环境流体力学 课件 1.2 张量分析

1.2张量分析如果一个物理量是数量，则称之为标量，记为，它的表达式不含有基向量(含有0个基向量)，因此定义其为0阶张量。如果一个物理量是向量，，它含有一个基向量，定义其为1阶张量。如果我们用两个基向量的并积来表示坐标变换的矩阵Q，即，则称Q为二阶张量，以此类推，如果用n个基向量的并积来表示物理量，则称其为n阶张量。本节中用单位基向量表示基，即张量表示为令在x坐标系中张量在x’坐标系中张量根据有在两个坐标系中相应分量之间满足关系式

1.2张量分析1.2.1张量运算加减：

(2) 乘积(并积)(3) 点积注意是关于哑标求和。例：只有同阶同型的张量才可进行1.2.1张量运算证明：(4) 叉积：根据，有我们还可以定义置换张量(Eddington张量)，于是，张量的叉积1.2.1张量运算(5) 张量判定定理：若和任意向量(1阶张量)的点积(内积)为n-1阶张量，则就是一个n阶张量。举例证明：设一组带三个指标的量与任意矢量的内积是一个二阶张量，则可证明必是三阶张量证：建立一个指标符号带撇的新坐标系，根据坐标变换规则，有对于原来坐标系中的矢量有由于是任意向量，因此必须即服从三阶张量的变换规律，故是三阶张量。同理可以证其他任何阶张量。于是于是(6) 张量微分：由于在曲线坐标系中，基向量的导数不为0，张量的微分要对每一基向量都进行微分，即有n+1项微分相加。1.2.1张量运算1.2.1张量运算(4) 叉积：根据，有3n-1×33×33×3m-1物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场，显然，这个物理量是空间坐标的函数。1.2.2场论如果这个物理量是数量，则称此场为标量场，记为，如温度场、密度场等；因为标量场的表达式不含有基向量，因此在坐标变换时保持不变，即在空间同一点上。如果这个物理量是向量，，则称此场为向量场，如引力场、电场、磁场等。向量在不同坐标系下存在如下关系：，即如果同一时刻场内各点的函数值都相等，则称此场为均匀场，即，如果场的物理量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为定常场，则，；1.2.2场论物理量随空间位置变化，则为不均匀场，随时间变化，则为非定常场，如果不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场为非定常非均匀场。对于非定常场，可以固定某个时刻，对空间导数进行研究方向导数：在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数，定义为函数的方向导数(注：方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数)，记为，其中表示函数，表示方向上的线元。1.2.2场论(1)梯度场梯度表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快，变化率最大(为该梯度的模)，记为。其中为哈密顿算子(Hamiltonian)，读作delta或nabla。如图，，其中为等位面的法向方向，分别对应两个等位面。等位面示意图，为等位面的法向方向，为任一方向。性质1：记为方向的单位矢量，方向导数满足在直角坐标系中，

分别取，有显然【例1-4】证明：正交曲线坐标系中梯度算子的表达式为微元在坐标轴()上的投影，例如，在柱坐标中，微元在、上的投影分别是和。于是根据即性质2：梯度满足：1.2.2场论证明：考查对空间自变量的全微分，性质3：函数的梯度：证明：1.2.2场论(2)散度场散度表示在某点处的单位体积内散发出来的物理量的通量(见数学中的高斯公式)，数学表达式为即1.2.2场论(3)旋度场旋度表示向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度，数学表达式为即【例1-5】求柱坐标中梯度、散度、旋度的表示。已知：于是：【例1-6】求柱坐标中速度梯度的表达式。已知：于是：同理：整理，得【作业】写出球坐标系中梯度、散度、旋度的表示。【作业】写出球坐标系中速度梯度的表达式。1.2.3二阶张量二阶张量又称仿射量，它可以将一个坐标系中的向量映射到另一个坐标系。定义二阶张量，则(1)B

的行列式：

(2)对称张量：

(4)正交张量：(3)反对称张量:单位正交坐标系间的坐标变换矩阵就是正交张量。1.2.3二阶张量(5) 二阶张量的特征值、特征向量及不变量。

对于正则二阶张量B，总存在一非零实数和向量，使得,则称为B的特征值，称为B的特征向量。显然由于

，则上式称为B的特征方程，其左侧展开式称为B的特征多项式其中分别为B的第一、第二、第三主不变量。1.2.3二阶张量(6) 张量分解定理：任意二阶张量都可唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量的和。

(7) 正定矩阵：设B是n阶矩阵，如果对任何非零向量，都有，就称B为正定矩阵(判定：求出B的所有特征值。若B的特征值均为正数，则B是正定的)，如果对任何非零向量，都有，就称B为半正定矩阵(判定：B的所有特征值)。若如果对任何非零向量，都有，就称B为负定矩阵(判定：B的所有特征值)。1.2.3二阶张量

(9) 张量函数表示定理