】【分析】(1)夏天，光线最高经过点A，冬天，光线最低经过点B．应过点A作与水平线成76°的角，过B作∠CBD＝56°与76°的角交于点D，过D向AB引垂线，垂足为C即可；(2)应利用直角三角函数表示出AC，BC长，利用相关的关系即可求得所求线段长度．(1)解：过点A作与水平线成76°的角，过B作∠CBD＝56°与76°的角交于点D，过D向AB引垂线，垂足为C；如图：遮阳篷即为所求；(2)解：如图，设BC＝x，CD＝y．在Rt△ADC和Rt△DBC中，由题意，得∴150+y•tan34°＝y•tan76°∴(cm)x＝y•tan34°≈30(cm)．答：BC、CD的长度分别约为30cm、45cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当设未知数，利用三角函数建立线段之间的关系，列方程求解．15．(2022·重庆南开中学九年级期末)如图，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB坡度，且米，米，于点C，(A，B，C，D，E，F均在同一平面内，)．(1)求平台上点B到山体底部底面AE的距离；(2)求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．(精确到1米，参考数据：，，)【答案】(1)米(2)100米【解析】【分析】(1)过点作，根据AB坡度，且米，设，则，进而求得，即可求得，进而求得；(2)延长交于点，解直角三角形,进而即可求得,(1)解：如图，过点作，AB坡度，且米，设，则，米，米米即平台上点B到山体底部底面AE的距离为48米(2)解：如图，延长交于点，,，四边形是矩形则米，米，在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，即，在中，米米即摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．16．(2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末)图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE(90°≤∠BAE≤150°)，同时杆EF始终与地面BD保持平行．(参考数据：≈1.414，≈1.732)(1)当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离(结果精确到0.01m)；(2)试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？【答案】(1)2.26米；(2)不能，理由见解析．【解析】【分析】(1)作，交BD于点M，AC于点N．根据题意结合作图可知，．再由∠BAE为时，可求出，即可判断为等腰直角三角形，在根据勾股定理即可求出EN的值，从而可求出EM的值，即杆EF与地面BD之间的距离；(2)当张角∠BAE最大，为时，可通过车辆的宽度和高度都是最大的，如图，在BD上截取DP=1.8m，再过点P作，交AC于点Q，PQ延长线交AE于点G．由作图可知，．再根据，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出，即符合G点在AE上．最后根据锐角三角函数解直角三角形可求出的大小，从而求出GP的大小，与该小型厢式货车的高度作比较即可．(1)如图，作，交BD于点M，AC于点N．根据题意可知，∴，∴四边形为矩形，∴，．当张角∠BAE为时，，∴为等腰直角三角形，∴，∴故杆EF与地面BD之间的距离为2.26米．(2)当张角∠BAE最大，为时，可通过车辆的宽度和高度都是最大的，如图，在BD上截取DP=1.8m，再过点P作，交AC于点Q，PQ延长线交AE于点G．同理由作图可知．∵，∴，即．∵DP=1.8m，∴，∴，符合G点在AE上．∴在中，，∴故该小型厢式货车不能正常通过此道闸．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的实际应用等知识．理解题意，作出合适的辅助线是解答本题的关键．17．(2022·重庆南开中学九年级期末)如图1，在集美景与科技于一体的重庆融创渝乐小镇，有一座号称“山城之光”的摩天轮建在山体上．如图2，小北在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，然后乘坐扶梯到达山体平台B处，已知AB坡度i＝3：4，且米，BC＝50米，CD⊥BF于点C(A，B，C，D，E，F均在同一平面内，AE∥BF)．(1)求平台上点B到山体底部地面AE的距离；(2)求摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长．(精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3)【答案】(1)米(2)100米【解析】【分析】(1)过点作，根据AB坡度，且米，设，则，进而求得，即可求得，进而求得；(2)延长交于点，解直角三角形,进而即可求得,(1)解：如图，过点作，AB坡度，且米，设，则，米，米米即平台上点B到山体底部底面AE的距离为48米；(2)解：如图，延长交于点，,，四边形是矩形则米，米，在山体底部A处测得摩天轮顶端D的仰角为52°，即，在中，米米即摩天轮顶端D到山体平台BF的距离CD的长为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．18．(2022·重庆·西南大学附中九年级期末)重庆移动为了提升网络信号，在坡度为的山坡AD上加装了信号塔PQ(如图所示)，信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距高斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．(1)求点Q所在位置的铅直高度；(2)请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．(参考数据：，，，结果精确到0.1米)【答案】(1)点Q所在位置的铅直高度为1.5米(2)信号塔PQ的高度大约为12.1米【解析】【分析】(1)直接根据已知构造直角三角形利用坡度的定义得出QG的长；(2)利用锐角三角函数关系得出PF的长，进而得出答案．(1)解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，∵QA=3.9m，QG：AG=1：2.4，∴设QG=x，则AG=2.4x，∴x2+(2.4x)2=3.92，解得：x=1.5，∴点Q所在位置的铅直高度为1.5米；(2)解：由(1)知：QG=1.5，∴AG=2.4x=3.6，∴EF=NG=3.6+4.4=8(m)，故tan53°=≈1.33，解得：PF≈10.6(m)，∵FQ=EN-QG=3-1.5=1.5(m)，∴信号塔PQ的高约为：PQ=10.6+1.5=12.1(m)．∴信号塔PQ的高度大约为12.1米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出EF的长是解题关键．19．(2022·重庆八中九年级期末)小明家的新建房子从正面看为一轴对称图形(图1)，图2是它的正面示意图，为测量房子的高度，小明在地面P处测得房顶B的仰角为30°，且此时地面P、房檐C、房顶B恰好在一条直线上，继续向前走13米到达点Q，又测得房顶B的仰角为22°．已知M，N，P，Q在同一水平线上，，．(参考数据：，，，)(1)求房顶B到横梁AC的距离(结果保留根号)；(2)求房顶B到地面MN的距离(结果精确到0.1m)．【答案】(1)(2)16.9m【解析】【分析】(1)作，交AC于点E，交MN于点F，先证明，根据对称性及，，得出，在中利用锐角三角函数知识进行求解；(2)设，在中，求出，在中，根据，，利用三角函数知识解求解即可．(1)解：作，交AC于点E，交MN于点F，，∵，∴．∵，∴．由对称性知，，∵，，∴．∵，，∴．在中，，∴房顶B到横梁AC的距离是．(2)解：设，在中，∵，∴．∵，∴．在中，∵，，∴，解得，∴房顶B到地面MN的距离是16.9m．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，平行线的性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的知识．20．(2021·江苏·开明中学九年级期末)图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求AC的长度：(2)直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离cm．【答案】(1)(40+40)cm；(2)(20)cm．【解析】【分析】(1)过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求出AC；(2)作AH⊥ED延长线于H，根据AH＝AC·sin45°求出AH即可．【详解】解：(1)过点F作FG⊥DE于点G，∴∠FGD＝∠FGC＝90°，在Rt△DGF中，∵∠CDF＝30°，∴FG＝FD•sin30°＝30×＝15(cm)，∴DG＝FD•cos30°＝30×＝15(cm)，在Rt△CGF中，∵∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15(cm)，∴CD＝CG+DG＝15+15(cm)，∵CE：CD＝1：3，∴CE＝CD＝×(15+15)＝5+5(cm)，∴DE＝EC+CD＝5+5+15+15＝20+20(cm)，∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×(20+20)＝40+40(cm)，即AC的长度为(40+40)cm．(2)作AH⊥ED延长线于H，在Rt△AHC中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝AC•sin45°＝(40+40)×＝20+20(cm)，故答案为：(20)．【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为(1)弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型(2)将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题．当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形．(3)寻找直角三角形，并解这个三角形．21．(2021·辽宁皇姑·九年级期末)如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图(MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂)，若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．(1)如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长(结果保留根号)；(2)若(1)中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．(结果保留根号)【答案】(1)2米(2)(2＋2)米【解析】【分析】(1)根据题意画出图形，可得△ABC是等腰直角三角形，即可得出BC的长；(2)根据主臂伸展角∠MAB和伸展臂伸展角∠ABC的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果．【详解】解：(1)如图：由题意得：∠MAB＝45°，∠C＝90°，AB＝4m，∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2(m)，答：伸展臂BC的长为2米；(2)如图：由题意得，∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，在Rt△ABD中，∠MAB＝30°，AB＝4m，∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2(m)，∵∠MAB＝30°，BD⊥MN，∴∠ABD＝60°，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝45°，在Rt△CBD中，∠CBD＝30°，BC＝2m，∴CD＝BC•cos45°＝2×＝2(m)，∴AC＝CD＋AD＝2＋2，∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方(2＋2)米的土石．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键．22．(2021·甘肃·九年级专题练习)如图①，太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘．如图②是该太极揉推器的左视图，立柱AB的长为125cm，支架OC的长为40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm，支架OC与立柱AB的夹角∠OCA＝120°，转盘的直径DE、PQ为60cm，点O是DE的中点，支架OC与转盘直径DE垂直．(1)求直径DE与直径PQ所在直线的夹角；(2)求转盘的最低点E距离地面的距离．【答案】(1)60°或120°；(2)(120﹣15)cm．【解析】【分析】(1)设直线DE、PQ相较于点G，由轴对称得∠OCA＝∠FCA=120°，OC⊥DE，FC⊥PQ，根据四边形内角和为360°即可求出∠OGF=60°，即可求出两直径夹角为60°或120°；(2)过点E作EG垂直地面于点G，EH⊥AB于点H，过点O作OM⊥EH于点M，过点C作CN⊥OM于点N，通过解Rt△OCN和Rt△OEM求得CH的长度，结合图中相关线段间的和差关系求得EG的长度．【详解】解：(1)解：如图，设直线DE、PQ相较于点G，由轴对称得∠OCA＝∠FCA=120°，OC⊥DE，FC⊥PQ，∴∠OCF=120°，∠GOC=∠GFC=90°，∴∠OGF=360°-∠OCF-∠GOC-∠GFC=60°，∴直径DE与直径PQ所在直线的夹角为60°或120°；(2)：由题意知，AB＝125cm，OC＝40cm，CB＝25cm，∠OCA＝120°，DE＝60cm．∴OEDE＝30cm．如图，过点E作EG垂直地面于点G，EH⊥AB于点H，过点O作OM⊥EH于点M，过点C作CN⊥OM于点N，∴NM＝CH，EG＝AH，∠OCN＝∠OCA﹣90°＝30°，∴∠CON＝60°，∴∠EOM＝30°．在Rt△OCN中，ONOC40＝20(cm)．在Rt△OEM中，OM＝OE•cos∠EOM＝30×cos30°＝15(cm)．∴MN＝OM﹣ON＝(1520)cm．∴CH＝1520(cm)，∴AH＝AB﹣BC﹣CH＝125﹣25﹣(1520)＝(120﹣15)(cm)，∴EG＝(120﹣15)(cm)．因此，转盘最低点E离地面的高度为(120﹣15)cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上添加辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题．23．(2022·上海徐汇·九年级期末)如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．(1)当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；(2)点A处的转轴与后车轮转轴(点E处)的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．(精确到0.1米，参考值：，，，)【答案】(1)4m(2)不会，理由见解析【解析】【分析】(1)过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，根据即可解决问题；(2)过点作于点，同理求得，进而勾股定理求得，根据平行线分线段成比例求得，进而判断是否大于即可判断该货车是否会发生车辆倾覆安全事故．(1)如图，过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，斜坡AB的坡角为37°，即,，，(2)该货车不会发生车辆倾覆安全事故，理由如下，如图，过点作于点，同理求得在中，四边形是矩形,该货车不会发生车辆倾覆安全事故．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线是解题的关键．24．(2021·山东文登·九年级期中)图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5cm．(参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，)(1)求∠ABC的度数；(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位)【答案】(1)113.6°；(2)此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内，见解析【解析】【分析】(1)过点B作BH⊥MP，垂足为H，根据解直角三角形cos∠BMH＝，即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；(2)根据(1)中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．【详解】解：(1)过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP−HP＝25.3−8.5＝16.8(cm)，在Rt△BMH中，cos∠BMH＝，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°−66.4°＝113.6°；(2)∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°−∠BMN−∠BMH＝180°−68.6°−66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI−MI−MP＝50−19.80−25.3＝4.90≈4.9(cm)，∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题10相似三角形的综合问题【典型例题】1．(2021·山东省济南中学九年级期中)如图1，在中，，，，点D、E分别是边、的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现①当时，________；②当时，______．(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长________．【答案】(1)，(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，证明见解析(3)BD的长为或【解析】【分析】(1)①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．(2)首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．(3)分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，即当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．(3)解：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE＝＝＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．【专题训练】选择题1．(2022·江苏海门·九年级期末)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB=2，OC=5，AB=4，则CD的长为(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】利用8字模型的相似三角形证明△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴CD=10，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型的相似三角形是解题的关键．2．(2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，=，DE∥BC，若ΔADE的面积为6，则ΔABC的面积等于(

)A．12 B．18 C．24 D．54【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得ΔADE~ΔABC，利用其性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出ΔABC的面积．【详解】，，，，，，，故答案选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．(2022·广西平桂·九年级期末)如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若，，，则线段BD长为(

)A． B．6 C． D．【答案】C【解析】【分析】根据位似变换可知，得出，代入数据得出OD的长，从而可求出BD的长．【详解】根据题意可知，∴，即，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查位似变换的性质，三角形相似的性质．掌握位似的两个三角形相似是解题关键．4．(2021·广东禅城·二模)如图，A、B分别为反比例函数(x＜0)，y＝(x＞0)图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根据相似三角形的性质得出，，求出的值，根据即可求出角的正切值．【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D则∠BDO＝∠ACO＝90°∵A、B分别为反比例函数(x＜0)，(x＞0)图象上的点∴S△AOC＝4，S△BDO＝9∵∠AOB＝90°∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°∴∠DBO＝∠AOC∴△BDO∽△OCA∴∴∴故选：A．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切．解题的关键在于对知识的灵活运用．5．(2021·广东龙门·三模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(，0)，顶点D的坐标为(0，)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，……，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的边长为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，得出，继而得知，利用勾股定理计算出正方形的边长，从中找出规律，问题也就迎刃而解了.【详解】解：根据题意，得：2，(两直线平行，同位角相等)．，，顶点的坐标为(，0)，顶点D的坐标为(0，)，∴OA，OD，在直角中，根据勾股定理得，∴AD＝AB＝1，，∵，，，同理得：，••••••第2021个正方形的边长为，故选：B．【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、解直角三角形，正方形的性质等知识点，另外在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率.二、填空题6．(2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若△ABC的面积为4，则四边形BCED的面积为___．【答案】3【解析】【分析】由题意知是的中位线，有，从而得，有，求出的值，对计算求解即可．【详解】解：由题意知是的中位线∴∴∴∵∴∴故答案为：3．【点睛】本题考查了中位线，相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．(2022·内蒙古包头·九年级期末)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的角平分线CD交AB于点D．若AC＝2，则CB＝_____．【答案】##【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ACB=∠B=72°，∠A=36°，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=36°，根据三角形外角性质可得∠CDB=72°，可得AD=CD，CD=BC，△BDC∽△BCA，设BC=x，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．【详解】∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2∠B=36°，∵∠ACB的角平分线CD交AB于点D．∴∠ACD=∠BCD=36°，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴AD=CD，CD=BC，∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，∴△BDC∽△BCA，设BC=x，∴CD=BC=x，∴，即，解得：x=，(负值舍去)故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．8．(2022·山东崂山·九年级期末)如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为______．【答案】【解析】【分析】首先利用已知条件可证明△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DF=2DE，而在Rt△CDE中，由勾股定理可求得DE的值，即可求得DF的长，从而求出△CFD的周长；然后，证明△CDF△BFG，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：∵是∠ADC的平分线∴四边形是平行四边形在中，的周长为的周长为故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识是解题的关键．9．(2022·山西太原·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标(﹣2，0)，AB＝5．过点D的反比例函数的表达式是_____．【答案】【解析】【分析】过点作轴于点，设与轴的交点为点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得出点的坐标，然后利用待定系数法即可得．【详解】解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为点，四边形是矩形，，轴平分边，且，，，，在中，，在和中，，，，即，解得，，，轴，，，在和中，，，，即，解得，，，设过点的反比例函数的表达式为，将点代入得：，则过点的反比例函数的表达式为，故答案为：．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．10．(2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末)如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____．【答案】25【解析】【分析】设DE=x，根据矩形的性质得到，PQ=MN=DE，证明△APN∽△ABC，得到，求出PN=10-x得到矩形的面积，根据二次函数的性质求解．【详解】解：设DE=x，∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，∴，PQ=MN=DE，∴△APN∽△ABC，∴，∴，∴PN=10-x，∴矩形PQMN面积=，∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，故答案为：25．．

【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，正确掌握相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．三、解答题11．(2022·江苏溧水·九年级期末)折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．(1)求证△ABF∽△FCE；(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为80【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可证明△ABF∽△FCE．(2)由(1)得△ABF∽△FCE，所以，进而可以解决问题．(1)证明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折叠得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；(2)解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°∴EF＝DE＝5，∴AB＝CD＝8．由(1)得△ABF∽△FCE，∴∴BF＝6．∴BC＝10．∴S＝AB•CB＝10×8＝80．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是得到△ABF∽△FCE．12．(2022·湖北硚口·九年级期末)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，点G、F分别是ED、BC的中点，连接CD、BE、GF．(1)求证：∠ACD＝∠ABE；(2)求的值；(3)若四边形BEDC的面积为42，周长为，GF＝5，则AB＝．【答案】(1)见解析(2)(3)10【解析】【分析】(1)由题意得和都是等腰直角三角形，则，根据SAS证明，即可得；(2)连接AG，AF，则，，，，，可得，根据角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质即可得；(3)由GF=5得，根据四边形的周长可得，由，，根据，设BC=a，ED=b，列方程，进行计算得，则，得，即可得．(1)证明：∵AB=AC，AE=AD，，∴和都是等腰直角三角形，∵，，∴，在和中，∴(SAS)，∴．(2)解：如图，连接AG，AF，∵和都是等腰直角三角形，且点G，F分别是ED，BC的中点，∴，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．(3)解：∵GF=5，∴，由(1)可知，，∵，∴，∵=，∵，∴，∵，，设BC=a，ED=b，∴由②得，③，将③代入①得，，解得，∴，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．13．(2022·四川成都·九年级期末)如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．(1)射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．ⅰ)求证：△ADE∽△DCG；ⅱ)若AB＝10，AD＝6，求CG的长；(2)如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．【答案】(1)ⅰ)见解析；ⅱ)(2)9【解析】【分析】(1)i)根据翻折的性质和相似三角形的判定解答即可；ii)根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例解答即可；(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解得即可．(1)解：i)由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠ADO+∠EAD＝90º，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90º，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE＝∠DCG＝90º，∴△ADE∽△DCG；ii)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90º，∵△ADE≌△AFE，∴∠AFE=∠ADE＝90º，AF＝AD＝6，∴∠AFB=90º，∴在Rt△ABF中，BF＝，设DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即(8+x)2＝62+(10﹣x)2，解得：x＝2，由i)可知△ADE∽△DCG，∴，∴，解得：CG＝；(2)解：由i)可知，△ADE∽△DCG，∴=2，∠OAD＝∠ODE，∵△ADE≌△AFE，∴AD=AF，DE=FE，∴DF⊥AE，∴∠DOE＝∠FOE=90°，∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，∴△ADE∽△DOE，∴，∵HG∥AE，∴∠OEF＝∠GHF，∵∠OFE＝∠GFH，∴△HGF∽△EOF，∴，∠HGF＝∠EOF=90°，∴∠BGH+∠CGD＝90°，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠CGD＝∠BHG，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BHG∽△CGD，∴，∴△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，设CE＝x，DC＝5+x，CG＝，BG＝10﹣CG＝10﹣，BH＝BG＝，HG＝BH＝，∵HG：GF＝1：2，∴GF＝，在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5，DO＝，∵，∵，∴OE＝，DO＝OF＝2，在△DCG中，DC＝5+x，CG＝，DG＝DF+FG＝4，∵，∴DG＝CG，即，解得：x＝9，即CE＝9．【点睛】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答．14．(2021·山东济阳·九年级期中)(1)问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．(2)探究若将90°角改为锐角或钝角(如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．(3)应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3)【解析】【分析】(1)由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(3)先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】(1)证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，(2)结论仍然成立，理由如下，，又，，，设，，，，∴ADBC=APBP，(3)，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．15．(2022·山东历下·九年级期末)如图1，在中，，，，点为斜边上一点，过点作射线，分别交、于点，．(1)问题产生若为中点，当，时，______；(2)问题延伸在(1)的情况下，将若绕着点旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决如图3，连接，若与相似，求的值．【答案】(1)(2)不改变，，证明见解析(3)或【解析】【分析】(1)连接，根据题意可得，证明四边形是矩形，可得，进而求得的长，即可求得；(2)作，，分别交、于点、，证明，可得，根据(1)的结论即可解决问题；(3)作，，分别交、于点、，证明，可得；①若可得，设，则，，由，可得，根据求得，进而求得，证明，可得，代入数值求解即可；②若，根据，同理求得，代入求解即可．(1)如图，连接，为中点，，四边形是矩形，，(2)不改变，；证明：作，，分别交、于点、∴四边形PMCN是矩形，∵∴又∵，，∴∴∴由(1)得∴(3)作，，分别交、于点、又四边形为矩形，∵∴又∵，，∴∴①若可得∵∴设，则四边形为矩形，所以在中，，可得在中，，解得∵∴，解得∴∵，∴∴，即解得②若可得∵∴设，则，四边形为矩形，所以在中，，可得在中，，解得∵∴，解得∴∵，∴∴，即解得【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的中线性质，旋转性质，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16．(2022·江苏广陵·九年级期末)已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：，位置关系为：．(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：．(3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．【答案】(1)DE=CF，DE⊥CF(2)见解析(3)当∠B+∠EGC=180°时，成立，证明见解析【解析】【分析】(1)先判断出AE=DF，进而得出△ADE≌△DCF(SAS)，即可得出结论；(2)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案．(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵点E，F是AB，AD的中点，∴AE=AB，DF=AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，DE⊥CF；(