2023-2024学年宁波市重点中学数学九年级上册期末统考试题（含解析）

2023-2024学年宁波市重点中学数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，。。是正方形A8C。与正六边形AEFCG”的外接圆.则正方形ABCD与正六边形AEFCG”的周长之比为

（）

A.2√2：3B.√2ɪ1C.√2ɪ√3D.1：√3

2.如图，在菱形ABCD中，AEj_BC于E,BE=EC,AC=2,则菱形ABCD的周长是（）

A.5B.10C.8D.12

BT是。。的切线，若NATB=45。，AB=2,则阴影部分的面积是（）

D.

—π-÷-π

4.如图，在AABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）

B

iAZ）AE

oo=

A.DE=—BCB.-----=------C.ΔADE∆ABCD.SADE：SARC1∙2

2ABAC

5.如图，四边形ABa）和四边形4B（7）'是以点。为位似中心的位似图形，若。A：Qr=3：5,则四边形ABC。和

四边形⑷8'CTr的面积比为（）

A.3：5B.3：8C.9：25D.√3：√5

6.如图，抛物线y=』/—4与X轴交于A、3两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段

4

PA的中点，连结。。.则线段。。的最大值是（）

7.若半径为5c机的一段弧长等于半径为2c帆的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（）

A.144oB.132oC.126oD.108°

8.从某多边形的一个顶点出发，可以作4条对角线，则这个多边形的内角和与外角和分别是（）

A.900°；360oB.1080°；360oC.1260°；720oD.720°；720°

9.若圆锥的底面半径为2,母线长为5,则圆锥的侧面积为（）

A.5%B.10%C.20〃D.40万

10.已知二次函数y=Or2+Zλx+c（o≠（））的图象如图所示，有下列结论：①从一44c>0;②abc>O;

③加—2⅛+c>0;④9Q+3b+cvO∙其中，正确结论的个数是（）

B.2C.3D.4

12

11.如图，在X轴的上方，直角NBoA绕原点0按顺时针方向旋转,若NBOA的两边分别与函数y=--、y=—的图

XX

象交于B、A两点，则/OAB大小的变化趋势为()

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

12.已知线段C是线段。和〃的比例中项，若α=L6=2,贝！Ic=()

A.1B.√2C.±√2D.±√3

二、填空题(每题4分，共24分)

13.某圆锥的底面半径是2,母线长是6,则该圆锥的侧面积等于.

α+4

14.反比例函数y=--的图象如图所示，A,P为该图象上的点，且关于原点成中心对称在.APAB中，PBlly轴，

X

ABIlX轴，PB与AB相交于点B.若APAB的面积大于12,则关于X的方程(a-l)x2-χ+'

-=O的根的情况是

91

15.如图，点A为函数y=-(x>O)图象上一点，连接OA,交函数y=—(x>0)的图象于点点C是X轴上一点,

XX

且AO=AC,则AABC的面积为.

16.若函数y=mχ2+(wl+2)χ+i2M+l的图象与X轴只有一个交点，那么oι的值为_.

17.如图，OAB与，OCr)是以点。为位似中心的位似图形，相似比为3:4,NOeD=90。,NAO3=60°,若点B

的坐标是(6,0),则点C的坐标是,点。的坐标是.

y

18∙如图‘直线UX轴于点。，且与反比例函数X4―。）及为4（X〉。）的图象分别交于A、B两点,

连接。4、OB,已知AQ4B的面积为4,则勺-&=.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，直径为1〃7的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为0∙8m,求水的最大深度Cr）.

20.（8分）在RtAABC中，ZACB=90o,AC=BC=30,点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD,

将CD绕点C顺时针旋转90。得到CE,连接AE,DE.

（1）求AADE的周长的最小值；

（2）若CD=4,求AE的长度.

21.（8分）足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.

试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少1（）本，现商店

决定提价销售.设每天销售为》本，销售单价为X元.

（1）请直接写出y与X之间的函数关系式和自变量X的取值范围；

（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润W'元最大？最大利润是多少元？

22.（10分）如图，在QABB中，点E是边40上一点，延长CE到点尸，使NfBC=NOCE,且与AO相交于点

G.

(1)求证：ZD=ZF;

(2)用直尺和圆规在边AD上作出一点P,使aepcs2^sp,并加以证明.(作图要求：保留痕迹，不写作法.)

24.(10分)某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金IOOO万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年

在2016年的基础上增加投入资金1250万元.

(1)从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

(2)在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励，规定前IOoo户(含

第IOOO户)每户每天奖励8元，IOoo户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受

到优先搬迁租房奖励？

25.(12分)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。EF测量树的高度A8,他调整自己的位置，设法使斜边。尸

保持水平，并且边OE与点5在同一直线上.已知纸板的两条直角边OE=40cm,EF=20cm,测得边O尸离地面的高

⅛AC=1.5m,CD=IOm,求树高AB.

B

26.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利4()元.为了扩大销售，减少库存,

增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件,

要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出.

【详解】解：设此圆的半径为R,

则它的内接正方形的边长为0R,

它的内接正六边形的边长为R,

内接正方形和内接正六边形的周长比为：4√2R:6R=2√2:1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键.

2、C

【解析】连接AC根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=2,然后利用周长公式进行计算即可得答案.

【详解】如图连接AC,

BE=EC,AElBC,

.∙.AB=AC=2,

菱形ABCD的周长=4x2=8,

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握的灵活应用相关知识是解题的关键.

3、B

【分析】

设A位。。于点。，连结加9,根据圆周角定理可得NAZ）5=90。，再由切线性质结合已知条件得AbO隔ZXASO都为等

腰直角三角形，由S阴=S计算即可得出答案.

【详解】设〃'交。。于点。，连结如，如图：

•・•丝是。。的直径，

ΛZADB=QOo,

XVZJ73=45o,是。。切线，

・・・△切7和△板都为等腰直角三角形，

VAB=29

：•AD=BD=TD=^AB=

2

Λ弓形4?的面积等于弓形切的面积，

..S阴=SABΛ>7=×,=X.-=L

a

故答案为B.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影

部分的面积转化为三角形的面积.

4、D

【解析】•・,在4ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

ΛDE/7BC,DE=ɪBC,

2

ADAE

Λ∆ADE<^∆ABC,——=——，

ABAC

.SADE_(DEf_ɪ

∙∙S=BC-4∙

由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.

故选D.

5、C

【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答.

【详解】•••四边形ASa)和ATrCTr是以点。为位似中心的位似图形，oa：Or=3：5,

：.DA：D,A'=OA:OA,=3:5,

∙∙.四边形ABC。与四边形”方。Iy的面积比为：9：1.

故选：C.

【点睛】

本题考查位似的性质，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得，位似图形即特殊的相似图形，运用相似图形的

性质是解题的关键.

6、C

【分析】根据抛物线解析式可求得点A(-4,0),B(4,0),故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=；BP,

故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值.

【详解】•・•抛物线y=—/一4与X轴交于A、B两点

4

ΛA(-4,0),B(4,0),即OA=4.

在直角三角形COB中

BC=y/OC2+OB2=√32+42=5

∙.∙Q是AP上的中点，O是AB的中点

二OQ为AABP中位线，即OQ=TBP

又TP在圆C上，且半径为2,

.∙.当B、C,P共线时BP最大，即OQ最大

此时BP=BC+CP=7

17

OQ=-BP=-.

22

【点睛】

本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解

本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.

7、A

【分析】利用圆的周长公式求得该弧的长度，然后由弧长公式进行计算.

【详解】解：依题意得2π×2=

180

解得71=1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了弧长的计算.此题的已知条件是半径为2的圆的周长=半径为5的弧的弧长.

8、A

【分析】根据“边形从一个顶点出发可引出(〃-3)条对角线，求出〃的值，再根据“边形的内角和为(〃-2)*180°,

代入公式就可以求出内角和，根据多边形的外角和等于360。，即可求解.

【详解】V多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，

：・〃—3=4,

解得：〃=7,

.∙.内角和=(7—2).180°=900°；

任何多边形的外角和都等于360。.

故选：A.

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，多边形的内角和及外角和定理，是需要熟记的内容，比较简单.求出多边形的边数是解

题的关键.

9、B

【分析】利用圆锥面积=PRr计算.

【详解】PRr=P仓∣25=1Qp,

故选：B.

【点睛】

此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.

10、D

【解析】由题意根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题.

【详解】解：函数图象与X轴有两个交点，故b2-4ac>0,所以①正确，

由图象可得，

a>0,b<0,c<0,

故abc>O,所以②正确，

当x=-2时，y=4a-2b+c>0,故③正确，

V该函数的对称轴为x=l,当x=-l时，yV0,

：.当x=3时的函数值与X=-I时的函数值相等，

.∙.当x=3时，y=9a+3b+c<0,故④正确，

故答案为：①②③④.

故选D.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

11、D

BFOF17

【解析】如图，作辅助线；首先证明4BE0s40FA,,得到一=—；设B为（a,-一），A为（b,力，得至!|OE=-a,

OFAFab

EB=--,OF=b,AFW,进而得到,而2=2,此为解决问题的关键性结论;运用三角函数的定义证明知tan/OAB=-

ab2

为定值，即可解决问题.

【详解】解：分别过B和A作BE_LX轴于点E,AFLX轴于点F,

则4BE0s40FA,

.BEOE

•∙=f

OFAF

12

设点B为（a,--）,A为（b,-）,

ab

则OE=-a,EB=-ɪ,OF=b,AF=-,

ab

2

2

可代入比例式求得/02=2,BPa=-f,

根据勾股定理可得：OB=JO股2+EB?=Ja2+4,0A=√OF2+AF2=^2+⅛,

•tanNOAB-型-JF√2

•.ta∏∙^.UAi5———f-----------I------

OAmrE2

AZOAB大小是一个定值，因此NOAB的大小保持不变.

故选D

【点睛】

该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线,

将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.

12、B

【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b,可得c2=ab=2,故C的值可求，注意线段不能为负.

【详解】解：V线段C是a、b的比例中项，.∙.c2=ab=2,

解得C=+√2，

又V线段是正数，.∙.c=0∙

故选：B.

【点睛】

本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方.求两条线段的比例中项的时候，负数应

舍去.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、12π

【分析】根据圆锥的侧面积公式即可得.

【详解】圆锥的侧面积公式：Sm=7vrl,其中r为底面半径，/为圆锥母线

则该圆锥的侧面积为万x2x6=12万

故答案为：12万.

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面积公式，熟记公式是解题关键.

14、没有实数根

Q+4

【解析】分析：由比例函数y=——的图象位于一、三象限得出a+4>0,A、P为该图象上的点，且关于原点成中心

X

对称，得出lxy>ll,进一步得出a+4>6,由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可.

/7+4

详解：•・,反比例函数y=——的图象位于一、三象限，

X

Λa+4>0,

Λa>-4,

TA、P关于原点成中心对称，PB〃y轴，AB〃x轴，APAB的面积大于H,

Λlxy>ll,

即a+4>6,a>l

.φ.a>l.

，△=(-1)1-4(a-l)XL=I-aV0,

4

.∙.关于X的方程(a-l)χi-x+1=O没有实数根.

4

故答案为：没有实数根.

点睛：此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题

的关键.

15、6.

91

【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：SΔAOD=",SΔBOE=ɪ,再证明ABOEsZkAOD,由性质得OB与OA

的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论.

【详解】如图，分别作BE_LX轴，AD_LX轴，垂足分别为点E、D,

ΛBE∕7AD,

.∙.∆BOE<^∆AOD,

SVAOD

VOA=AC,

ΛOD=DC,

∙*∙SΔAOD=SΔADC=—SAAOC,

2

•9，~

∙.∙点A为函数y=—(x>0)的图象上一点,

X

.9

:・S∆ΛOD=-9

同理得：SΔBOE=",

故答案为&

Ia2历

16、0Θ4±-——

47

【分析】由题意可分情况进行讨论：①当m=0时，该函数即为一次函数，符合题意，②当m#()时，该函数为二次函

数，然后根据二次函数的性质进行求解即可.

【详解】解：由题意得：

①当m=0时，且m+2=2,该函数即为一次函数，符合题意；

②当m≠0时，该函数为二次函数，则有：

∙.∙图象与X轴只有一个交点，

二b^-4ac=(∕n+2)2—4∕n(12zπ+1)=O,

甑徂2√472√47

解得：m—-------,nt=---------»

y147f47

综上所述：函数与X轴只有一个交点时，m的值为：O或±3且

47

故答案为：()或±2匹.

47

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质及一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像与性质及一次函数的性质是解题的

关键.

17、（2,2√3）（8,0）

【分析】根据坐标系中，以点。为位似中心的位似图形的性质可得点D的坐标，过点C作CM_LoD于点M,根据含

30°角的直角三角形的性质，可求点C的坐标.

【详解】∙.∙OAB与。CD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为3:4,点B的坐标是（6,0）,

.∙.点D的坐标是（8,0）,

•；NoCD=90°,NAQB=60。，

ΛZD=30o,

11

ΛOC=-OD=-×8=4,

22

过点C作CMLOD于点M,

ΛZOCM=30o,

二OM=gOC=；X2=2,CM=√3OM=2√3>

.∙.点C的坐标是（2,2石）.

故答案是：（2,2√3）;（8,0）.

【点睛】

本题主要考查直角坐标系中，位似图形的性质和直角三角形的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.

18、1.

【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：A4OP的面积为ΔBQP的面积为:网，然后两个三角形面积作

差即可求出结果.

【详解】解：根据反比例函数攵的几何意义可知：ΔAOP的面积为,匕，ΔBOP的面积为

22'

:∙ΔAOB的面积为一k,—k）,:■—k[—h=4,:∙k、-k、=8.

2222

故答案为1.

【点睛】

本题考查反比例函数我的几何意义，解题的关键是正确理解人的几何意义，本题属于基础题型.

三、解答题（共78分）

19、水的最大深度为0.2加

【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论.

【详解】解：；。。的直径为1加，∙∙∙QA=OO=0.5"Z.

VODVAB,AB=0.8/«,ΛAC=OAm,

ʌOC=y∣O∕C-AC2=√0.52-0.42=0.3m，

：.CD=OD-OC=0.5-0.3=0.2m.

答：水的最大深度为0.2m.

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键.

20、（1）6+3√2；（2）3-币或3+不

【分析】（D根据勾股定理得至!∣AB=0AC=6,根据全等三角形的性质得到AE=BD,当DE最小时，AADE的周长

最小，过点C作CF_LAB于点F,于是得到结论；

（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论

【详解】解：（1）：在RtAABC中，ZACB=90o,AC=BC=3√2

ΛAB=√2AC=6,

VNECD=NACB=90。，

ΛZACE=ZBCD,

AC^BC

在AACE与ABCD中，＜NACE=NBCO,

CE=CE

Λ∆ACE^∆BCD（SAS）,

ΛAE=BD,

Λ∆ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE,

二当DE最小时，AADE的周长最小，

过点C作CF,AB于点F,

E

AFDB

当CD_LAB时，CD最短，等于3,此时DE=3j5,

Λ∆ADE的周长的最小值是6+3√2；

(2)当点D在CF的右侧，

∙.∙CF='AB=3,CD=4,

2

ΛDF=√7，

AAE=BD=BF-DF=3-√7;

当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+√7,

综上所述：AE的长度为3-√7或3+J7∙

【点睛】

本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判

定与性质.

21、(1)y=-10x+740(44≤x≤52)(2)当x=52时，W有最大值为2640.

【分析】(1)售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨(x-44)元，每天销售量减少10(x-44)本,

所以y=300-10(x-44),然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定X的范围；

(2)利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到W=(x-40)(-10x+740),再把它变形为顶点式，然后利用二次

函数的性质得到x=52时W最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可.

【详解】(1)由题意得：y=300-10(x-44)=-10x+740,

每本进价40元，且获利不高于30%,即最高价为52元，即xW52,故：44≤x≤52,

(2)w=(x-40)(-10x+740)=-10(x-57)2+2890,

当xV57时，W随X的增大而增大，

而44≤x≤52,所以当x=52时，W有最大值，最大值为2640,

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润W元最大，最大利润2640元.

【点睛】

此题考查二元一次函数的应用，二次函数的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题关键在于确定

变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也

b

就是说二次函数的最值不一定在X=--时取得.

2a

22、（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】（1）根据四边形ABe。是平行四边形可得NFGE=FBC,再根据已知NFBC=NOCE,进而可得

结论；

（2）作三角形产BC的外接圆交Ao于点尸即可证明.

【详解】解：（1）•；四边形ABCO是平行四边形，

：.AD//BC

"FGE=NFBC

•：NFBC=NDCE,

：.ZFGE=ZDCE

•；NFEG=NDEC

ND=NF.

（2）如图所示：

点尸即为所求作的点.

证明：作8C和BF的垂直平分线，交于点0,

作AFBC的外接圆，

连接BO并延长交AD于点P,

二NPCB=