新课第02讲：平面向量的运算 解析版

新课第02讲：平面向量的运算【考点梳理】考点一：向量加法法则 考点二：向量加法的运算律考点三：向量加法法则的几何应用 考点四：相反向量考点五：向量减法法则 考点六：向量减法的运算律考点七：向量减法法则的几何应用 考点八：向量加减法的综合问题【知识梳理】知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则知识点二向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半知识点三：相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.知识点四：向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加法法则即可求解.【详解】由向量的加法法则，得.故选：A.2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.【详解】,故选：B3．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.【详解】对于①，,故①正确；对于②，,故②错误；对于③，，故③正确；对于④，,故④正确.故结果为零向量的个数是3.故选:C.题型二：向量加法的运算律4．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；【详解】解：故选：B5．（2022·高一课时练习）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（）A．5 B．4C．3 D．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算律判断【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，所以，，，，都等于，故选：A6．（2020下·辽宁阜新·高一校考阶段练习）下列向量的运算结果为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案.【详解】对A，；对B，；对C，；对D，.综上所述，只有C符合题意故选：C.题型三：向量加法法则的几何应用7．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长．【分析】在矩形中，由，可得，又因为，故，故．故选：A.8．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）菱形中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.【详解】因为菱形中，，若，所以为等边三角形，且，因为，所以.故选：B.9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则．故选：C.题型四：相反向量10．（2021下·高一课时练习）下列等式中，正确的个数为（

）①②③④⑤⑥．A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】根据向量加减法的概念和相反向量的概念分别判断即可.【详解】根据向量的运算及相反向量的概念知①②③④⑤正确，⑥错误，所以正确的个数为5．故选:C．11．（2021下·安徽滁州·高一校联考期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】首先根据题意得到四边形是平行四边形，从而得到与为相反向量.【详解】因为，所以四边形是平行四边形，所以，互相平分，所以，即与为相反向量.故选：B12．（2020·河南·高一校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么A． B． C． D．【答案】A【分析】所给等式可整理为，再由为的中点得，推出，得解.【详解】因为，所以，因为为的中点，所以，则.故选:A题型五：向量减法法则13．（2023·全国·高一专题练习）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．【详解】由题意可得：.故选：C．14．（2023下·海南·高一校考期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，则，因为，且，则有.故选：D.15．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误；故选：D题型六：向量减法的运算律16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：B17．（2021下·广东深圳·高一校考阶段练习）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的加减运算法则即可求解.【详解】解：，故选：A.18．（2021下·浙江·高一校联考阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：

在平行四边形中，M为BC的中点，则又N为线段AB上靠近A的三等分点，则故选：B题型七：向量减法法则的几何应用19．（2023下·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.【详解】因为四边形为平行四边形，对A，，正确；对B，，错误；对C，，正确；对D，，正确.故选：B.20．（2022下·新疆阿克苏·高一校联考期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项.【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：B．21．（2022下·新疆昌吉·高一校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【分析】根据相等向量的性质，结合平面向量加法和减法的几何意义、矩形的判定定理进行求解即可.【详解】由，所以四边形ABCD是平行四边形，由，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形是矩形，故选：C题型八：向量加减法的综合问题22．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：(1)；(2)；(3)；【答案】(1).(2).(3)【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.【详解】（1）.（2）.（3）.23．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求．【答案】【分析】根据得到平行四边形是矩形，，计算得到答案.【详解】，，，故，故平行四边形是矩形,，，，=.24．（2023·高一课时练习）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．

【答案】证明见详解【分析】根据题意结合向量减法分析证明.【详解】因为，又因为为平行四边形，则为的中点，可得，所以，即.【双基训练】一、单选题25．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量加法的三角形法则可知.【详解】.故选：C.26．（2023下·广西钦州·高一统考期末）已知四边形是平行四边形，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量加法法则可化简.【详解】.故选：D.27．（2023下·全国·高一随堂练习）下列各式中，化简后不是零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.【详解】因为，故A错误；因为，故B正确；因为，故C错误；因为，故D错误.故选：B28．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.【详解】因为，，，，所以，所以是等边三角形．故选：A．29．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）化简的结果等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用向量加法法则及相反向量计算即可.【详解】，故选：B.30．（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加减法结合图形判断各个选项即可.【详解】,A选项错误;因为ABCD是平行四边形,点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,,B选项错误;,C选项正确;,D选项错误.故选：C.31．（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：B32．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】因为为的中点，可得，所以.故选：C.33．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解.【详解】在中，设，则，因为，即，所以为等边三角形，以为邻边作平行四边形，设交于点，可得，则，因为，取的起点为，可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；当点为线段与圆的交点时，的最小值为；所以.故选：A.

二、多选题34．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.【详解】对于A，，A是；对于B，，不一定是零向量，B不是；对于C，，C是；对于D，，D是.故选：ACD35．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（

）A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则【答案】ACD【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于C：根据共线向量的定义即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】对于A，单位向量模都为1，方向不一定相同，故A错误；对于B，若方向相同，则，若方向相反，则，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知.综上可知对于任意向量，必有，故B正确；对于C，平行向量就是共线向量，故C错误；对于D，两个向量不能比较大小，故D错误.故选：ACD.36．（2023上·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（

）A．若，则存在实数，使得.B．若，则.C．若，则，反向.D．若，则，一定同向【答案】ACD【分析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D.【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，则存在实数，使得，故选项A错误；对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，故选项B正确；对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；综上所述：选项ACD错误，故选：ACD.37．（2023下·云南普洱·高一校考阶段练习）化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的是（

）．A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可【详解】对于①，，所以①符合题意，对于②，，所以②符合题意，对于③，，所以③不符合题意，对于④，，所以④符合题意，故选：ABD38．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）.

A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，错误.故选：AC三、填空题39．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案为：；；；.40．（2023下·高一课时练习）如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，

则：（1）与向量相等的向量有；（2）与向量相反的向量有；（3）与向量的模相等的向量有.（填图中所画出的向量）【答案】，，，，，【分析】根据已知，结合图象以及向量的概念，即可得出答案.【详解】因为O是正三角形ABC的中心，所以.因为四边形AOCD为平行四边形，所以，且.根据图象可知，与向量相等的向量有；由已知可得，，且，且.所以，与向量相反的向量有，；因为，，所以与向量的模相等的向量有，，，，.故答案为：；，；，，，，.41．（2023·高一课时练习）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式：①

②

③

④其中正确的题号是．【答案】③④【分析】根据向量的线性运算逐项分析判断.【详解】对于①：，故①错误；对于②：，故②错误；对于③：，故③正确；对于④：，故④正确；故答案为：③④.42．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，，则的最大值为.【答案】/【分析】设，根据题意是三角形的重心，且可得，推出，设，根据勾股定理可得，可得，利用二次函数求最值即可.【详解】设，如图，则，是的重心.由于，延长交于点，则，.设，则，，，，当时，等号成立，即的最大值为.故答案为：四、解答题