中考数学一轮复习课件二次函数的图象和性质 副本

二次函数的图象和性质

知识点1二次函数的图象与性质1.二次函数的图象与性质函数一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k图象（草图）a＞0⁠

⁠a＜0⁠

⁠开口方向①

向上

⁠向下向上对称轴直线②

x＝－

⁠；或利用x＝求解（其中x1，x2为抛物线上关于对称轴对称的两点的横坐标）顶点坐标③

（－，）

⁠或（h，k）

增减性在对称轴左侧，y随x的增大而④

减小

⁠；在对称轴右侧，y随x的增大而⑤

增大

⁠在对称轴左侧，y随x的增大而⑥

增大

⁠；在对称轴右侧，y随x的增大而⑦

减小

⁠最值当x＝－时，y有最⑧

小

⁠值为当x＝－时，y有最⑨

大

⁠值为减小增大增大减小小大2.确定二次函数的解析式解析式的三种形式一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a（x－h）2＋k交点式：y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标步骤（1）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若系数a，b，c中只有一个未知，则代入任意一个已知点的坐标即可；若有两个未知，则代入任意两点的坐标即可；若解析式未知，根据所给点的坐标特征选择适当的解析式形式；（2）代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应解析式中，得到关于待定系数的方程（组）；（3）求解：解方程（组），求得待定系数的值，从而写出函数解析式3.二次函数的图象与系数a，b，c的关系a决定抛物线开口方向｜a｜越大，开口越小b，a决定抛物线对称轴的位置左同右异c决定抛物线与y轴交点的位置c＝0⇔抛物线经过（0，0）c＞0⇔抛物线与y轴交于正半轴c＜0⇔抛物线与y轴交于负半轴

b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＝0⇔与x轴有唯一交点（顶点）b2－4ac＞0⇔与x轴有两个不同的交点b2－4ac＜0⇔与x轴没有交点a＋b＋c令x＝1，看纵坐标抛物线经过点（1，a＋b＋c）a－b＋c令x＝－1，看纵坐标抛物线经过点（－1，a－b＋c）【提分小练】1.关于二次函数y＝－（x－1）2＋3的最值，说法正确的是（

D

）A.最小值为－1B.最小值为3C.最大值为1D.最大值为32.若抛物线y＝x2＋ax＋1的顶点在y轴上，则a的值为（

C

）A.2B.1C.0D.－2DC3.关于二次函数y＝－（x－1）2＋5，下列说法正确的是（

C

）A.图象的对称轴为直线x＝－1B.图象的顶点坐标是（1，3）C.当x＜1时，y随x的增大而增大D.图象开口向上C4.若A（－2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数y＝（x＋1）2－9的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是

a＜b＜c

⁠.（用“＜”连接）5.已知二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0）和（0，－3），则该二次函数的解析式为（

B

）A.y＝x2＋2x＋3B.y＝x2－2x－3C.y＝x2－2x＋3D.y＝x2＋2x－3a＜b＜cB

7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）如图所示，则下列选项判断正确的是（

C

）A.a＞0，c＞0B.a＞0，c＜0C.a＜0，c＞0D.a＜0，c＜0第7题图

C8.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＜0.其中正确的是

①②③

⁠.（填序号）第8题图①②③知识点2二次函数图象的平移平移前平移方向（m＞0）平移后简记直线y＝a（x－h）2＋k向左平移m个单位长度y＝a（x－h＋m）2＋k左右平移：给x左加右减；上下平移：给等号右边整体上加下减向右平移m个单位长度y＝⑫

a（x－h－m）2＋k

⁠向上平移m个单位长度y＝a（x－h）2＋k＋m向下平移m个单位长度y＝⑬

a（x－h）2＋k－m

⁠a（x－h－m）2＋ka（x－h）2＋k－m【提分小练】9.把抛物线y＝x2＋1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（

C

）A.y＝（x＋3）2－1B.y＝（x＋3）2＋3C.y＝（x－3）2－1D.y＝（x－3）2＋3C10.将二次函数y＝x2－4x的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数的解析式为

y＝x2－2

⁠.y＝x2－2知识点3二次函数与一次函数、一元二次方程的关系与一次函数一次函数y＝kx＋n（k≠0）的图象l与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象G的交点个数，由方程组的解的个数确定，方程组有两组不同的解⇒l与G有两个交点；方程组只有一组解⇒l与G只有一个交点；方程组无解⇒l与G没有交点与一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标：（1）b2－4ac＞0⇔方程有⑭

两个不相等

⁠的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有⑮

两个相等

⁠的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程⑯

无实数根

⁠两个不相等两个相等无实数根【提分小练】11.抛物线y＝x2－x与直线y＝x＋3的交点坐标是

（－1，2），（3，6）

⁠.12.若二次函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是

a≥－1且a≠0

⁠.13.若抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点（－1，0），则方程ax2－2ax＋c＝0的解为

x1＝－1，x2＝3

⁠.（－1，2），（3，6）a≥－1且a≠0x1＝－1，x2＝3命题点1

二次函数的图象与性质1.将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的解析式为（

A

）A.y＝（x＋2）2－5B.y＝（x＋2）2＋5C.y＝（x－2）2－5D.y＝（x－2）2＋5A考点训练2.（2023·贵州）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限是（

D

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限第2题图D3.如图，抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（

B

）A.1B.2C.3D.4第3题图B4.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a＋c＜b.其中正确的有（

B

）A.1个B.2个C.3个D.4个第4题图B5.如图是二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，该函数的最小值是

－4

⁠.第5题图－4

（1）求该抛物线的解析式；

命题点2

二次函数与一元二次方程的关系7.已知直线y＝kx＋2过第一、二、三象限，则直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为（

C

）A.0个B.1个C.2个D.1个或2个C8.已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，－1＜x1＜0，则下列说法正确的是（

B

）A.x1＋x2＜0B.4＜x2＜5C.b2－4ac＜0D.ab＞0B

重难点1

确定二次函数的解析式⁠

⁠根据下列已知条件，求二次函数的解析式.（1）已知二次函数图象的顶点在x轴上，且横坐标为1，经过另一点（2，－4），则该二次函数的解析式为

y＝－4（x－1）2

⁠；（2）已知二次函数的顶点坐标为（2，－2），且其图象经过点（3，1），则该二次函数的解析式为

y＝3（x－2）2－2

⁠；

y＝－4（x－1）2y＝3（x－2）2－2

①将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为

y＝（x－3）2＋5

⁠；②将抛物线绕顶点旋转180°所得抛物线的解析式为

y＝－（x－1）2＋2

⁠；③将抛物线绕原点旋转180°所得抛物线的解析式为

y＝－（x＋1）2－2

⁠；④若抛物线C1与已知抛物线关于x轴对称，则抛物线C1的解析式为

y＝－（x－1）2

⁠；⑤若抛物线C2与已知抛物线关于y轴对称，则抛物线C2的解析式为

y＝（x＋1）2＋2

⁠.y＝（x－3）2＋5y＝－（x－1）2＋2y＝－（x＋1）2－2y＝－（x－1）2－2y＝（x＋1）2＋2（4）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2x＋3.【夺分宝典】确定二次函数的解析式时，若解析式未知，根据下列所给点的坐标特征选择适当的解析式形式：（1）顶点在原点，可设为y＝ax2；（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y＝ax2＋c；（3）顶点在x轴上，可设为y＝a（x－h）2；（4）抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；（5）已知顶点（h，k）时，可设顶点式为y＝a（x－h）2＋k；（6）已知抛物线与x轴的两交点坐标为（x1，0），（x2，0）时，可设为交点式y＝a（x－x1）（x－x2）；（7）已知抛物线上任意三点时，可设为一般式y＝ax2＋bx＋c，然后列三元一次方程组求解.【对点训练】1.已知二次函数C1的图象经过一次函数y＝－x＋3的图象与x轴、y轴的交点，且过点（1，1）.（1）求二次函数C1的解析式；

（2）二次函数C1的图象关于x轴对称后得到二次函数C2的图象，求二次函数C2

的解析式.

重难点2

运用数形结合思想解决二次函数与直线交点问题⁠

⁠已知抛物线y＝a（x－1）2－4（a为常数，a＞0）.（1）直线y＝m与抛物线只有1个交点时，m的值为

－4

⁠；（2）若一元二次方程a（x－1）2－4－n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围为

n＞－4

⁠；－4n＞－4（3）若该抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（－1，0），（3，0），关于x的一元二次方程a（x－1）2－4－p＝0（p＞0）的两根分别为b，c（b＜c），则b

＜

⁠－1，c

＞

⁠3.（填“＞”“＜”或“＝”）；＜＞（4）若a＝1.①当直线y＝－x＋m与抛物线在x轴下方部分只有一个交点时，求m的取值范围；【自主解答】解：由题意，得y＝（x－1）2－4，∴抛物线与x轴交于点（－1，0），（3，0）.

②当直线y＝kx－2与抛物线在x轴下方部分有两个交点时，求k的取值范围.【自主解答】

【夺分宝典】1.判断一元二次方程ax2＋bx＝m的根的情况：（1）判断根的个数：可以利用数形结合，看水平直线y＝m与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交点个数；（2）已知y＝ax2＋bx＋c与x轴交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），判断ax2＋bx＋c＝m的根x3，x4与x1，x2的大小关系：可以利用数形结合，看水平直线y＝m在x轴上方还是下方，并结合开口判断.如图，以a＞0，m＞0为例，则x3＜x1＜x2＜x4.2.已知直线y＝kx＋b与抛物线交点个数，求字母的取值范围：（1）确定临界点：即直线y＝kx＋b与抛物线相切、直线过抛物线部分图象的端点；（2）分析直线轨迹：①当k确定，b不确定时，直线上下平移；②当k不确定，b确定时，直线绕定点（0，b）旋转.

（3，0）或（4，0）

1.抛物线y＝x2－4x＋3与y轴的交点坐标为（

B

）A.（3，0）B.（0，3）C.（1，0）D.（0，1）2.（2023·铜仁期末）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是（

A

）A.y＝（x－3）2＋4B.y＝（x＋3）2＋4C.y＝（x－3）2－4D.y＝（x＋3）2－4BA巩固训练3.函数y＝（a－3）x｜a－1｜＋（a－1）x＋3的图象是抛物线，则a的值是（

B

）A.－1或3B.－1C.3D.a≠34.（2023·贵阳期末）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（

D

）A.y＝x2＋1B.y＝－x2＋1C.y＝2x＋1D.y＝－2x＋1BD5.已知二次函数y＝－3（x－2）2－3，下列说法正确的是（

C

）A.图象的对称轴为直线x＝－2B.图象的顶点坐标为（2，3）C.函数的最大值是－3D.函数的最小值是－36.已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（

D

）A.－2B.－1C.0D.2CD7.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论正确的是（

D

）A.a＜0B.c＞0C.b2－4ac＜0D.4a＋b＝0D8.已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m的值为

9

⁠.9.已知二次函数y＝3（x＋1）2－8的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（－2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为

y2＞y1＞y3

⁠.（用“＞”连接）10.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的坐标满足下表：x…－4－3－2－10…y…m－3－2－3－6…那么m的值为

－6

⁠.9y2＞y1＞y3－611.二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，则这个二次函数的解析式可以是

y＝－x2＋1（答案不唯一）

⁠.12.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（1，－2）和B（0，－5）.（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标；

y＝－x2＋1（答案不唯一）（2）当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围.解：（2）当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.13.如图，已知正方形ABCD的边长为4，且点D（2，2）.

（1）求图象经过B，E，F三点的二次函数的解析式；（2）求（1）中二次函数图象的顶点坐标.

14.若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（

D

）A.（m，n＋1）B.（m＋1，n）C.（m，n－1）D.（