2023年北京丰台十二中初三3月月考数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京丰台十二中初三3月月考数学（满分100分，时间120分钟）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是（）A.3 B.4 C.5 D.63.点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足，，则原点所在的位置有可能是（）A.点A B.点B C.点C D.点D4.在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（）5.一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，除数字外四张卡片无其他区别．随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（）A. B. C. D.6.如图，在中，∥，若，，则等于（）A. B. C. D.7.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（）A.3 B.－6 C.2 D.68.如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为；②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为；④当时，，所有正确结论的序号是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．10.若，则代数式的值是___________．11.如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）．12.如图，是的弦，C是上的一点，且，于点E，交于点D．若的半径为6，则弦的长为_____________．13.在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示。若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为______米．14.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么________．15.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，N是AD上一点．若以点D为圆心，DN为半径作圆．⊙D与线段AM仅有一个公共点，则DN的长的取值范围是_______．16.如图，在平面直角坐标系中，点与点的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点，给出如下定义：若，则称点为线段的“等角点”．若点为线段的“等角点”，并且在轴上，则点的坐标为_____________．三、解答题（本题共68分，第17－21题每小题5分，第22－23题每小题6分，第24题每小题5分，第25－26题每小题6分，第27－28题每小题7分，）17.计算：．18.已知，求代数式的值．19.已知：如图，中，．求作：线段，使得点D在线段上，且．作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P（不与点B重合）；③连接交于点D．线段就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．，∴点C在上．点P在上，（_________）（填推理的依据）．，_________．．20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．(1)求cos∠ADE的值；(2)当DE=DC时，求AD的长．21.作出反比例函数的图象，结合图象回答：（1）当时，y的取值范围；（2）当时，x的取值范围．22.在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．（1）求证：∠ACD＝∠ECD；（2）连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．23.已知直线过点．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q．（1）求k的值；（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；②若的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．24.新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日—18日累计票房（亿元）2月19日—21日累计票房（亿元）甲乙根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日—21日三天内影片甲的累计票房应超过亿元．25.如图，在中，以为直径的分别交、于点、，且．过点作的切线，交的延长线于点，且，求的值．26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上.（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值；（3）在（2）的条件下，当时，若函数值y的最大与最小值的差不超过4，直接写出n的取值范围.27.如图，在等边△ABC中，点D是边CB延长线上一动点(BD<BC)，连接AD，点B关于直线AD的对称点为E，过D作DF//AB交CE于点F，（1）依题意补全图形；（2）求证：AD=CF；（3）当∠DCE=15°时，直接写出线段AD，EF，BC之间的数量关系．28.在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T，使点P绕点T逆时针旋转的对应点在上，则称P为的旋转点．下图为的旋转点P的示意图．（1）已知：的半径为2．①在点，，中，的旋转点是；②点P在直线上，若点P为的旋转点，求点P的横坐标的取值范围．（2）设⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若在直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的旋转点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：16447.1万=故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】D【解析】【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．【详解】解：360°÷60°=6．故该正多边形的边数为6．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360°．3.【答案】B【解析】【分析】根据数轴，以及题意可以确定b>0，a<0，｜b｜＞｜a｜，再把数和形结合起来，即可求解．【详解】根据点在数轴上的位置，又因为满足a+b>0，a⋅b<0，可以知道a，b异号，所以原点在B，C中间，且b>0，a<0，｜b｜＞｜a｜，所以B离原点更近，故原点的位置可能在B处，故选B．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，有理数的加减运算，解题的关键是要把数和点对应起来，利用数形结合思想解决问题．4.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；B.不是中心对称图形，不符合题意；C.不是中心对称图形，不符合题意；D.是中心对称图形，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出卡片上的数字之和等于5的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画图如下：

所有等可能的情况有12种，其中卡片上的数字之和等于5的有4种，

则卡片上的数字之和等于5的概率P为：．故选择：A．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6.【答案】D【解析】【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【详解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．7.【答案】B【解析】【详解】如图，连接OA、OB．∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点M，∴S△AOM=，S△BOM=．∴S△AOM：S△BOM=：=3：|k|．∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2．∴|k|=6．∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0．∴k=－6．故选B．8.【答案】C【解析】【分析】根据待定系数法，可判断①，根据二次函数的图像的对称性可判断②③，根据二次函数的图像，可直接判断④．【详解】解：由二次函数图像可知：，把（0，8）代入得：，解得：，即：，故①错误；∵点A(6，m)，在这个二次函数图象上，又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线x=2，且2-(-1)＜6-2，∴，故②正确；∵抛物线的对称轴为：直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(8，0)，∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，故③正确；由二次函数的图像可知：当时，，故④错误．∴正确结论的序号是：②③，故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】x≥﹣3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，根号内的式子必需大于等于0，即可求出答案．【详解】解：式子在实数范围内有意义，则3+x≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义，熟练其要求是解决本题的关键．10.【答案】【解析】【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴=，故答案是：．【点睛】本题主要考查分式求值，用y表示x，再代入求值，是解题的关键．11.【答案】答案不唯一，如：【解析】【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．【详解】∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，∴添加的条件是；故答案为：DB：BA=AB：BC或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．12.【答案】【解析】【分析】如图所示，连接，则，，由半径相等可得到，再由，得到，，由此根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．13.【答案】15【解析】【分析】根据相似三角形的性质，可列出比例式，进而可求得答案.【详解】∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，如图，∴∆ABC~∆EDC，∴，即：，∴ED=15.故答案是：15【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，根据性质，列出对应边的比例式，是解题的关键.14.【答案】【解析】【分析】首先由四边形ABCD是平行四边形，可知BC＝AD，又由于BE∥AD，可证△BEF∽△DAF，则＝，从而得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD，∴＝．又∵BE∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴＝．∴，∴，∴；故答案为：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质和平行四边形的性质，解题关键是熟练运用平行线判定三角形相似，列出比例式，求出线段的关系．15.【答案】x＝或5＜x≤6【解析】【分析】首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过M时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围．【详解】解：如图，当⊙D与AM相切时，设切点为G，连接DG，∵ND=DG=x，

∵∠DAG=∠AMB，∠AGD=∠B=90°，

∴△AGD∽△MBA，

∴，

∴，

x＝，

当⊙D过点M时，如图，⊙D与线段有两个公共点，连接DM，此时ND=DM=5，

∴当以D为圆心，DN为半径的⊙D与线段AM只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或5＜x≤6；

故答案为：x＝或5＜x≤6．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．16.【答案】或【解析】【分析】作的外接圆，设圆心为，过点作轴于，作于，连接，，连接，，根据可知，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得的半径，，再求得，即可求得点的坐标，注意找到所有符合题意的解．【详解】作的外接圆，设圆心为，过点作轴于，作于，连接，，连接，，在轴正半轴上存在，，，是等腰直角三角形，点与点的坐标分别是与，，，，，，，，，同理，在轴负半轴上存在于对称的点为线段的“等角点”，综上，点的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作的外接圆．三、解答题（本题共68分，第17－21题每小题5分，第22－23题每小题6分，第24题每小题5分，第25－26题每小题6分，第27－28题每小题7分，）17.【答案】5【解析】【分析】代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.【详解】解：原式=4+-+1．【点睛】熟记“特殊角的三角函数值，理解负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义”是正确解答本题的关键.18.【答案】2【解析】【分析】先按照平方差公式展开与多项式去括号后，合并同类项，化简代数式，再把变形后，整体代入求值即可．【详解】解：，，．∵，∴．∴原式，．【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，去括号法则，同类项与同类项合并法则，整体代入求值是解题的关键．19.【答案】（1）见解析；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，【解析】【分析】（1）根据题目提供的作法作图即可；（2）根据圆周角定理证明即可．【详解】解：（1）补全图形，如下图．（2）证明：连接．，∴点C在上．点P在上，（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．，．．故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．．【点睛】此题主要考查了圆的有关作图，熟练掌握圆财迷角定理是解答此题的关键．20.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据条件证明∠ADE=∠B，然后在Rt△ABC中，求cosB的值即可；（2）设AD为x，表示出DE=DC=，然后根据，列方程解答即可；也可证明△∽△，利用相似三角形的对应必成比例得出，然后可求出AD的长．【详解】解：解法一：（1）如图，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°．∴∠A+∠ADE=90°．∵∠ACB=，∴∠A+∠B=90°．∴∠ADE=∠B．在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13．∴．∴．（2）由（1）得，设为，则．∵，∴．解得．∴．解法二：（1）∵，∴．∵，∴△∽△．∴．在Rt△中，∵，∴∴∴（2）由（1）可知△∽△．∴设，则．∴．解得．∴．【点睛】本题考查锐角三角函数，相似三角形的判定与性质．21.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出当时，；当时，，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可；（2）先求出当时，；当时，，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可．【小问1详解】解：当时，；当时，，∵，∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，∴当时，；【小问2详解】解：当时，；当时，，∵，∴反比例函数经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，∴当时，或．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知反比例函数的性质．22.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形DBCE为平行四边形，再证明即可得到答案．（2）作OH垂直于AD于H，通过矩形的性质结合已知条件求得OH、HE的长，进而由勾股定理可得到答案．【小问1详解】证明：∵AD∥BC，DE为AD的延长线∴DE∥BC又∵CE∥BD∴四边形DBCE是平行四边形∴DE=BC在矩形中，BC=AD，∴DE=AD又∵CD=CD∴∴【小问2详解】解：如图，作OH垂直于AD于H，即有∥CD∵点O为矩形对角线的交点，即点O为AC、BD的中点∴CD=AB=2，OA=OD∴点H为AD中点，即，∴∵∴∴在直角三角形OHE中∴【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的证明、全等形证明、解直角三角形；熟练掌握相关知识是解题的关键．23.【答案】（1）；（2）①；②．【解析】【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式可得，即；（2）①由P在直线上且横坐标为m，可求点P的纵坐标为，由轴，可得点Q的纵坐标为．由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标为即可；②由P（m,）,Q，可求PQ=利用三角形面积公式S△POQ=，由的面积大于3，列不等式，解得：或（舍去）即可．【详解】解：（1）∵直线过点，∴，即．（2）①∵P在直线上且横坐标为m，∴点P的纵坐标为，∵轴，∴点Q的纵坐标为．∵点Q在函数的图象上，∴点Q的横坐标为．∴点Q的坐标为．②∵P（m,）,Q，PQ=，S△POQ=，的面积大于3，∴，解得：或（舍去），∴．【点睛】本题考查一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，解不等式是解题关键．24.【答案】（1）4.36（2）②③（3）8.61【解析】【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式求出甲、乙的方差，可判断②；③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．【小问1详解】解：影片乙单日票房从小到大排序为，，，，，，一共7个数据，所以影片乙单日票房的中位数为：，故答案为：；【小问2详解】解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，甲的单日票房逐日增加说法不正确；②，，，，甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；③甲超过乙的差值从15日开始分别为，15日：，16日：，17日：，18日：，在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．综上，说法中所有正确结论的序号是②③，故答案案为：②③；【小问3详解】解：乙票房截止到21日收入为：亿，甲票房前7天达到亿，2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：亿．故答案为：．【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．25.【答案】【解析】【分析】由切于点，易得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长，继而求得答案．【详解】为的直径，．又，．切于点，．．又，，，，．又，，设，则，．在中，，，又，，．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角函数，证得是解题的关键．26.【答案】（1）直线（2），（3）【解析】【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出，根据对称轴公式求出对称轴即可；（2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值时，对应的x的取值，进而求出a、m的值；（3）分四种情况，①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出最大值与最小值，列不等式求出范围即可．【小问1详解】解：将点代入抛物线，∴，∴，∴抛物线的对称轴为直线；【小问2详解】由（1）知，抛物线的对称轴为直线∵，∴，∵，抛物线的开口向上，∴当时，函数值在上取得最小值2，∴抛物线解析式为，将点代入，得，∴，∴函数解析式为，∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时取得最大值，当时，y随x的增大而增大，当时取得最大值，∵对称轴为直线∴与的函数值相等，∵∴当时的函数值大于当的函数值，∴当时，函数值在上取得最大值6，∴，解得（负值舍去）；【小问3详解】由（2）知，，，①当时，在对称轴的左侧，∵二次函数的开口向上，∴当时有最大值，当时有最小值，∴，解得，不合题意，舍去；②当时，在中最小值为2，当时取得最大值，∴，解得；③当时，在中最小值为2，当时取得最大值，∴，解得，∴；④当时，在对称轴的右侧，∵二次函数的开口向上，∴当时有最大值，当时有最小值，∴，解得，不合题意，舍去；综上，n的取值范围为．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，解不等式，分类讨论，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．27.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）EF+AD=BC，理由见详解【解析】【分析】（1）依据题意画出相应图形即可；（2）连接FB，先DE＝DF，再证等边三角形DFB，最后通过证△DBA≌△FBC即可得证；（3）先证△AEC为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得到AD，EF，BC之间的数量关系．【详解】（1）解：如图即为所求，（2）证明：如图，连接FB，∵点E、点B关于AD对称，∴△ADE≌△ADB，∴∠AED＝∠ABD，AE＝AB，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠AED＝∠ABD，∴∠AEC＋∠DEF＝∠BAC＋∠ACE＋∠DCF，∴∠DEF＝∠BAC＋∠DCF＝60°＋∠DCF，∵DF∥AB，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，∴∠DFE＝∠FDB＋∠DCF＝60°＋∠DCF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF，∴DB＝DF，又∵∠FDB＝60°，∴△BDF为等边三角形，∴∠DBF＝∠ABC＝60°，DB＝FB，∴∠DBA＝∠FBC＝120°，在△DBA与△FBC中，∴△DBA≌△FBC（SAS）∴AD＝CF．（3）解：∠ACB＝60°，∠DCE＝