适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练51空间点直线平面之间的位置关系新人教A版

课时规范练51空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固练1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α∥β,则a与b的位置关系为()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面2.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'()A.一定平行且方向相同B.一定平行且方向相反C.一定不平行D.不一定平行3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是A1B1的中点,过点B,D,N的平面α截该正方体所得截面的面积为()A.42 B.92C.43 D.264.(多选题)下列推理正确的有()A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.若α,β是两个不同的平面,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒AαD.A∈l,l⊂α⇒A∈α5.(2024·山东济宁模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心,E为BC的中点,则异面直线AO1与C1E所成角的余弦值是.

6.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.综合提升练7.(2024·重庆模拟)在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,AB=AS=2,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,E,F,G分别是SA,SB,BC的中点,则异面直线DE与FG所成角的余弦值为()A.23 B.53 C.658.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BN与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.

9.(2024·河北唐山模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱AB,BC的中点,过D1,E,F作该正方体的截面,则截面形状为,周长为.

创新应用练10.已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,则以下底面的一个顶点为球心,半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为.

课时规范练51空间点、直线、平面之间的位置关系1.D解析由题意,a与b不可能相交,当a与b共面时,a∥b,当a与b不共面时,a与b为异面直线.2.D解析如图,若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,OB与O'B'不一定平行.3.B解析连接B1D1,取A1D1的中点M,连接MN,DM,BN.因为N是A1B1的中点,所以MN∥B1D1,MN=12B1D1=2.因为BD∥B1D1,BD=B1D1,所以MN∥BD,MN=12BD,所以过点B,D,N的平面α截该正方体所得截面为梯形BDMN.连接AC交BD于点O,连接A1C1交MN于点O1,连接OO1.因为B1N=D1M=1,BB1=DD1=2,∠BB1N=∠DD1M=90°,所以BN=DM=5,所以梯形BDMN为等腰梯形,所以OO1=BN2-(OB-O4.ABD解析由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α根据基本事实2可得l⊂α,故A选项正确;由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β根据基本事实3可得α∩β=AB,故B选项正确;由l⊄α,A∈l可得A∉α或A∈α,故C选项错误;由A∈l,l⊂α可得A∈α,故D选项正确.5.306解析在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AD,A1D1的中点F,M,连接EF,D1F,AM,O1M,如图.因为E为BC的中点,有EF∥CD∥C1D1,EF=CD=C1D1,则四边形C1D1FE是平行四边形.于是D1F∥C1E.因为AF∥D1M,AF=D1M,所以四边形AMD1F是平行四边形,因此AM∥D1F∥C1E,则∠O1AM是异面直线AO1与C1E所成的角或补角.而O1为底面A1B1C1D1的中心,则O1M∥C1D1,又C1D1⊥平面ADD1A1,从而O1M⊥平面ADD1A1,而AM⊂平面ADD1A1,则O1M⊥AM,在Rt△O1MA中,O1M=1,AM=AA12+A1M2=5,则AO1=6,于是cos∠O1AM=6.证明(1)∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴GH∥BD.∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面.(2)∵E,F分别是AB,AD的中点,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴EF∥GH,且EF≠GH.∴EG与FH必相交,设交点为M.∵EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴M∈AC,∴EG与HF的交点在直线AC上.7.D解析如图,连接AC,BD交于点O,连接OE.∵四边形ABCD为菱形,AC∩BD=O,∴O为AC的中点,且AC⊥BD.∵E为SA的中点,∴OE∥SC,又F,G分别是SB,BC的中点,∴FG∥SC,故FG∥OE.∴异面直线DE与FG所成的角为∠OED或其补角.∵SA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥SA.∵BD⊥AC,SA∩AC=A,SA,AC⊂平面SAC,∴BD⊥平面SAC.∵OE⊂平面SAC,∴OE⊥BD.∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,同理可知△ACD也为等边三角形,∴OD=AD2-AO2=3.∵SA=2,AE=1,又SA⊥AC,∴OE=AE2+AO2=2,∵SA⊥AD8.③④解析把平面展开图还原成正方体,如图,由异面直线的定义可知,BN与ED是异面直线,故①错误;因为EN∥AD,AD∥BC,EN=AD=BC,所以EN∥BC且EN=BC,则四边形BCNE为平行四边形,则BE∥CN,故②错误;因为BE∥CN,所以∠EBM(或其补角)为CN与BM所成的角,连接EM,可知△BEM为正三角形,则∠EBM=60°,故③正确;因为BC⊥平面CMND,DM⊂平面CMND,所以DM⊥BC,又DM⊥NC,BC∩NC=C,BC,NC⊂平面BCNE,故DM⊥平面BCNE,又BN⊂平面BCNE,所以DM⊥BN,故④正确.9.五边形213+2解析连接EF并延长交DC的延长线于点N,连接D1N交CC1于点Q,连接QF.延长FE交DA的延长线于点M,连接D1M交AA1于点P,连接EP,则五边形D1QFEP即为平面D1EF截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面多边形,由题意,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AE=1,∠AEM=∠BEF=45°,则△AME为等腰直角三角形,则AM=1.根据△AMP∽△A1D1P,得APA1P=AMA1D1=12,则A1P=43,AP=23,则D1P=22+(43)

2=2133,EP=12+(10.2π解析由题意不妨令下底面为△ABC,则△ABC是边长为5的等边三角形,侧面均为全等的等腰梯形,在