信号与系统第三章重点

信号与系统第三章重点contents目录重点概念解析傅里叶变换及其应用拉普拉斯变换与电路分析Z变换与离散时间系统分析系统函数与频率响应状态变量分析法01重点概念解析信号是传递信息的函数，其可以是时间的函数（如声音、图像等）或空间的函数（如电磁波、地震波等）。信号定义系统是对输入信号进行变换并产生输出信号的物理装置或算法。系统定义根据信号的性质和特征，可以将其分为连续时间信号和离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号等。信号分类根据系统的特性和行为，可以将其分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统等。系统分类信号与系统定义及分类线性特性线性系统具有叠加性和齐次性，即对于任意两个输入信号及其线性组合，系统的输出等于各自输出的线性组合。时不变特性时不变系统的输出不会因输入信号的时间延迟而改变，即系统对输入信号的响应与输入信号的时间起点无关。稳定性稳定性是指系统对有限输入信号的响应也是有限的，即系统的输出不会无限增长或产生振荡。线性时不变系统特性因果性因果系统是指系统的输出只取决于当前和过去的输入信号，而与未来的输入信号无关。即对于任意时刻的输出，其只与当前时刻及之前时刻的输入有关。稳定性判断判断系统稳定性的方法有多种，如观察系统的单位冲激响应是否收敛、计算系统的传递函数在复平面上的极点位置等。对于线性时不变系统，如果其所有极点都位于复平面的左半平面，则系统是稳定的。因果性与稳定性判断频谱频谱是描述信号在频域上的分布情况的图形表示，通常通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号得到。频率响应频率响应是指系统在频域上对输入信号的响应特性，通常表示为幅度响应和相位响应两部分。滤波器滤波器是一种选频系统，其作用是允许某些频率的信号通过而阻止其他频率的信号通过。根据滤波器的选频特性，可以将其分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。频域分析基本概念02傅里叶变换及其应用傅里叶级数展开与收敛条件傅里叶级数展开任何周期信号都可以表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，即傅里叶级数展开。收敛条件对于非周期信号，其傅里叶级数展开的收敛条件是信号在任意有限区间内绝对可积。将时间域信号转换为频域信号的数学工具，通过计算信号的频谱来分析信号的频率特性。傅里叶变换定义线性性质、时移性质、频移性质、尺度变换性质等。性质傅里叶变换定义及性质单位阶跃信号其傅里叶变换为常数，表示在所有频率上均有分量。单位冲激信号其傅里叶变换为常数，且在所有频率上均有相同的幅度。正弦波信号其傅里叶变换为在对应频率处的单一谱线。余弦波信号其傅里叶变换为在对应频率处的两条谱线，幅度相等，相位相反。典型信号傅里叶变换求解信道特性分析利用傅里叶变换分析信道的频率响应特性，以便设计合适的通信系统。信号压缩与重构利用傅里叶变换对信号进行压缩编码，减少传输或存储的数据量，并在接收端进行信号重构。滤波器设计根据信号的频谱特性设计滤波器，实现信号的频率选择性传输或抑制。信号调制与解调通过傅里叶变换将信号从时间域转换到频域，实现信号的调制与解调。频域分析在通信系统中应用03拉普拉斯变换与电路分析频移性质若$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$e^{at}f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s-a)$。拉普拉斯变换定义$F(s)=int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$，其中$s=sigma+jomega$，$sigma$和$omega$分别为复频率的实部和虚部。线性性质若$a$和$b$为常数，$f_1(t)$和$f_2(t)$的拉普拉斯变换分别为$F_1(s)$和$F_2(s)$，则$af_1(t)+bf_2(t)$的拉普拉斯变换为$aF_1(s)+bF_2(s)$。时移性质若$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，则$f(t-t_0)u(t-t_0)$的拉普拉斯变换为$e^{-st_0}F(s)$，其中$u(t)$为单位阶跃函数。拉普拉斯变换定义及性质电阻的电压与电流关系为$u(t)=Ri(t)$，其拉普拉斯变换模型为$U(s)=RI(s)$。电阻元件电感元件电容元件电感的电压与电流关系为$u(t)=Lfrac{di(t)}{dt}$，其拉普拉斯变换模型为$U(s)=sLI(s)$。电容的电压与电流关系为$i(t)=Cfrac{du(t)}{dt}$，其拉普拉斯变换模型为$I(s)=sCU(s)$。电路元件拉普拉斯变换模型线性电路复频域分析方法选择电路中的一组状态变量，建立状态方程和输出方程，通过求解状态方程得到状态变量的拉普拉斯变换，进而求得电路响应。状态变量法以电路中某一节点为参考点，列出其他各节点的电压方程，通过求解方程组得到各节点电压的拉普拉斯变换。节点电压法选择电路中的一组独立回路，列出各回路的电流方程，通过求解方程组得到各回路电流的拉普拉斯变换。回路电流法根据电路元件的初始状态和电路结构，利用换路定则和等效电源法等方法求解电路的初始值。在电路达到稳态后，根据电路元件的稳态特性和电路结构，利用戴维南定理和诺顿定理等方法求解电路的稳态值。电路初始值和稳态值求解稳态值求解初始值求解04Z变换与离散时间系统分析Z变换定义及性质Z变换是一种将离散时间信号从时域转换到复平面上的变换方法，用于分析离散时间系统的性质和性能。Z变换定义包括线性性质、时移性质、复共轭性质、卷积性质、微分性质和Z域尺度变换性质等，这些性质在分析离散时间系统时非常重要。Z变换性质部分分式展开法将复杂的Z变换表达式通过部分分式展开，化简为简单的形式，便于进一步分析和处理。留数法利用复变函数中的留数定理，求解某些特定形式的Z变换。直接求解法根据Z变换的定义，直接对离散时间信号进行求和运算，得到其Z变换的表达式。离散时间信号Z变换求解离散时间系统Z域分析方法通过系统的差分方程或系统框图，求解系统的系统函数，即系统对单位样本响应的Z变换。频率响应分析利用Z变换的性质，分析系统在频域上的响应特性，包括幅度响应和相位响应。稳定性分析通过判断系统函数的极点位置，确定系统的稳定性。系统函数求解VS利用Z变换及其反变换，求解线性常系数差分方程，得到离散时间系统的输出信号。稳定性判断根据离散时间系统的差分方程或系统函数，判断系统的稳定性。常用的稳定性判据包括劳斯判据、朱利判据和根轨迹法等。差分方程求解差分方程求解和稳定性判断05系统函数与频率响应系统函数是描述系统输入输出关系的数学表达式，通常表示为H(s)或H(z)，其中s和z分别为连续时间和离散时间的复变量。系统函数的求解方法包括直接求解、部分分式展开、留数定理等。其中，直接求解适用于简单系统，部分分式展开适用于有理分式形式的系统函数，留数定理适用于复杂系统函数的求解。系统函数定义求解方法系统函数定义及求解方法频率响应定义频率响应是指系统在正弦信号激励下的稳态响应，通常表示为幅度响应和相位响应。绘制技巧绘制频率响应曲线时，需要注意选择合适的频率范围、幅度和相位单位，以及合适的绘图工具。同时，还需要注意曲线的平滑性和标注清晰。频率响应曲线绘制技巧滤波器类型滤波器根据频率响应特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器等类型。要点一要点二特点比较不同类型的滤波器具有不同的频率响应特性和应用场景。例如，低通滤波器允许低频信号通过而阻止高频信号，高通滤波器则相反。带通滤波器允许某一频带内的信号通过，而带阻滤波器则阻止该频带内的信号。滤波器类型和特点比较性能评价指标系统性能评价指标包括幅度失真、相位失真、群延迟失真、噪声系数等。指标介绍幅度失真表示系统对不同频率信号的幅度放大或缩小程度；相位失真表示系统对不同频率信号的相位延迟或超前程度；群延迟失真表示系统对不同频率信号的延迟时间差异；噪声系数表示系统内部噪声对信号质量的影响程度。这些指标可以帮助我们全面评估系统的性能优劣。系统性能评价指标介绍06状态变量分析法描述系统内部状态的物理量，是系统行为的完全表征。状态变量描述状态变量之间以及状态变量与输入、输出变量之间关系的一组方程。状态方程状态变量和状态方程概念连续时间系统状态方程建立010203选取状态变量，将电路方程转换为状态方程。整理得到标准形式的状态方程。根据电路元件特性列写电路方程。根据系统结构和元件特性列写差分方程。整理得