鸡泽县第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

鸡泽县第一中学2023-2024学年高二上学期开学考

数学试题

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数2=上吧，则2的虚部是()

1+i

A.-1B.—iC.1D.i

2.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.方=(0,0),毛=(1,2)B.及=(-1.2),瓦=(5,7)

C.%=(3,5),与=(6,10)D.百=(2,—3),e^=(j,-|)

3.运动员甲10次射击成绩(单位：环)如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,则下列关于

这组数据说法不正确的是()

A.众数为7和9B.平均数为7C.中位数为7D.方差为s?=4.8

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是平行四边形，己知同=Z，而=&,同=3

PE=^PD,则说=()

.1--*1_1_*1_*1-1--*1-1->1_->

A.-a--b-cB.-a--b+-cC.-a4--b+-cD.-a--b+-c

在平行六面体中，

5.ABCD48=3,AD=AAr=2,^BAD=90°,

4B44i=60。，cos^DAAi=-i,则BZ)i的长为()

A.3B.<13C.<71D.5

6.已知点P(l,2),经过点P作直线1,若直线l与连接4(9,1),B(5,8)两点的线段总有公共点,

则直线E的斜率/c的取值范围为()

A・昵]B.(一%词C,D.(-oo,-1]u[|,+oo)

7.已知m,n是不重合的直线，a,0,y是不重合的平面，则下列说法正确的是()

A.若a1y,/?1y,则a//£

B.mca,nca,m//p,n//p,则a〃夕

C.若则zn〃a

D.?n〃a,rnu0,an0=n,则m〃n

8.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用4表示“第一次摸到白球”，

用B表示“第二次摸到白球”，用C表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是()

A.A与B为互斥事件B.B与C为对立事件

C.4与B非相互独立事件D.4与C为相互独立事件

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知a,/?是两个不重合的平面，1,m是两条不同的直线，在下列说法正确的是()

A.若〃/a,a〃7,则〃//?

B.若a〃B，mua,则m〃0

C.若l〃a,mua,则〃/m

D.若aCi，=Z,m//l,则m至少与a,/?中一个平行

10.已知事件4,B,且P(4)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是()

A.如果BU4,那么P(4B)=0.5

B.如果A与B互斥，那么P(4B)=0

C.如果4与B相互独立，那么P(4B)=0

D.如果4与B相互独立，那么PQ4瓦)=0.4

11.下列四个命题中真命题有()

A.直线y=x-2在y轴上的截距为一2

B.经过定点4(0,2)的直线都可以用方程y=kx+2表示.

C.直线6久+my+14=0(meR)必过定点

D.已知直线3x+4y+9=0与直线6》+小、+14=0平行，则平行线间的距离是1

12.如图，在边长为2的正方形4BC0中，点M是边CO的中点，将△40M沿4M翻折到△PAM,

连结PB,PC,在△ACM翻折到APAM的过程中，下列说法正确的是()

A.存在某一翻折位置，使得4"1PB

B.当面PAM平面力BCM时，二面角P-4B-C的正切值为W

4

C.四棱锥P-ABCM的体积的最大值为T

D.棱PB的中点为N,贝IJCN的长为定值

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在AABC中，内角4,B,C对的边分别为a,b,c,满足asin2B=bs讥4,则8=,

若BC边上的中线力。=1,则△A8C面积的最大值为.

14.已知圆锥的顶点为S,母线S4SB所成角的余弦值为］S4与圆锥底面所成角为45。，若

O

△S4B的面积为5/下，则该圆锥的侧面积为.

15.平面a的一个法向量记=(0,1,—1),如果直线I_L平面a,则直线，的单位方向向量是亨=_.

16.已知mGR,动直线匕：x-my-2=0过定点4动直线小mx+y-4m+2V-3=0过

定点B,若直线。与已相交于点M(异于点4B),则AMAB周长的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知Zi=Tn?+《Ji,z2=(2m-3)+m&R,i为虚数单位，且Zi+z?是纯虚数.

(1)求实数m的值；

(2)求zi•a的值.

18.如图，在AOAB中，P为线段AB上一点，且加=x6?+y赤.

B

(1)若而=而，求x，y的值；

(2)若9=3而，|瓦?|=4，|砺|=2，且就与赤的夹角为60。，求次•四的值.

19.如图，在三棱锥P-4BC中，PA底面ABC,PA=AB,/.ABC=60°,NBC4=90。，点。、

E分别在棱PB、PC上，且OE//BC.

(1)求证BC1平面H4C；

(2)当。为PB的中点时，求4。与平面P4C所成角的正弦值.

20.直线1的方程为y=-(a+l)x+a-2(aeR).

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)若/不经过第二象限，求实数a的取值范围.

21.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学

生，统计他们参加社会实践活动的时间(单位：小时)，并将统计数据绘制成如图的频率分布

直方图.

(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；

(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数(结果保留两

位小数).

22.如图，在四棱锥P—4BCD中，4BCD是边长为2的菱形，且4n4B=60°,PA=PD=

PB=3<2.E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：平面PAD1平面DEF.(2)求二面角A-PB-C的大小.

B

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数学试卷【答案】

1.C2.F3.C4.45.A6.C7.O8.C9.BD10.BD11.AC12.BCD

13.g?14.15.(0,?,一号)或(0,-号，号)16.4+4V~2

2

17.解：(1)Z[4-z2=(rn+2m—3)+(迅+j+,)3

(m2+2m-3=0

Zi+Z2是纯虚数，.•.■{1,1一0，则7n=1；

fe+2*°

(2)由⑴得Zi=1+5,z2=-l+ji,则豆=一1一夕，

18.解:(1)若希=PB，

贝廊=那+那，

故x=y=；•

(2)若方=3而，

13

而-+

4-044-

OP-AB

一3—A—.一

=(404+4OB)•(OB-04)

117

=--rOA2-^OA-OB+OB2

42y4

=-4x42-4x4x2xcos60°+7X22=-3.

424

19.(1)证明：在三棱锥P-4BC中，P4_L底面ABC,BCu底面ABC,则041BC,

ffU^BCA=90°,有4CJ.BC,^.PAQAC=A,PA,力Cu平面P4C,

所以BC，平面P4C.

(2)由(1)知，BC_L平面P4C,而DE〃BC,贝ijDEJ_平面P4C,

于是NZME是力D与平面PAC所成的角，

令4B=2a,在Rt/kPAB中，/.PAB=90°,PA=AB,。为PB的中点，贝I有40=gPB=

111

显然。后为4PBC的中位线，于是DE=和C=^ABcos60°=扣，

在Rt△力DE中，sinND4E=^=^=孕，

ADV2a4

所以4。与平面P4C所成角的正弦值是C.

4

20.解：(1)当I过坐标原点时，a-2=0,解得：Q=2,满足题意；

当[不过坐标原点时，即QW2时，

若Q+1=0,即Q=-1时，y=-3,不符合题意；

若a+l大0,即a4-l时，方程可整理为：三+言=1,

Q+1

^-7=a—2,解得：Q=0,

a+l

综上所述：Q=0或2；

(2)当Q+1=0,即a=-1时，Ly=-3,不经过第二象限，满足题意;

当a+1。0,即aH—1时，方程为：y=—(a+l)x+a—2,

・•・°，解得：a<-l,

IQ—240

综上所述：a的取值范围为：(一8,-1].

21.解：(1)由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20,故众数是20；

由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)x4=1,解得a=0.07,

•••(0.02+0.06)x4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

中位数位于18〜22之间，设中位数为X,

.=蓊需，解得工=18+后=20.4,故中位数是20.4;

ZZ-IoU.oZ-U.5Z□

平均数为(0.02X12+0.06X16+0.075X20+0.07X24+0.025x28)x4=20.32;

(2)上四分位数即为75百分位数，

X-.-(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

(0.02+0.06+0.075+0.07)x4=0.9,

•••上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y,

则点=着修,解得》=22+畀23.86.

22.(1)证明：取40的中点G,连接PG,BG,BD,

因为PA=PD,所以PG1AD,

在A/IBD中，AB=AD=2,ADAB=60",

所以△ABD为等边三角形，所以BGJ.4。，

因为BGCPG=G,BG、PGa^PBG,

所以4D_L平面PBG,

因为E,F分别是BC,PC的中点，所以尸B〃EF,

又PB<t平面。E尸，EFu平面DEF,

所以PB〃平面DEF,

同理可证GB〃平面DEF,