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文档简介
2024届河南省郑州市第五十四中学数学九上期末联考试题
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答
案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题(每题4分,共48分)
1.下列二次函数中有一个函数的图像与X轴有两个不同的交点,这个函数是()
A.y=X2B.y=x2+4C.y=3x2-2x+5D.y=3>x1+5x-l
2.求二次函数),=办2+从t+c(α≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=T,与X轴的交点为(百,0)、(Λ2,0),
1
其中0<x∣<l,有下列结论:①αhc>O;(2)-3<x2<-2;(§)4«-2Z?+c<-l;@a-b>cmτ+Z2m(m≠-l);
3.如图,函数y=-(x-iy+c的图象与X轴的一个交点坐标为(3,0),则另一交点的横坐标为()
4.在1、2、3三个数中任取两个,组成一个两位数,则组成的两位数是奇数的概率为()
1125
A.-B.-C.-D.一
3236
5.如图,在正方形ABCD中,AB=2,P为对角线AC上的动点,PQ_LAC交折线A-O-C于点Q,设AP=x,∆APQ
的面积为y,则y与X的函数图象正确的是()
6.ADEF和AABC是位似图形,点O是位似中心,点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,若ADEF的面积是2,
C.6D.8
7.如图,一张扇形纸片OAB,NAOB=I20。,OA=6,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O重合,折痕为CD,则
图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为()
6π-^√3
.2百D.
22
8.如图,菱形ABCD的两条对角线AGBD相交于点O,E是AB的中点,若AC=6,BD=8,则OE长为()
A.3B.5C.2.5D.4
9.《九章算术》总共收集了246个数学问题,这些算法要比欧洲同类算法早1500多年,对中国及世界数学发展产生过
重要影响.在《九章算术》中有很多名题,下面就是其中的一道.原文:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,
深一寸,锯道长一尺,问径几何?”翻译:如图,Co为。。的直径,弦AB_LCz)于点£.CE=I寸,AB=K)寸,
则可得直径CO的长为()
A.13寸B.26寸
C.18寸D.24寸
10.若AABC与M)E尸的相似比为1:4,则ΔA3C与ADE尸的周长比为()
A.1:2B.1:3C.1:4D.1:16
11.在aABC中,tanC=—,cosA=-,则NB=()
32
A.60oB.90oC.105oD.135°
12.下列电视台的台标,是中心对称图形的是()
二、填空题(每题4分,共24分)
13.如图把A8C沿AB边平移到VA9C的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC面积的三
分之一,若AB=百,则点C平移的距离CC'是
14.抛物线y=—(x+l)2的顶点坐标为.
15.圆锥的侧面展开图的圆心角是120。,其底面圆的半径为2"",则其侧面积为.
16.如图,在。。中,半径OC与弦AN垂直于点O,且A8=16,OC=IO,则CD的长是
O
17.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为W,那么该矩形的面积为一.
18.如图,。。的半径为2,AB为。O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作。O的切线,切点为C.若PC=26,
则BC的长为.
三、解答题(共78分)
19.(8分)已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共IOO个.从纸箱中任意摸出一球,摸
到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.1.
(1)试求出纸箱中蓝色球的个数;
(2)小明向纸箱中再放进红色球若干个,小丽为了估计放入的红球的个数,她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一
个球记下颜色,再把它放回箱子中,多次重复上述过程后,她发现摸到红球的频率在0.5附近波动,请据此估计小明
放入的红球的个数.
20.(8分)如图,2∖A8C中
(1)请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足P82+P0=3C2的所有点尸构成的图形,并在所作图形上用尺
规确定到边AC、BC距离相等的点P.(作图必须保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接8尸,若BC=15,AC=14,AB=13,求BP的长.
21.(8分)解方程:3x(x-1)=2-2x.
22.(10分)如图,矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点A出发,以每秒一个单位的速度沿ATBTC的
方向运动;同时点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BTCTD的方向运动,当其中一点到达终点后两点都停
止运动.设两点运动的时间为t秒.
(1)当t=时,两点停止运动;
(2)设ABPQ的面积面积为S(平方单位)
①求S与t之间的函数关系式;
②求t为何值时,ABPQ面积最大,最大面积是多少?
23.(10分)若抛物线y=αx2+0x-3的对称轴为直线x=l,且该抛物线经过点(3,0).
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)当-2Wx≤2时,则函数值y的取值范围为.
(3)若方程"2+加-3="有实数根,则〃的取值范围为.
24.(10分)先化简,后求值:1+―-kɪ-~~其中X=-L
Ix-2)χ--4x+4
25.(12分)如图,AB=3AC,BD=3AE,又BD〃AC,点B,A,E在同一条直线上.求证:∆ABD<^∆CAE
参考答案
一、选择题(每题4分,共48分)
1、D
【解析】试题分析:分别对A、B、C、D四个选项进行一一验证,令y=l,转化为一元二次方程,根据根的判别式来
判断方程是否有根.
A、令y=l,得χ2=l,∆=1-4×1×1=1,则函数图形与X轴没有两个交点,故A错误;
B、令y=l,得χ2+4=l,△=1-4×1×1=-4<1,则函数图形与X轴没有两个交点,故B错误;
C、令y=l,得3χ2-2x+5=l,Δ=4-4×3×5=-56<l,则函数图形与X轴没有两个交点,故C错误;
D、令y=l,得3χ2+5x-l=l,△=25-4×3×(-1)=37>1,则函数图形与X轴有两个交点,故D正确;
故选D.
考点:本题考查的是抛物线与X轴的交点
点评:解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与X轴有两个交点时,b2-4ac>l,与X轴有一个交点时,b2-4ac=l,与
X轴没有交点时,b2-4ac<l.
2、C
b
【分析】由抛物线开口方向得a>0,由抛物线的对称轴为直线X=--=-1得8=2α>0,由抛物线与y轴的交点位
2a
置得cV0,则abcVO;由于抛物线与X轴一个交点在点(0,0)与点(1,0)之间,根据抛物线的对称轴性得到抛物
线与X轴另一个交点在点(-3,0)与点(-2,0)之间,即有-3V%2<-2;抛物线的对称轴为直线X=-I,且cV-l,
X=—2时,4a-2b+c<-∖i抛物线开口向上,对称轴为直线x=-l,当x=-l时,y最小值=。—匕+c,当X=加得:
b
22
y=am+bm+c9fim≠-Lʌ》最小值=cι-b+c<,即。一am+bm;对称轴为直线1=一二一=一1得8=2α,
2a
由于X=I时,y>09则α+h+c>O,所以。+2〃+。>0,解得。>一;。,然后利用。<一1得到。>—1.
【详解】Y抛物线开口向上,∙∙∙a>0,
h
•・•抛物线的对称轴为直线尤=———=-1,Λb=2a>0,
2a
抛物线与y轴的交点在X轴下方,.∙.cV0,...abcVO,
所以①错误;
:抛物线y=QX2+〃x+c与X轴一个交点在点(0,0)与点(Lo)之间,而对称轴为尤=一1,由于抛物线与X轴一
个交点在点(0,0)与点(L0)之间,根据抛物线的对称轴性,,抛物线与X轴另一个交点在点(-3,0)与点(-2,
0)之间,即有-3VzV-2,所以②正确;
・・,抛物线的对称轴为直线尤=T,且cV-L・・・当χ=-2时,40-2⅛+c<-l,所以③正确;
•・•抛物线开口向上,对称轴为直线尤=—1,・••当%=—1时,V最小值=〃一人+。,
2
当无=机代入y="√+匕工+。得:y-am+力帆+c,
Vm≠-[9Λ>⅛φa=a-h+c<9即〃一/?<〃〃「+初n,所以④错误;
•;对称轴为直线x=-2=T,.∙∙8=24,
2a
Y由于X=I时,y>O,Λα+h+c>O,所以q+2z7+c>0,解得。>-gc,
根据图象得c<T,所以⑤正确.
所以②③⑤正确,故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系,以及抛物线与X轴、y轴的交点,二次函数y=ax,bx+c(a≠0),a决定抛
物线开口方向;C的符号由抛物线与y轴的交点的位置确定;b的符号由a及对称轴的位置确定;当x=l时,y=a+/?+c;
当%=_]时,y=a-b+c.
3、D
【分析】根据到函数对称轴距离相等的两个点所表示的函数值相等可求解.
【详解】根据题意可得:函数的对称轴直线x=l,则函数图像与X轴的另一个交点坐标为(-1,0).
故横坐标为-1,
故选D
考点:二次函数的性质
4、C
【分析】列举出所有情况,看末位是1和3的情况占所有情况的多少即可.
【详解】依题意画树状图:
榜
123
∕∖∕∖/\
231312
42
.∙.共有6种情况,是奇数的有4种情况,所以组成的两位数是偶数的概率=:=彳,
63
故选:C.
【点睛】
本题考查了树状图法求概率以及概率公式;如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现
m种结果,那么事件A的概率P(A)=-,注意本题是不放回实验.
n
5、B
【分析】因为点P运动轨迹是折线,故分两种情况讨论:当点P在A-D之间或当点P在D-C之间,分别计算其面
积,再结合二次函数图象的基本性质解题即可.
【详解】分两种情况讨论:
1,
当点Q在A-D之间运动时,y=-√,图象为开口向上的抛物线;
当点Q在D—C之间运动时,如图QLPl位置,y=^x∙PiQi
oo
∙.∙ZZ)CA=45,Zβl∕]C=90
.∙.=M=AC
AB=2
.∙.AC=2√2
.∙.QR=2也-X
:.y=-x∙P,Q,=-x(2∖∕2-x)=--x2+y∕2x
-222
由二次函数图象的性质,图象为开口向下的抛物线,
故选:B.
【点睛】
本题考查二次函数图象基本性质、其中涉及分类讨论法、等腰直角三角形的性质等知识,是重要考点,难度较易,掌
握相关知识是解题关键.
6、D
【解析】先根据三角形中位线的性质得到DE=LAB,从而得到相似比,再利用位似的性质得到ADEFS4ABC然后
2
根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可.
【详解】Y点D,E分别是OA,OB的中点,
1
ΛDE=-AB,
2
TaDEF和AABC是位似图形,点O是位似中心,
.∙.∆DEF<×>∆ABC,
.SSDEFj_
Λ∆ABC的面积=2X4=8
故选D.
【点睛】
本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样
的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
7、A
【分析】根据阴影部分的面积=S扇形-S弓形a>计算即可.
【详解】由折叠可知,
•S弓形AD=S弓形OD,DA-DO»
•:OA=OD,
:.AD=OD=OA,
,aAOO为等边三角形,
ΛZAOD=60o.
VZAOB=Imo,
ΛZDOB=GOo.
VAD=OD=OA=6,
:・AC=Co=3,
ΛCD=3λ^,
:・S弓形AD-S扇形ADO-SAADo—‘°"'—X6X3ʌ/ɜ=6π
3602
:•S弓形。/尸6九-9λ∕3,
60^-∙62
阴影部分的面积二S崩形BOO-S弓形OD=-(6π-9√3)=9√3.
360
故选:A.
【点睛】
本题考查了扇形面积与等边三角形的性质,熟练运用扇形公式是解答本题的关键.
8、C
【分析】根据菱形的性质可得OB=OD,AO±BO,从而可判断OE是ADAB的中位线,在RtAAOB中求出AB,继
而可得出OE的长度.
【详解】解:Y四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,
ΛAO=OC=3,OB=OD=4,AO±BO,
又:点E是AB中点,
二OE是ADAB的中位线,
在RtAAoD中,AB=JQ42+o02=5,
,15
贝π!]OE=-AD=-.
22
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理,熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键.
9、B
【分析】根据垂径定理可知AE的长.在RtAAOE中,运用勾股定理可求出圆的半径,进而可求出直径CD的长.
连接OA,ABlCD
由垂径定理可知,点E是弦AB的中点,
AE=-AB=5
2
OE=OC-CE=OΛ-CE
设半径为r,由勾股定理得,
OA2=AE2+OE2=OA2+COA-CE)2
即r2=52+Cr-I)2
解得:r=13
所以CD=2r=26,
即圆的直径为26,
故选B.
【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法,熟练掌握相关性质是解题的关键.
10、C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】解:∙.∙ΔABC与ΔPEE的相似比为1:4,J.AABC与ΔDEF的周长比为:1:4.
故选:C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,属于应知应会题型,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
11、C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出NC=30。,ZA=45°,进而得出答案.
【详解】解:tanC=,COSA=I■,
32
ΛZC=30o,ZA=45o,
.∙.ZB=180o-ZC-ZA=105o.
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.
12、D
【解析】根据中心对称图形的概念,中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合,因此,四个选项中只
有D符合.故选D.
二、填空题(每题4分,共24分)
13、G-I
【分析】根据题意可知AABC与阴影部分为相似三角形,且面积比为三分之一,所以可以求出43=1,进而可求答
案.
即点C平移的距离CC'是百一1
故答案为百-1∙
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质与判定,能够知道相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.
14、(-1,0)
【分析】根据二次函数的性质,由顶点式直接得出顶点坐标即可.
【详解】解:∙.∙抛物线y=—(x+l)2,
二顶点坐标为:(-1,0),
故答案是:(-1,0).
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质,根据顶点式得出顶点坐标是考查重点,同学们应熟练掌握.
15、∖2πcm
【分析】先根据底面半径求出底面周长,即为扇形的弧长,再设出扇形的半径,根据扇形的弧长公式,确定扇形的半
径;最后用扇形的面积公式求解即可.
【详解】解:底面圆的半径为2cm,
底面周长为4πcm,
,侧面展开扇形的弧长为4πcιn,
设扇形的半径为r,
T圆锥的侧面展开图的圆心角是120°,
120万r
---------=4π,
180
解得:r=6,
,侧面积为LX4JΓX6=12KCWI,
2
故答案为:12πc,".
【点睛】
本题考查了圆锥的表面积、扇形的面积以及弧长公式,解答的关键在于对基础知识的牢固掌握和灵活运用.
16、4
【解析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案.
【详解】连接。4,
设CD=x,
•;OA=OC=10,
.".OD=W-X,
':OCLAB,
由垂径定理可知:A5=16,
由勾股定理可知:1()2=82+(ιo-χ)2
,x=4,
ΛCD=4,
故答案为:4
【点睛】
本题考查垂径定理,解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理,本题属于基础题型.
17、240
【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB,由勾股定理求出AD,即可得出矩形的面积.
【详解】解:如图所示:
T四边形ABCD是矩形,
ΛZBAD=90o,AC=BD=26,
':SinZADB=-=—,
BD13
ΛAB=26x2=10,
13
∙"∙AD=yjBD2-AB2=√262-102=24»
.∙.该矩形的面积为:24x10=240;
故答案为:240.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数;熟练掌握矩形的性质,由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键.
18›2
【分析】连接OC,根据勾股定理计算OP=4,由直角三角形30度的逆定理可得NOPC=30。,贝!∣NCOP=60°,可得AOCB
是等边三角形,从而得结论.
【详解】连接OC
;PC是。O的切线,
ΛOC±PC,
.∙.NOCP=90。,
VPC=2√^,OC=2,
∙∙∙OP=^OC2+PC1=M+Q6)2=4,
ΛZOPC=30o,
:.ZCOP=60o,
VOC=OB=2,
...△OCB是等边三角形,
ΛBC=OB=2,
故答案为2
【点睛】
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属
于中考常考题型.
三、解答题(共78分)
19、(1)50;(2)2
【解析】(1)蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可;
(2)因为摸到红球的频率在0.5附近波动,所以摸出红球的概率为0.5,再设出红球的个数,根据概率公式列方程解
答即可.
【详解】(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为:IOOX(1-0.2-0.1)=50(个)
(2)设小明放入红球X个.根据题意得:
解得:x=2(个).
经检验:乂=2是所列方程的根.
答:小明放入的红球的个数为2.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率,大量反复试验时,某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近,这个常数就叫做事件
概率的估计值.关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系.
20、(1)见解析;(2)BP=3√5
【分析】(1)根据PB2+PC2=3O得出P点所构成的圆以BC为直径,根据垂直平分线画法画出O点,补全。。,再
作NACB的角平分线与。O的交点即是P点.
(2)设OO与AC的交点为H,AH=x,得到A//、BH,根据题意求出OP〃AC,即可得出OPJLB",BQ=ɪBH,
00=;C//,求出PQ,根据勾股定理求出BP.
【详解】⑴如图:
9i
Ftk/0
(2)由(1)作图,设。。与AC的交点为H,连接BH,・・・N3HC=90。
VBC=15,AC=14,AB=13
设A"=x:.HC=14-X
:・BH2=132-X2=152-(14-X)2
解得:x=5
:.AH=5
ΛBH=12.
连接。P,由(1)作图知C尸平分N8C4
:.ZPCA=ZBCP
XVOP=OC
:・NOPC=NBCP
:.AOPC=APCA
:.OP//CA
OPlBH与点Q
1
:∙BQ=QBH=6
D15
又30=—
2
9
∙∙∙OQ=3
.∙.P0=3
:∙BP=3√5.
PO
Λ-------------------------
【点睛】
此题主要考查了尺规作图中垂直平分线,角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识,解题的关键是构建直角三
角形及找到关键相似三角形.
【解析】把右边的项移到左边,用提公因式法因式分解求出方程的根.
【详解】解:3x(x-l)+2(x-l)=O,
(x-1)(3x+2)=0>
.".X-1=0,3x+2=0,
解得Xl=l,X2="-.
3
考点:解一元二次方程-因式分解法;因式分解-提公因式法.
22、(1)1;(2)①当OCtV4时,S=-t2+6t,当4≤t<6时,S=-4t+2,当6Vt≤l时,S=t2-10t+2,②t=3时,
△PBQ的面积最大,最大值为3
【分析】(1)求出点Q的运动时间即可判断.
(2)①的三个时间段分别求出aPBQ的面积即可.
②利用①中结论,求出各个时间段的面积的最大值即可判断.
【详解】解:(1)V四边形ABCD是矩形,
ΛAD=BC=8cm,AB=CD=6cm,
ΛBC+AD=14cm,
Λt=14÷2=l,
故答案为1∙
(2)①当()VtV4时,S=-∙(6-t)×2t=-t2+6t.
2
当4StV6时,S=-∙(6-t)×8=-4t+2.
2
当6Vt≤l时,S=ɪ(t-6)∙(2t-8)=t2-10t+2.
一2
②当OVt<4时,S=-∙(6-t)×2t=-t2+6t=-(t-3)2+3,
2
V-1<0,
.∙.t=3时,APBQ的面积最大,最小值为3.
当4≤tV6时,S=L・(6-t)x8=-4t+2,
2
-4<0,
.∙.t=4时,ZkPBQ的面积最大,最大值为8,
当6Vt≤l时,S=ɪ(t-6)∙(2t-8)=t2-10t+2=(t-5)2-1,
2
t=l时,^PBQ的面积最大,最大值为3,
综上所述,t=3时,APBQ的面积最大,最大值为3.
【点睛】
本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用,涉及了分类讨论的数学思想,灵活的利用二次函数的性质求三角形面
积的最大值是解题的关键.
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