正弦定理和余弦定理的应用 高频考点-精练（解析版）-高考数学总复习

正弦定理和余弦定理的应用（精练）

A夯实基础

一、单选题

1.（2022•四川省绵阳南山中学高二开学考试）在ABC中，42,C的对边分别是a,6,c,

若，则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或直角三角形

【答案】C

【详解】三角形ABC中，cosC=a2+b2~C~<0,所以C为钝角，

2ab

三角形为钝角三角形.

故选：C.

2.（2022•福建•上杭县第二中学高二阶段练习）如图所示，某登山队在山脚A处测得山顶8

的仰角NC钻=45°,沿倾斜角为30。的斜坡前进1000米后到达S处，又测得山顶的仰角

ZDSB=75°,则山高BC为（）

B.1000米

C.500（6+1）米D.500（指+及）米

【答案】B

【详解】ZSAB=45°-30°=15°

ZSBA=ZABC-NSBC=45°-（90°-75°）=30°

4c-1”。1000x^^_

在中，AB=A5，Sin135=——-^-=10005/2

sin301

2

BC=ABsin45°=100072x—=1000m

2

故选：B

3.（2022•甘肃武威・高一期末）“宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，

文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，

形成动静对比.某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底。在同一个水平面内的两个测量基

点A与8,现测得NDW=75。，/ABD=45。，AB=96米，在点A处测得塔顶C的仰角为30。，

则塔高8为（）米.

A.32cB.yV3C.3276D.3272

【答案】D

【详解】在三角形ABD中：ZADB=180°-75°-45°=60°,

AryAn96X----

2

由正弦定理得=A。=—7=-=32A/61

sin45°sin60°43

T

在RtAACZ）中，CD=AD-tan30°=32遥x且=320米.

3

故选：D

4.（2022・全国•高三专题练习）如图所示，为了测量某湖泊两侧A,5间的距离，李宁同学

首先选定了与A,5不共线的一点C,然后给出了三种测量方案（ABC的角A,B,C所对

的边分别记为。，b,c）.

①测量A,B,b；②测量。，b,C；③测量A,B,a.

则一定能确定A,3间距离的所有方案的个数为（）

A.3B.2

C.1D.0

【答案】A

【详解】对于①，利用内角和定理先求出C=»-A-3,再利用正弦定理上==二一解出

smBsinC

c•

对于②，直接利用余弦定理/=储+廿-2"cosC即可解出。;

对于③，先利用内角和定理求出。=万-A-3,再利用正弦定理一工=’二解出c.

smAsinC

故选：A.

5.（2022•全国•高三专题练习）两座灯塔A和8与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察

站北偏东40，灯塔5在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔5的（）

A.北偏东10B.北偏西10

C.南偏东10D.南偏西10

【答案】B

【详解】灯塔A,B的相对位置如图所示，

A

由已知得NACB=80,?CAB?CBA50°,则a=60°-50°=10°,

即北偏西10.

故选：B.

6.（2022,浙江•高一期中）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35。的方

向直线航行，30分钟后到达8处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南

偏东65。，在B处观察灯塔，其方向是北偏东70。，那么8,C两点间的距离是（）

A.10君海里B.20西海里C.10a海里D.20夜海里

【答案】C

【详解】解：如图，作出aABC，由题意可知，

A3=20海里，4=3023=105。,则C=45。，

因为煞=磊

20x-

所以BC=Q^=1()0海里,

即2,C两点间的距离是10&海里.

故选：C.

7.（2022•河南•高三阶段练习（文））释迦塔全称佛宫寺释迦塔、位于山西省朔州市应县城

西北佛宫寺内，俗称应县木塔、建于辽清宁二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南

宋庆元一年公元1195年）增修完毕，是世界上现存唯一最古老最高大之木塔，为了测量释

迦塔的高度，某同学在点A处测得塔顶。的仰角为45。，然后沿点A向塔的正前方走了50m

到达点〃处，此时测得塔顶。的仰角为75,据此可估计释迦塔的高度约为（）

D

A.65.8mB.68.3mC.68.9mD.69.1m

【答案】B

【详解】根据题意，将实际问题抽象成数学模型，如图所示，因为=45，/DMB=15,

AMDM

所以NADW=30,在△AD似中，由正弦定理可知

smZADM~smZDAM

即任一=卫"-解得DM=70.7m.在Rt中,

sin30sin45

BD=DMs,ml5a70.7x近±368.3m.

4

所以释迦塔的高度约为68.3m,

8.（2022•四川省德阳中学校高一阶段练习（理））己知轮船A和轮船B同时从C岛出发,

A船沿北偏东30。的方向航行，8船沿正北方向航行（如图）.若A船的航行速度为

4072nmile/h,lh后，B船测得A船位于B船的北偏东45。的方向上，则此时A,3两船

相距（）nmile.

/

A.40A/2B.40C.20A/2D.4073

【答案】B

【详解】解：由图所示：由题意可知：ZCBA=135°,ZBCA=30°,AC=40后xl=40四,

ACAB

由正弦定理可知:

sinZABC-sinZBCA

t-40>/2x-

所以也［=，2，所以AB=~方2=4°，

sin135sin30避_

F

即此时A,8两船相距40nmile；

故选：B

二、多选题

9.（2022•安徽池州•高一期末）如图所示，为了测量A,8处岛屿的距离，小明在。处观测，

A,8分别在。处的北偏西15。、北偏东45。方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测

2在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方向，则下列结论正确的是（）

A.ACAD=60°

B.A、。之间的距离为15JI海里

C.A、8两处岛屿间的距离为15#海里

D.B、。之间的距离为306海里

【答案】BC

【详解】解：由题意可知CE>=30,ZADC=90°+15°=105°,NBDC=45°,ZBCD=90°,

ZACD=90°-ZBCA=90°-60°=30°,

所以ZCAD=180°-ZADC-ZACD=180°-105°-30°=45°w60。，故A错误；

ZADJ5=15°+45°=60°,

在..ACD中，由正弦定理得上臬=二^,得AD=30-s）：0°=15逝（海里）,故B正确；

sin30sin45sin45

在RtBCD中，因为/BDC=45。，/BCD=90°,所以3D=&CD=30&片30/（海里），

故D错误；

在中，由余弦定理得，

AB=VAD2+BD2-2AD-BDcosZADB=^450+1800-2x15^2x30五x1=15&（海里）,故

C正确.

故选：BC.

10.（2022•黑龙江・哈尔滨三中高二开学考试）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75。，

距离为12#nmile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30。，距离为8/"加能.货轮由A处向正

北航行到。处时，再看灯塔8在南偏东60。，则下列说法正确的是（）

A.A处与。处之间的距离是24nmileB.灯塔C与。处之间的距离是8岛mile

C.灯塔C在。处的西偏南60。D.O在灯塔5的北偏西30。

【答案】ABC

【详解】在△ABD中，由已知得NAZ）B=60。，ZZMB=75°,

北

贝l]NB=45,AB=125

12小

由正弦定理得A八翟啜2=24,

2

所以A处与。处之间的距离为24〃机,故A正确;

在;ADC中，由余弦定理得,

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcos30,

又AC=8

解得CD=80

所以灯塔C与。处之间的距离为8百〃根淞，故B正确，

AC=CD=8事!，

:.ZCDA=ZCAD=30°,

灯塔C在。处的西偏南60。，故C正确；

「灯塔B在。的南偏东60。，

二。在灯塔B的北偏西60。，故D错误；

故选：ABC.

三、填空题

1L（2022•江西九江•高一期末）某人在C点测得某直塔在南偏西80。，塔顶A的仰角为45。，

此人沿南偏东40。方向前进10m到测得塔顶A的仰角为30。，D,C与塔底。在同一水

平面上，则塔高为.

【答案】10m

【详解】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为AO=/z,在RtA4OC中，NACO=45。，

贝i」OC=6M=/z,在RtAAOD中，ZADO=30。，贝

在，OCD中，ZOCD=120°,CD=10,

由余弦定理得Oh+CD2-2OC-CDcosZOCD,

即（也/I）?=h2+102-2/;X10Xcos120°,

整理得7?—5/?—50=0,解得/z=10或力=—5（舍去）.

故答案为：10m.

12.（2022•河南河南•模拟预测（理））微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城

市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P处进行航

拍，水平地面上甲、乙两人分别在A2处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C为无人

机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m,甲观察无人机的仰角为45°,若再测量

两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度尸C,则这两个角可以是.（写出所有符合

要求的编号）

p

①Nfl4c和NABC；②Nfi4c和NPAB;

③ZE4B和NPBA；④445和ZABC.

【答案】①③④

【详解】①：当已知za4c和NABC时，在sABC利用内角和定理和正弦定理可得AC,然

后在Rt△上4c中，由三角函数定义可得PC,故①正确；

②：当已知Zfi4c和NE4B时，在sABCE,知一角一边，在△PAB中已知一角一边，显然无

法求解，故②错误；

③：当已知NE4B和NPBA时，在ARAB中已知两角一边，可解出PA,然后在RtARAC中，

由三角函数定义可得PC,故③正确；

④：当已知NftW和NABC时，可先由最小角定理求得的C,然后解11ABe可得AC,最

后在Rt^PAC中，由三角函数定义可得PC,故④正确.

故答案为：①③④

四、解答题

13.(2022•山东省临沂第一中学高一开学考试)2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们

对冰雪运动的热情.如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为四3C两部分，小明同学

在C点测得雪道BC的坡度i=1:2.4,在A点测得8点的俯角=30。.若雪道AB长为

270m,雪道2C长为260m.

(1)求该滑雪场的高度任

⑵据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲

设备每小时造雪量比乙设备少35m3,且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3

所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.

【答案】⑴235m

(2)甲种设备每小时的造雪量是15m3,乙种设备每小时的造雪量是500?.

(1)解：过8作AD,过A作AF_LAD,两直线交于产，过8作BE垂直地面交地面于

E,如图：

根据题知NABF=NZMB=30°,A尸=：A3=135(m).

BC的坡度i=1:2.4,二BE:CE=1:2A.

设3E=/m,则CE=2.4ftn,/BE1+CE1=BC2,Z2+(2.4r)2=2602,

解得f=100(负值已舍去)，，〃=AF+BE=235(m),

所以，该滑雪场的高度/?为235m.

(2)解：设甲种设备每小时的造雪量是xnf,则乙种设备每小时的造雪量是(x+35)m3,

根据题意得：—=^-,解得x=15,

经检验，x=15是原分式方程的解，也符合题意，,x+35=50.

所以，甲种设备每小时的造雪量是15m3,乙种设备每小时的造雪量是50m3.

14.(2022•全国•高一)“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平于2005年8月

在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，随着生态环境治理的不断加强，园林局美化城市的

功能日益凸显.时值中国共产党成立100周年之际，某市园林局计划把一块形状为等边三角

形的边角地开辟为特种花草栽种基地，如图，边角地是边长为100米的等边三角形，

根据实际情况，需在基地修一条直行道路MMM在边OP上，N在边OR上.

(1)若A/N把基地分成周长相等的两部分，设3/的长为x米，试把一OMV的面积表示为x的

函数〃尤)，并求出的定义域及〃元)的最大值；

(2)若把基地分为面积相等的两部分，当取多长时，道路最短.

【答案】⑴〃尤）=¥（-尤2+150x）;定义域为［50,100］；盘/力=些芋（平方米）

(2)50拒米

(1)由题知：/(x)=^-x(150-x)=-^-(-x2+150x),

0<x<100

因为n504x4100,

04150—尤4100

所以函数的定义域为［50,100］.

当15时，f（x）取得最大值，

所以盘,（同=/75）=色芋（平方米）.

（2）设ON的长为尤米

由题意S^OMN=^,^-1002=；x|ON|一日，

所以|0囚|=理

X

0<x<100

由题意"<5000<100n50«xW100,

、x

50002

MN92=OM2+ON92-2OM•ONcos60°=x92+--——5000>

x

2A/50002-5000=5000

当且仅当f=鳖匕，即苫=而丽=50应€[50/00]时取等号.

X

所以，当OM取50点米时，道路MN最短.

B能力提升

15.（2022,全国•高一课时练习）康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有"敖包朝霞"

之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在

滕龙阁的正东方向找到一座建筑物A8,高为8米，在地面上的点M（3,M,。三点共线）

测得楼顶A，滕龙阁顶部C的仰角分别为15。和60。,在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30。，

试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0Q1米）

【答案】37.86米

【详解】解：由题意得，在Rt中，AM=-^~,

sin15

在AACM中，ZG4M=30o+15°=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,

AMCM

所以NACM=30。，由正弦定理

sinZACMsinZCAM

sinZCAM…y/2AB

得CM--------------AM=--------

sinZACMsin15°

又sinl5=皿45。一30。)=争¥一%IF，

Vrn人>Cr>=CMsin6C>o=跖钻=―8凶L=24+8—。37.86

在RtZ\CDM中，2sinl