核心考点06复数（解析版）

核心考点06复数考点精讲目录一．虚数单位i、复数（共7小题）二．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）三．纯虚数（共7小题）四．复数的运算（共10小题）五．复数的模（共8小题）六．复数的三角表示（共3小题）七．实系数多项式虚根成对定理（共3小题）考点考向考点考向一．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．二．复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．三．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则四．复数的模1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．五．实系数多项式虚根成对定理实系数多项式虚根成对定理：n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则＝a0﹣b0i也是方程的根．考点精讲考点精讲一．虚数单位i、复数（共7小题）1．（2022春•虹口区校级期末）已知复数z，则“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，若z为纯虚数，则z+＝0，故“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．2．（2022春•浦东新区校级期末）3+4i的虚部是4．【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．【解答】解：3+4i的虚部是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题．3．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝10+17i，则Rez＝10．【分析】根据已知条件，结合实部的定义，即可求解．【解答】解：z＝10+17i，则Rez＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查实部的定义，属于基础题．4．（2022春•浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为{﹣2，0，2}．【分析】分类讨论，利用复数的运算求解即可．【解答】解：当n＝4k，k∈N时，1+＝1+1＝2，当n＝4k+1，k∈N时，i+＝i﹣i＝0，当n＝4k+2，k∈N时，i2+＝﹣1﹣1＝﹣2，当n＝4k+3，k∈N时，i3+＝﹣i+i＝0，故当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为{﹣2，0，2}；故答案为：{﹣2，0，2}．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i的性质，是基础题．5．（2022春•杨浦区校级期中）已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是1．【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解．【解答】解：复数2+i的虚部为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题．6．（2022春•松江区校级期末）设z、z1、z2∈C，则下列命题中的真命题为（）A．若z1＞z2，则z1+z＞z2+z B．若z+＝0，则z为纯虚数 C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D．若z＝z1z2，则argz＝argz1+argz2【分析】由题意，利用复数的定义和性质，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：当z为虚数时，由z1＞z2，不能推出z1+z＞z2+z，例如由2＞1，不能推出2+i＞1+i，故A错误；若z+＝0，则不能推出z为纯虚数，例如当z＝0时；若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，正确，即C正确；若z＝z1z2，则argz＝argz1+argz2，错误，例如1＝（﹣1）×（﹣1），但arg1＝0，arg（﹣1）＝π，arg（﹣1）＝π，不满足argz＝argz1+argz2，故选：C．【点评】本题主要考查复数的定义和性质，通过举反例，来说明某个命题不成立，是一种简单有效的方法，属于基础题．7．（2022春•金山区校级期末）已知复数z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ为实数），并且z1＝z2，则实数m＝．【分析】由复数相等的定义得到，从而m＝cos2θ＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵复数z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ为实数），并且z1＝z2，∴，∴实数m＝cos2θ＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查实数值的求法，考查复数相等、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）8．（2022春•闵行区校级期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，复数z对应的点为复平面x轴上，A（﹣1，0），B（1，0）之间的任意点，故|z﹣1﹣i|表示复数z对应的点到点P（1，1）的距离，所以|z﹣1﹣i|的最大值是．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．9．（2022春•嘉定区校级期末）已知复数z1＝5﹣2022i，z2＝2017+2ai（a∈R），若z1+z2所对应的点在实轴上，则a＝1011．【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵z1+z2所对应的点在实轴上，∴z1+z2＝5﹣2022i+2017+2ai＝2022+（2a﹣2022）i，∵z1+z2所对应的点在实轴上，∴2a﹣2022＝0，解得a＝1011．故答案为：1011．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．10．（2022春•虹口区校级期末）已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为﹣1﹣2i与4﹣i，则点B的坐标为（3，﹣3）．【分析】由向量的运算知＝+，从而可得对应的复数为﹣1﹣2i+4﹣i＝3﹣3i，从而求得．【解答】解：∵＝+，∴对应的复数为﹣1﹣2i+4﹣i＝3﹣3i，故点B的坐标为（3，﹣3），故答案为：（3，﹣3）．【点评】本题考查了复数的几何意义的应用，属于基础题．11．（2022春•浦东新区校级期末）求实数m的值或取值范围，使得复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在复平面上所对应的点Z分别位于：（1）虚轴上；（2）第四象限．【分析】（1）由实部为0求解一元二次方程可得m值；（2）由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：（1）∵复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在复平面上所对应的点Z位于虚轴上，则m2﹣8m+15＝0，即m＝3或m＝5；（2）∵复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在复平面上所对应的点Z位于第四象限，∴，解得﹣2＜m＜3或5＜m＜7．∴实数m的取值范围是（﹣2，3）∪（5，7）．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是基础题．12．（2022春•宝山区校级期末）复数3﹣4i和1+i在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为（结果用反三角函数表示）．【分析】由复数的几何意义得到两个向量的坐标表示，再利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得结果．【解答】解：依题意得，复数3﹣4i所对应的向量，复数1+i所对应的向量，所以，因为，所以，即所求角大小为．故答案为：．【点评】本题主要考查向量的数量积公式，考查转化能力，属于基础题．13．（2022春•徐汇区期末）如图，在复平面上给定平行四边形OABC，其中点A与点C分别对应复数zA＝﹣1+i与zC＝3+2i，则点B所对应的复数为2+3i．【分析】根据已知条件，结合平行四边形的性质，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：∵点A与点C分别对应复数zA＝﹣1+i与zC＝3+2i，∴A（﹣1，1），C（3，2），设B（xB，yA），∵四边形OABC为平行四边形，∴0+xB＝﹣1+3，0+yB＝1+2，解得xB＝2，yB＝3，∴点B所对应的复数为2+3i．故答案为：2+3i．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及复数的几何意义，属于基础题．14．（2022春•宝山区校级月考）复数z＝（a2﹣2a+3）﹣（a2﹣a+）i（a∈R）在复平面内对应点位于第四象限．【分析】通过配方利用二次函数的单调性判断出实部与虚部与0的大小关系即可得出结论．【解答】解：∵复数z的实部：a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0，虚部﹣（a2﹣a+）＝﹣﹣＜0．∴复数z＝（a2﹣2a+3）﹣（a2﹣a+）i（a∈R）在复平面内对应点位于第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了配方法、二次函数的单调性、复数实部与虚部及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2022春•浦东新区校级月考）设a是实数，关于z的方程（z2﹣2z+5）（z2+2az+1）＝0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．【分析】由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，因为z2+2az+1＝0有两个不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1时，若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1时，讨论计算即可．【解答】解：由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，因为z2+2az+1＝0有两个不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1时，，因为z1，z2，z3，z4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，﹣1＜a＜1满足条件；若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1时，是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当z1、z2对应的点在以z3，z4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为，整理得，即x2+2ax+1+y2＝0，将点（1，±2）代入得a＝﹣3；综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．【点评】本题考查了复数的综合应用，属于中档题．16．（2022春•闵行区校级期末）在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t﹣）+isin（2t﹣）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是．【分析】当t＝时，求得点P的坐标为P1（，﹣），当t＝时，点P的坐标为P2（，），当直线AP和单位圆相切时，设切点为M，向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积．【解答】解：由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π），如图：t＝时，点P的坐标为P1（，﹣）；当t＝时，点P的坐标为P2（，）．向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与弓形的面积之和，而△AP1P2的面积等于△OP1P2的面积（因为这两个三角形同底且等高），故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积．由于∠P1OP2＝2×＝，∴扇形P1OP2的面积为等于××12＝，故答案为：．【点评】本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，扇形的面积公式的应用，属于中档题．三．纯虚数（共7小题）17．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解a的值．【解答】解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，∴，∴a＝2，故选：A．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．18．（2022春•宝山区校级期中）已知复数z＝（a2﹣3a+2）+（a2﹣a﹣2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝1．【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：∵z为纯虚数，∴，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．19．（2022春•黄浦区校级期末）已知纯虚数z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．0【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．【解答】解：纯虚数z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3＝m2﹣4m+3+（m2﹣m）i，则，解得m＝3．故选：B．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．20．（2022春•宝山区校级月考）若关于x的方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）有纯虚数根，则实数t的值为2．【分析】设方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的纯虚数根为bi（b≠0，b∈R），从而得到，再求出t的值．【解答】解：设方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的纯虚数根为bi（b≠0，b∈R），则（bi）2+（t2﹣2t+2tbi）i＝0，即﹣b2﹣2tb+（t2﹣2t）i＝0，即，解得t＝2，b＝﹣4或t＝0，b＝0（舍去），故实数t的值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了复数的化简与运算，属于基础题．21．（2022春•闵行区校级期末）已知θ为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为﹣1．【分析】直接根据复数的概念可得，求解得θ再代入即可．【解答】解：若复数z＝sinθ﹣1+i（cosθ﹣1）是纯虚数，可得，解得θ＝+2kπ，k∈Z，即z＝﹣i，则z的虚部为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的概念，是基础题．22．（2022春•闵行区校级月考）（1）当m为何值时，复数是：①实数；②纯虚数；（2）已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，，且，求复数ω．【分析】（1）①当z是实数时，列方程组，能求出m；②当z为纯虚数时，列方程组，能求出m．（2）设z＝a+bi（a，b∈R），（1+3i）•z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，求出，从而＝＝，由|ω|＝5，解得|b|＝5，由此能求出结果．【解答】解：（1）复数，①当z是实数时，，解得m＝5；②当z为纯虚数时，，解得m＝﹣2或m＝3．（2）设z＝a+bi（a，b∈R），（1+3i）•z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴，∴，＝＝，|ω|＝＝＝5，解得|b|＝5，∴b＝±5，∴ω＝7﹣i或ω＝﹣7+i．【点评】本题考查实数、纯虚数的定义、复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．（2022春•浦东新区校级期末）设z为复数．（1）若，求|z|的值；（2）已知关于x的实系数一元二次方程x2+px+q＝0（p、q∈R）的一个复数根为z，若z为纯虚数，求p+q的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．（2）设z＝bi（b≠0），结合纯虚数的定义，以及一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．【解答】解：（1），故|z|＝|﹣3﹣4i|＝5；（2）设z＝bi（b≠0），∵一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，且z为纯虚数，∴，解得，故p+q∈（0，+∞）．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，属于基础题．四．复数的运算（共10小题）24．（2022春•浦东新区校级期末）i2022+i2021+…+i+1＝（）A．1 B．i+1 C．i D．0【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：i+i2+i3+i4＝0，i4＝1，则i2022+i2021+…+i+1＝1+i+i2+i3+i4+i4（i+i2+i3+i4）+•••+i2021+i2022＝1+i2021+i2022＝1+（i4）505•i+1+（i4）505•i2＝1+i﹣1＝i．故选：C．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．25．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z满足（1+2i）z﹣1﹣i＝0，则z的虚部为（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合复数的运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：∵（1+2i）z﹣1﹣i＝0，∴，∴由虚部的定义可得，z的虚部为．故选：C．【点评】本题主要考查复数的运算，以及虚部的定义，属于基础题．26．（2022春•奉贤区校级期末）关于z的实系数一元二次方程z2+bz+c＝0的一根为，则c＝4．【分析】关于z的实系数一元二次方程z2+bz+c＝0的一根为，则关于z的实系数一元二次方程z2+bz+c＝0的另一根为，然后求解即可．【解答】解：关于z的实系数一元二次方程z2+bz+c＝0的一根为，则关于z的实系数一元二次方程z2+bz+c＝0的另一根为，则c＝，故答案为：4．【点评】本题考查了复数的运算，属基础题．27．（2022春•奉贤区校级期末）已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是﹣．【分析】设z＝a+bi，a，b∈R，由是实数，可得a2+b2＝2，则然后用a表示，再结合二次函数的性质求出最值．【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，由是实数，可得，则，即b＝，又z是虚数，则b≠0，所以a2+b2＝2，则＝（a﹣bi﹣a﹣bi）2＝﹣4b2+2a＝4a2+2a﹣8＝，又，即当a＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了复数的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属基础题．28．（2022春•浦东新区校级月考）已知虚数z满足z3+1＝0．则＝2．【分析】由已知可得z﹣1＝z2，代入，结合z3＝﹣1求解．【解答】解：∵z3+1＝0，∴（z+1）（z2﹣z+1）＝0，∵z为虚数，∴z2﹣z+1＝0，即z﹣1＝z2，则＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．29．（2022春•浦东新区校级期末）设关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的两个虚数根分别为x1、x2，若|x1﹣x2|＝|x1+x2|，则＝2．【分析】由题意，根据实系数一元二次方程虚根成对定理，设x1＝m+ni，x2＝m﹣ni，m、n∈R，利用韦达定理可得|n|＝|m|．不妨假设x1＝m+mi，则x2＝m﹣mi，求得m＝﹣，2m2＝，从而求得要求式子的值．【解答】解：设关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的两个虚数根分别为x1＝m+ni，x2＝m﹣ni，m、n∈R，∴x1+x2＝2m＝﹣，x1•x2＝m2+n2＝．若|x1﹣x2|＝|x1+x2|，则|2n|＝|2m|，即|n|＝|m|．不妨假设x1＝m+mi，则x2＝m﹣mi，此时，m＝﹣，2m2＝，即2×＝，即b2＝2ac，∴＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，复数的模的定义，属于中档题．30．（2022春•徐汇区校级期末）已知z为虚数，且z1＝是实数，z2＝也是实数，则z3的值为1．【分析】设z＝x+yi，根据Z1，Z2为实数可得x2+y2＝1，x2+y2＝﹣2x，联立求出x，y的值，进而得到z＝﹣，再求出z3即可．【解答】解：设z＝x+yi（其中x，y∈R，且y≠0），则实数Z1＝＝＝＝，∴y（1﹣x2﹣y2）＝0（y≠0），∴x2+y2＝1，对于实数Z2，同理求得x2+y2＝﹣2x，联立解得，∴z＝﹣，∴z3＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了复数的运算，属于中档题．31．（2022春•长宁区校级期末）关于x的方程x2+mx+13＝0（m∈R）的两个根为x1，x2．（1）若x1＝﹣3+2i，求实数m的值；（3）若|x1﹣x2|＝3，求实数m的值．【分析】（1）利用韦达定理化简即可求解；（2）讨论方程有两实数根与有两虚数根，然后利用韦达定理化简建立方程即可求解．【解答】解：因为关于x的方程x2+mx+13＝0（m∈R）的两个根为x1，x2．所以由韦达定理可得x1+x2＝﹣m，x1x2＝13，（1）由x1＝﹣3+2i得方程有一对共轭复数根，所以x2＝﹣3﹣2i，所以x1+x2＝﹣3+2i+（﹣3﹣2i）＝﹣6＝﹣m，所以m＝6；（2）1°方程有两实数根，则，解得；2°方程有两虚根，则，解得，所以实数m的值为或．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到一元二次方程根的性质以及韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．32．（2022春•闵行区校级期末）已知z为虚数，若，且﹣1＜ω＜2．（1）求z的实部的取值范围；（2）设，求ω﹣μ2的最小值．【分析】（1）根据题意设复数z，代入ω计算，使其虚部为0，得到a2+b2＝1，求解即可．（2）由a2+b2＝1，得到ω﹣μ2＝2（a+1+）﹣3，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，且b≠0，则ω＝z+＝a+bi+＝a++（b﹣）i，若﹣1＜ω＜2，则b﹣＝0，∵b≠0，∴a2+b2＝1，∴﹣1＜ω＝2a＜2，∴﹣＜a＜1，∴z的实部的取值范围为（﹣，1）．（2）∵a2+b2＝1，∴＝＝＝＝﹣，∵ω＝2a，﹣＜a＜1，∴a+1＞0，∴ω﹣μ2＝2a+＝2a+＝2a﹣＝2（a+1+）﹣3≥2×2﹣3＝1，当且仅当a+1＝，即a＝0时取等号，∴ω﹣μ2的最小值为1．【点评】本题考查复数的四则运算，基本不等式求最值问题，属于中档题．33．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数为虚数单位．（1）若，且z1⋅z2为实数，求θ的值；（2）若，复数z1z2对应的向量分别是、，存在θ使等式成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由题意可得z1z2的表达式，再由z1z2为实数，可得虚部为0，由θ的取值范围可得θ的值；（2）由题意可得，的坐标，由向量的运算性质可得的变形式，由辅助角公式可得sin（θ﹣）＝，再由θ的范围，求出其正弦值的范围，进而求出λ的取值范围．【解答】解：（1）因为复数z1＝2sinθ﹣i，z2＝1+（2cosθ）i，所以z1z2＝（2sinθ﹣i）•[1+（2cosθ）i]＝2sinθ+2cosθ）+（4sinθcosθ﹣）i，因为z1⋅z2为实数，所以4sinθcosθ﹣＝0，即2sin2θ＝，可得sin2θ＝，而θ∈[0，]，所以2θ∈[0，π]，所以2θ＝或π，可得θ＝或；（2）由题意＝（2sinθ，﹣），＝（1，2cosθ），等式成立，即（2λsinθ﹣1，﹣λ﹣2cosθ）•（2sinθ﹣λ，﹣﹣2λcosθ）＝0，即（2λsinθ﹣1）•（2sinθ﹣λ）+（﹣λ﹣2cosθ）•（﹣﹣2λcosθ）＝0，整理可得：（2cosθ﹣2sinθ）λ2+8λ+（﹣2sinθ+2cosθ）＝0，而﹣2sinθ+2cosθ＝﹣4sin（θ﹣）所以8λ﹣（λ2+1）4sin（θ﹣）＝0，可得sin（θ﹣）＝，因为θ∈[，]，所以θ﹣∈[，]，所以sin（θ﹣）∈[，1]，所以≤≤1，即，解得，所以实数λ的取值范围为[2﹣，2+]．【点评】本题考查复数的运算性质及三角函数的化简及其三角函数的范围的应用，属于中档题．五．复数的模（共8小题）34．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（）（1）若复数z1、z2，且z1•z2＝0，则z1＝0或z2＝0．（2）若复数z1、z2，且|z1|＝|z2|，则z1＝±z2．（3）若复数z，则|z|2＝z2．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），然后求出z1•z2，根据已知建立方程求出a，b，c，d的值，由此即可判断；（2）（3）通过举反例即可判断．【解答】解：（1）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），z1•z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i＝0，则，所以a＝b＝0或c＝d＝0，即z1，z2中至少有一个为0，故正确，（2）若z1＝1+2i，z2＝2+i，则|z，但是此时z1≠±z2，故错误，（3）若z1＝1+2i，则|z1|2＝5，而z，此时|z1|，故错误，故选：B．【点评】本题考查了复数的模，涉及到复数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．35．（2022春•黄浦区校级期末）设a∈R，复数z1＝a+i，z2＝2a+2i，z3＝2a+6i，其中i是虚数单位．若|z1|，|z2|，|z3|成等比数列，则实数a的值是．【分析】由复数的模长公式与等比数列的性质求解即可．【解答】解：因为|z1|，|z2|，|z3|成等比数列，所以，即，即3a4﹣2a2﹣5＝0，解得或a2＝﹣1（舍）所以．故答案为：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．36．（2022春•长宁区校级期末）若复数z1和复数z2满足|z1|＝6，|z2|＝4，|z1+z2|＝8，则|z1﹣z2|＝．【分析】设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），然后利用复数模的求解公式分别求出a2+b2＝36，c2+d2＝16，2ac+2bd＝12，进而可以求解．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则|，即a2+b2＝36，|z＝4，所以c2+d2＝16，则|z1+z2|＝|（a+c）+（c+d）i|＝＝8，所以（a+c）2+（c+d）2＝64，即a2+b2+c2+d2+2ac+2bd＝64，所以2ac+2bd＝12，所以|z1﹣z2|＝|（a﹣c）+（b﹣d）i|＝＝＝＝，故答案为：2．【点评】本题考查了复数模的运算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．37．（2022春•黄浦区校级期末）已知复数z1＝3cosθ+isinθ，，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1、z2是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的两个虚根时，求实数m、n的值；（2）求的值域．【分析】（1）由题意可知，列方程即可求得，从而可求得m、n的值；（2）由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解．【解答】解；（1）复数z1＝3cosθ+isinθ，，z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的两个虚根，所以，即3cosθ+isinθ＝，所以，所以，，n＝z1⋅z2＝．（2）＝＝＝＝，∵sin22θ∈[0，1]，∴，即．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，共轭复数的定义，属于基础题．38．（2022春•奉贤区校级期末）已知复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立．（1）求值：2a+b；（2）若，求|z|的取值范围．【分析】（1）利用共轭复数的概念、复数相等的定义列方程，求出a，b，由此能求出结果．（2）根据，求出a的取值范围，再利用复数的模，结合二次函数求解．【解答】解：（1）复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立，∴a﹣bi＝＝，∴a＝，消去t，得2a+b＝3；（2）∵，∴（a+1）2+b2＜2b2，∴（a+1）2＜b2＝（3﹣2a）2，则3a2﹣14a+8＞0，解得a＜或a＞4，且a≠0，∴|z|＝＝＝，∴|z|的取值范围是（，3）∪（3，+∞）．【点评】本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念、复数相等的定义、复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．39．（2022春•浦东新区校级期末）已知虚数z1＝4cosθ+3sinθ•i，z2＝2﹣3sinθ•i，其中i为虚数单位，θ∈R，z1、z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根．（1）求实数m、n的值；（2）若，求|z|的取值范围．【分析】（1）根据z1，z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根可得，求出cosθ的值，进而求出z1，z2，再根据根与系数的关系求出m，n的值即可；（2）根据复平面内|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的几何意义可得z（a，b）在线段z1z2上，进而求得|z|的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意z1＝，即4cosθ+3sinθ•i＝2+3sinθ•i，∴cosθ＝，根据韦达定理得m＝﹣（z1+z2）＝﹣（2+3sinθ•i+2﹣3sinθ•i）＝﹣4，n＝z1z2＝（2+3sinθ•i）•（2﹣3sinθ•i）＝4+9（1﹣）＝，∴m＝﹣4，n＝．（2）由（1）sinθ＝＝，∴设，z＝a+bi，a，b∈R，则|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的几何意义即为复平面内z（a，b）到z1（2，），z2（2，﹣）的距离之和为3，∵z1到z2的距离为，∴z（a，b）在线段z1z2上，∴当z（2，0）时，|z|取得最小值2，当z在z1或z2时，|z|取得最大值＝，∴|z|的取值范围为[2，]．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．40．（2022春•浦东新区校级月考）设复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：．若复数zi对应复平面的点为Zi，O为坐标原点．（1）求△OZ1Z2的面积；（2）求|zn+zn+1|；（3）证明：对任意正整数m，均有．【分析】（1）把转化为4（）2+2•+1＝0，结合等比数列通项公式能求出△OZ1Z2的面积；（2）利用|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|，能求出结果．（3）分m为偶数和奇数两种情况讨论，能够证明对任意正整数m，均有．【解答】解：（1）∵复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：，∴4（）2+2•+1＝0，解得＝，∴＝或＝，∴＝||＝，|zn|＝|z1|•＝，∴|z2|＝，∵＝＝或，∴结合复数的几何意义得∠Z1OZ2＝，∴△OZ1Z2的面积＝．（2）由（1）得|zn+zn+1|＝|zn|•|1+|＝＝．（3）证明：当m为偶数时，设m＝2s（s∈N*），利用（2）可得：|z1+z2+•••+zm|≤＝＝＝，当m为奇数时，设m＝2s+1（s∈N），由（1）（2）可知|z2s+1|＝＝，∴|z1+z2+•••+zm|≤|z1+z2|+|z3+z4|+•••+|z2s﹣1+z2s|+|z2s+1|＝＜，综上，对任意正整数m，均有．【点评】本题考查复数的运算法则、几何意义、等比数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．41．（2022春•嘉定区校级期末）已知向量，，，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数对应的点为Z1．（1）求|z1|；（2）若复数z满足（为z1的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点Z1之间的最小距离．【分析】（1）利用向量的数量积运算先求出m，再利用复数的四则运算即可得到复数z1．（2）利用复数的几何意义可得曲线是复平面内以Z0（3，1）圆心，半径为1的圆，再利用点与圆的位置关系求解．【解答】解：（1）•＝（cos2θ，−2）•（1，−sin2θ）＝cos2θ+2sin2θ＝cos2θ−sin2θ+2sin2θ＝cos2θ+sin2θ＝1，所以m＝•+1＝1+1＝2，所以z1＝＝＝﹣i，所以|z1|＝|﹣i|＝；（2）z1＝﹣i，＝+i，即|z﹣（3+i）|＝1，因此曲线是复平面内以Z0（3，1）圆心，半径为1的圆，故Z0与Z1之间的距离为＝，所以Z与Z1之间的最小距离为﹣1．【点评】本题考查了复数几何意义的理解和应用，数量积运算，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．六．复数的三角表示（共3小题）42．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为cos+isin．【分析】由复数的共轭复数的定义和复数的三角形式可得答案．【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．故答案为：cos+isin．【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，以及三角形式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．43．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝．【分析】化为复数的三角形式即可得出结论．【解答】解：复数＝2（﹣+i）＝2（cos+i），则argz＝，故答案为：．【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．44．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是（）A． B． C． D．【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【解答】解：＝．故选：B．【点评】本题考查化复数的代数形式为三角形式，考查三角函数值的求法，是基础题．七．实系数多项式虚根成对定理（共3小题）45．（2022春•普陀区校级期末）若3+4i是关于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的一个虚数根，则c＝25．【分析】由已知可得3﹣4i是关于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的另一个虚数根，再由根与系数的关系求解．【解答】解：∵3+4i是关于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的一个虚数根，∴3﹣4i是关于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的另一个虚数根，则c＝（3+4i）（3﹣4i）＝9﹣（4i）2＝25．故答案为：25．【点评】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．46．（2022春•浦东新区校级期末）若1+2i是实系数方程x2+ax+b＝0的一个根，则a•b＝﹣12．【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理即可求得a、b的值，推出结果；【解答】解：∵1+2i是方程x2+ax+b＝0的根，则1﹣2i也是方程的根，∴（1+2i）（1﹣2i）＝b，1+2i+1﹣2i＝﹣a，∴a，b的值为a＝﹣2，b＝6．则a•b＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，突出考查复数相等的应用，属于基础题．47．（2022春•徐汇区期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3＝0有两个虚根x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1﹣x2|＝2，求k的值．【分析】（1）由Δ＝k2﹣12＜0，求解不等式即可得答案；（2）由关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3＝0的两个虚根为，从而即可求解．【解答】（1）解：因为关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3＝0有两个虚根x1和x2，所以Δ＝k2﹣12＜0，解得，所以k的取值范围为；（2）解：因为关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3＝0的两个虚根为，所以，所以，解得k＝±2．【点评】本题考查多项式的根，考查学生的运算能力，属于中档题巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）设是虚数单位，则的值为（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0.【详解】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以，故选:B.2．（2022春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）方程有一个根为，求的值为（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】将代入方程，得出的值.【详解】由可得，.故选：A3．（2020秋·高一单元测试）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】利用一元二次函数、一元二次不等式以及韦达定理进行求解.【详解】∵函数（）的最小值为0，∴，∴，∴函数，其图像的对称轴为．∵不等式的解集为，∴方程的根为m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C错误.故选：D．4．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知下列命题：(1)“为实数”的充要条件是“”；(2)若，则；(3)；(4).在复数集中，上述命题正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用复数和它的共轭复数的关系，以及复数的运算法则判断正误.【详解】对于(1)，设()，则，为实数等价于，也等价于，所以“为实数”的充要条件是“”，(1)正确；对于(2)，由可得，所以或，当时，易得；当时，设，则，所以，，所以，综上所述，若，则，故(2)正确；对于(3)，当，时，，，不能比较大小，(3)错误；对于(4)，当，时，，，故(4)错误.故选：B.二、填空题5．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）在复平面内，复数对应点的坐标为，则___________.【答案】【分析】由对应点的坐标求出复数，代入算式中化简.【详解】复数对应点的坐标为，∴，.故答案为：6．（2021春·高一课时练习）已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．【答案】【分析】先利用向量运算求出对应的复数，然后求解模长可得答案.【详解】∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，故答案为：7．（2022春·上海普陀·高一校考期末）是虚数单位，若复数满足，则______．【答案】【分析】由复数，通过复数的除法运算，计算.【详解】因为，所以，即，.故答案为：.8．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式________．【答案】【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解；【详解】解：故答案为：9．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）___________.【答案】100【分析】根据复数的乘法，除法运算法则结合复数的模的公式计算即可.【详解】，，，所以，所以，所以，故答案为：100.10．（2022春·上海普陀·高一校考期末）设，则_______.【答案】【分析】利用复数的运算法则进行化简得到，再由复数模的定义计算即可得出结果.【详解】由题意化简，则，故答案为：11．（2022春·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_______.【答案】【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解.【详解】解：∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得.故答案为：12．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知z是复数,均为实数（i为虚数单位）,且复数在复平面上对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】由z是复数,设出z的一般形式,代入中,使其为实数,再代入中化简使其实部,虚部均大于0,求出a的取值范围即可.【详解】解:不妨设,均为实数,且,,,在复平面上对应的点在第一象限,且,,解得,.故答案为:13．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）负实数在复数范围的平方根是______.【答案】【分析】设，由，利用复数相等求解.【详解】解：设，则，即，则，解得，所以负实数在复数范围的平方根是，故答案为：14．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）方程的两个虚根为，且，则实数的值是______.【答案】/.【分析】由题意得求出的范围，再设，则，然后利用根与系数的关系结合已知条件可求出的.【详解】因为方程的两个虚根为，所以，解得，设，则，所以，因为，所以，所以，所以，故答案为：.15．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期末）若复数满足（为虚数单位），则______．【答案】【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义，可得答案.【详解】由，，则，故答案为：.16．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期末）复数和在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为__________（结果用反三角函数表示）.【答案】【分析】由复数的几何意义得到两个向量的坐标表示，再利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得结果.【详解】依题意得，复数所对应的向量，复数所对应的向量，所以，因为，所以，即所求角大小为.故答案为：.17．（2021春·高一课时练习）为求方程的虚根，可以把原方程变形为，由此可得原方程的一个虚根为______【答案】,中的一个【详解】解：，18．（2021春·高一单元测试）______.【答案】【解析】利用，即得解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了复数的幂指数运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题19．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).(1)求实数的值及复数的模；(2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据