2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题五（含答案）

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

ɪ.在卜1的二项展开式中，系数最大的项为.

【正确答案】70

【分析1写出二项展开式的通项公式，得到当，=0,2,4,6,8时，二项展开式的系数为正，求

出各项，得到系数最大的项.

【详解1fɪ-ɪʃ的二项展开式为4M=c^-r(-χ-')r≈(-ι)rq√-2r,

显然当r=0,2,4,6,8时，二项展开式的系数为正，当r=l,3,5,7时，二项展开式的系数为负,

24t)6

其中7；=Cy=x∖τ3=(-1)CX4=28X,7;=(-1)4CM=70,T1=(-1)=28XT,

7;=(-l)8φ^8=x^8,

故系数最大的项为I=70.

故70

2.已知球的两个平行截面的面积分别为19乃和36万，球的半径为10,则这两个平行截面之

间的距离为.

【正确答案】1或17

【分析】根据球的两个平行截面的面积分别为19乃和36万，分别求得两个平行截面的半径和

球心到截面的距离，再分截面圆在球心的同侧和异侧求解.

【详解】解：因为球的两个平行截面的面积分别为19%和36%，

所以球的两个平行截面的半径分别为J历和6,

则球心到截面O∣的距离为IoaJ=^1O2-(√19)2=9,

22

球心到截面O2的距离为IOOj=√10-6=8,

当截面圆在球心的同侧时，如图所示:

这两个平行截面之间的距离为IaO2∣=9-8=1

当截面圆在球心的异侧时，如图所示：

这两个平行截面之间的距离为IaaI=9+8=17,

故1或17

3.有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有种不同的选法.

【正确答案】4096

【分析】按分步计数原理计算可得.

【详解】由已知得，每位顾客都有8种选法，

所以共有8χ8χ8χ8=84=4096种方法，

故4096

4.现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且

教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有种.

【正确答案】432

【分析】因甲、乙不能单独带队，故分甲乙一起带队和甲、乙分别于另外一位老师一起带队

两种情况进行分类计算即可.

【详解】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，

所以分以下两类情况：

①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有C：种分法，再将四组老师分到

4个班级共有A：种分法;

即甲乙同队共又C；A：=144种；

②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有A：种分法,

再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有A；种分法；

即甲、乙不同队共有A：共=288；

综上可知，不同的带队方案共有144+288=432种.

故432

5.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数16080260200740560

好评率0.40.30.20.250.30.15

(好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值)从这六类电影中随机

选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为.

【正确答案】言94##0.752

【分析】直接查出总电影数和获奖的电影数，然后根据古典概率计算公式进行求解即可.

【详解】根据已知条件，一共有160+80+260+200+740+560=2000部电影，

其中获得好评的电影共有160x0.4+80x0.3+260x0.2+200x0.25+740x0.3+560x0.15=496.

故选取一部电影没有获得好评的概率为I-黑406=黑ISfU=?94.

ZlXJuZUvU1ZJ

,94

故7j茂

6.4$。除以17的余数为.

【正确答案】16

【分析】由题得=(17-1)25,根据二项式展开解决即可.

【详解】由题知，

502525O241I52I240M

4=(17-1)=⅛17(-1)÷⅛17(-1)+CJ517(-1)+....+C⅛17(-1)+C^17(-1),

因为17"是17的倍数，只有最后一项-1不能被17整除，

所以T除以17的余数为16,

所以4‘。除以17的余数为：16

故16

7.8个男生和4个女生排成一排,要求女生不排在两端,则4个女生排在一起的概率为.

7

【正确答案】—

450

【分析】根据排列组合计算排法，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.

【详解】8个男生和4个女生排成一排，则排法总数为A；；,

女生排在两端的情况，则排法数为即女生不排在两端的排法数为A：；-

女生排在一起，不排在两端的排法数为A：A：C；,

则4个女生排在一起的概率为

A；A_4!x8!×7_________4!×7__________7

Aq-12!-4×3×10!^12xllxl0x9-4x3xl0x9^450，

7

故答案为屈

8.某高中已经从高一、高二、高三3个年级中各挑选出4男5女，现从这27人中选出一人

评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是.

17

【正确答案】ʌʌ

【分析】利用古典概型的概率计算公式，可得答案.

【详解】选出的27人中有12名男生，有9名高二学生，其中此人是男生或高二年级学生的

人数为17人，

此人是男生或是高二年级学生的概率是1首7，

17

故答案为

27

9.甲乙两队进行一场排球比赛，采用五局三胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比

赛），已知每局甲队胜乙队的概率是,，且各局比赛的胜负相互独立，则最终甲队获胜的概

4

率为.

53

【正确答案】ɪ

【分析】分别求出比赛场数为3,4,5时甲队获胜的概率，即可得出答案.

【详解】设甲队获胜时进行了X场比赛，X=3,4,5,

127

X—=------

P-*］冏4512

IQ77

故最终甲队获胜的概率为∙P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=χ+^+^=Q

班53

故元

10.某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的

概率为喧3，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的

左右相对顺序固定，则共有种不同的站队方法.

【正确答案】25200

【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.

【详解】设10名学生中，有女生X人，男生(Io-X)人，

(K)一Λ∙)(9一χ)

则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率P=CICrtjX2=3,

'C；o12010

整理得：x(10-x)(9-x)=72,BP√-19X2+90X-72=0

因式分解可得：(了一68一1心—12)=0,

解得：x=6>l或x=l(舍去)或久=12(舍去)

所以10名学生中，有女生6人，男生4人，

将6名女生排成一排有A：种方法，再将4名男生插到7个空中有A：A；种方法,

因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有A：种方法,

,,-A：A；6×5×4×3×2×1×7×6×5×4

所rr以一共有黄=------------------------=25200,

故25200

II.已知球。的表面积为676乃，点A、B、C在球。的表面上，且4?=7,AC=S,

ZBAC=120°,则球心O到平面ABC的距离为.

【正确答案】电亘

【分析】球心。到平面A8C的距离即为球心。到A8C的外心的距离，由余弦定理求得8C,

再由正弦定理求得ABC外接圆半径，即可最后由勾股定理的所求距离.

【详解】球心。在平面A8C的投影为。一则球心。到平面ABC的距离为。。1,

球。的表面积为6761，则球。的半径r满足π/=676π,解得尸=26,B∣JOA=OB=OC=26,

则QA=O∣B=O∣C=歹丁丽7，即0∣为一ABC的外心，

VAB=I,AC=8,NBAC=I20。，由余弦定理得BC=J7?+8?-2仓58?cosl20=13,由

正弦定理得，ABC外接圆半径OA=L-ɪ-=M,

2sin1203

电亘，故球心0到平面ABC的距离为M1

故OoZOA2-OA2

13√33

B

12.用一根长为54的铁丝围成正三角形框架，其顶点为A、B、C,将半径为6的球放置

在这个框架上（如图），若M是球上任意一点，则四面体体积的最大值是.

【正确答案】243G

【分析】设.AfiC的内切圆心为。1,球心为0,由几何关系求出。。，即可求出〃到底面

ABC的高八的最大值，即可求体积的最大值.

【详解】正；MC的边长为18,设ABC的内切圆心为。I,半径为"，则

r=l?√18Γ^9Γ=3Λ^,

3

设球心为。，则OOl=,则M到底面ABC的高/?的最大值为3+6=9.

故四面体M43C体积的最大值为:仓鬟18创969=243√3.

故2436

二、单选题

13.在下列各事件中，发生可能性最大的是（）

A.抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上

B.抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2

C.有1000张，其中50张有奖，从中随机买1张中奖

D.一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球

【正确答案】A

【分析】根据概率的定义，逐个选项进行计算，比较大小即可得解.

【详解】对于A,抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反

反），所以至少有一枚正面朝上的概率P=K

4

对于B,抛掷一颗质地均匀的骰子,点数可以为1,2,3,4,5,6,点数大于2的概率为尸=：4=；2；

63

对于C,有Iooo张，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率。=怨=±；

1OOO2U

205

对于D,袋子中共有28个球，红球有20个，摸出1个是红球的概率P=T=三；

3521

又故发生可能性最大的是A；

故选:A

14.已知尸(AB)=I∣,∕,(A)=pP(B)=∣,则事件A与8的关系是()

A.A与8互斥不对立B.A与8对立

C.A与8相互独立D.A与8既互斥又独立

【正确答案】C

【分析】利用尸(Rq计算出P(A)=",可得到P(A)+P(B)=(wP(AB)则能得到A与

B不互斥，不对立；再利用P(AB)=P(A)+P(8)-P(AI8)算出「(ACB)弋即可得到

答案

【详解】由P(Rq可得尸(A)=I-P(可=Iq=",

因为P(A)+P(3)="wP(AB),则A与B不互斥，不对立，

8

由P(4_B)=P(Λ)+P(β)-P(A3)可得尸(ACB)与，

T1

因为P(A)XP(B)=成=P(4c8),所以A与B相互独立

故选：C

15.已知(l+x)"的二项展开式中，第5项与第11项的系数相等，则所有项的系数之和为()

A.216B.2l5C.2'4D.213

【正确答案】C

【分析】利用二项式定理求得(l+x)”的展开通项，从而利用心与。的系数相等得到关于〃的

方程，进而求得〃的值，由此得解.

【详解】因为(l+x)"的展开通项为几I=Clix*=C**

又因为第5项与第11项的系数相等，所以c：=C丁，

由二项式系数的性质知c：°=CL,则C：=C：T°,故〃=14,

所以(l+x)”的二项展开式中所有项的系数之和为2"=2"∙

故选：C.

,

16.已知(5x-2)7=/+平+出/+-+a1x,则⑷+同+同++∣%I=()

A.128B.2187C.78125D.

【正确答案】D

【分析】由展开式通项公式可得系数%、电、%、4小于O,系数4、%、%、%大于0，由赋

值法令x=-1,所求值即为-[5χ(-l)-2]7.

【详解】(5X-2)7的展开式中第3+1项为小=G(5X)E(-2>=C5"(-2)"y,

故系数%γ=a57Y(-2)",

即当女为奇数时，系数4、/、/、4小于0，当女为偶数时，系数4、%、%、%大于0.

∣¾∣+∣αl∣+∣α2∣++∣α7∣=-00+α∣-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-[5x(-])-2了=823543.

故选：D

三、解答题

17.如图所示，已知一个半径为6的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC,将剩余部分绕着

直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点C为半圆弧的中点，求该几何体的表面

积和体积.

A

B

【正确答案】表面积为(144+720)不，体积为(48-24夜)乃

【分析】作CO，相，三角形ABC是等腰三角形，得到。为圆心，分别求得圆锥40和圆锥

8。的底面半径，高和母线长求解.

【详解】解：作CoJ_AB,如图所示：

B

因为三角形ASC是等腰三角形,

所以。为圆心，

因为r=6,所以AC=BC=60,C0=6,

所以¾tftΛ(χ)!∣j=S圆锥BO(B="X6X6夜=36Λ∕2Λ^,

所以S几何体=S球+Sl0M侧+S圆锥5例=4万X6?+2X36岳=(144+72√Σ)%；

则嗡黜o=%ι锥BO=]7fx6χ6=12Λ∕ΣTΓ,

所以%何体=∕-(K≡w+%做。)=3外62-2、12夜万=(48-24&卜.

18.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm,

圆柱筒高为3cm.

F*------8cm-------*1

(1)求这种“浮球”的体积；

(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶

多少克？

【正确答案】⑴华πcπ√

(2)26400兀克

【分析】(1)由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；

(2)由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积,然后乘以3000得总面积,

按照规定再乘以0.1即可解决问题.

【详解】(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，

所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，

449S6

由球体的体积为：^=→Λ,=jπ×43=^πcm∖

223

圆柱体积为：V2=πR∙h=π×4×3=48πcm,

所以浮球的体积为W=K+%=亍兀+48π=F-πcm3

222

（2）上下半球的表面积：51=4πΛ=4π×4=64πcm,

圆柱侧面积：5,=2πRh=2π×4×3=24πcm2,

所以，1个浮球的表面积为S=64π+24τr=88τtcm2,

3000个浮球的表面积为：3000×88τt=264000πcm2,

因此每平方厘米需要涂胶0.1克，

共需胶2M000πX0.1=26400π克.

19.已知（五+）］（〃为正整数）的二项展开式中.

⑴若C；：+C：+C：+=256,求所有项的系数之和；

⑵若C；：+C；+C：=821,求展开式中的有理项的个数；

（3）若〃=30,求系数最大的项.

【分析】（1）由题意求出n=9,令（扳+卡）中X=L即可得出答案•

（2）求出〃=40,写出［五+））的通项，要使展开式为有理项，则10-1eZ,求解

即可;

（3）设二项式展开式第「+1项的系数最大，求出（也+土）的通项，则

解不等式即可得出答案.

【详解】（1）因为c,+c,+c+c++c：=2",

而c：+C+c：+=c,+c+c+=2"T,

所以2"T=256=〃=9.

所以令（扳+土）中x=l,则所有项的系数之和为

(2)若C；+C+C：=821,则1+"+"(7)=821,

("-40)("+41)=0,解得.〃=40

的通项为：小=CiM『［壶）=CuJMI

其中∕∙e{0,l,2,3,,40},要使展开式为有理项,

3

则10—士r∈Z,IjIiJr=0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,

4

故展开式中的有理项的个数为11.

(3)若"=30,―广闺=咱詈,

则设二项式展开式第r+1项的系数最大,

3。(IY>―迎—flY

r!(30-r)!Uj^(r-l)!(31-r)!UJ

3。(IY>___ɜθ]__

r!(30-沙12)-(r+l)!(29-r)!t,2j

2r31-r,解得.g≤∙≤g

化简得：z

11

-------≥----------

30-r^2(r+l)

因为reZ,贝b=10,所以系数最大的项为Zl=

20.如图，在正三棱柱ABC-A用£中，底面ABC的面积为46，侧面积为60,。是AB的

中点.

（1）求异面直线C。与AC所成的角的大小:

（2）求直线CQ与平面ACGA所成的角的大小.

【正确答案】（l）arccos3短；

37

⑵arcsin如ɪ

37

【分析】（1）根据正三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，取直线的方向向量，可得答案.

（2）根据（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量，可得答案.

【详解】（1）在正三棱柱"C-A4G中，S.c=；A—sin60=4B解得AB=4,

由侧面积为60,则3AB∙AA=60,解得M=5,

取A耳中点"，连接C。,。。，而。是AB为中点，则CO∙LAB,OE√∕A4,,

又A41，平面45C,Cf）U平面A8C,有AA_LCZ）,因此。RLCD,OB,OC,CR两两垂

直，

以点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C∣(θ,2√5,5),O(0,0,0),A(-2,0,0),c(θ,2√3,θ),

即。G=(0,2√i,5),AC=(2,2√3,θ),异面直线G。与AC所成的角，,

则cosHcos(DC1,ΛC)∣=-C=-U2—=季，θ=arccos也，

\/∣DClHACl历x43737

故异面直线G。与AC所成的角为arccos噜.

(2)由(1)知，CC1=(0,0,5),令平面ACGA的法向量"=(χ,y,z),

n∙AC=2x+2>∕3y=0L

则，令y=ι,得〃=(-百,1,0),令直线G。与平面ACGA所成的角

∕z∙CC1=5Z=O

为α,

rπι,.,/nr,∖,∖n-DCl∖2√3√∏l.√ΓH

贝"s.nα=|cos(%DCi)∖===F'arcsmɪ,

所以直线CQ与平面ACGA所成的角的大小为arcsin®.

37

21.如图，四棱锥尸一ABCD的底面是矩形，A4_L平面ABCr>,。为BC的中点，且AB=2,

AD=4,PA=3.

⑴求点A到平面PQO的距离;

(2)求二面角A-PZ)-0的大小;

(3)已知E为PD的中点，若一只蚂蚁从8点出发，沿着四棱锥的表面爬行，求这只蚂蚁爬到

点E的最短距离(结果精确到0.01).

【正确答案】(l)g叵

17

”、3庖

⑷arccos-------

34

(3)3.61

【分析】(1)应用等体积法可求点到平面距离;

(2)建立空间直角坐标系,空间向量法求出二面角平面角;

(3)分三种情况进行求侧面展开图求距离最小；

【详解】(1)连接4Q,

v

因为√s=匕＞-MO,又因为平面ASC£),所以;S咿也=∣Saqd×PA.

因为48=2,AD=4,必=3,底面ABa)是矩形，

所以PQ=折,QO=2√Σ,尸。=5,所以尸。+QQ2=P0?,

贝IJSPQD=；X历×2y∕2=∖∣34,Sλqd=1×4×2=4

所以:$「8・%=:548'%即:阴/4=：乂4乂3,即得4=七=噂.

ɔɔɔɔ√3417

(2)如图建系,A(0,0,0),P(0,0,3),0(0,4,0),Q(2,2,0)

设平面APD的法向量为〃=(1,0,0),设平面P。。的法向量为加=(X,y,z)

PO=(0,4,-3)3=(-2,2,0)

x=3

mPD=G4y-3z=0

可得,即y=3,所以"7=(3,3,4)

m∙QD=O-2x÷2γ=0,

z=4

设二面角A-PZ)-0的平面角为0

该蚂蚁可能沿着.PBC和APDC到达E点，故将PBe和△「£)C展开在一个平面内,设

NBPC=y,NCPD=β,

因为。8=屈,PE=I,BC=4,CD=2,PC=厉，

所以尸产+sc?=PC?,PD2+CD1=PC2,

所以CoSy=翌