切割线定理-北京习题集-教师版

切割线定理（北京习题集）（教师版）一.选择题（共8小题）（2010秋•平谷区期末）如图，点。、O在线段A5上，^AC=CO=OB=5,过点A作以为直径的。O切线,TOC\o"1-5"\h\zA.5 B.6 C.5/ D.10（2008•朝阳区二模）如图，从点P向。0引两条切线PA,PB，切点为A,B,BC为。0的直径，若ZP=60。,PA=3，则。0的直径BC的长为（ ）A.2於 B.233 C.3 D.4<3（2003•西城区模拟）如图，PA切。0于点A,PBC是。0的一条割线，且PA=2<3,BC=2PB，那么PB的长为（）A.2 B.<6 C.4 D.2K（2003•海淀区模拟）如图，割线PAB交。0于A、B两点，且PA:AB=2:1,PO交。0于C,PC=3,OC=2,则PA的长为（ ）

A.273 B.714 C.2n D.100（ ）（2002•朝阳区）已知：如图，OO半径为5,PC切OO于点C,PO交OO于点A,PA=4，那么PC的长等于（ ）A.6 B.2%，5 C.2<10 D.2<14（2000•西城区）如图，PA切。0于点A,PBC是OO的割线，如果PB=2,PC=8，那么PA的长为（ ）PD的长为（PD的长为（ ）A.2 B.4 C.6 D.2<3（2000•朝阳区）如图，P是OO外一点，PAB、PCD都是OO的割线.如果PA=4,AB=2,PC=CD，那么BC的长为（ ）BC的长为（ ）ayA.3<2 B.3 C.、3 D.2<3二.填空题（共1小题）9.（2004•北京）如图，AB为OO的直径，P为AB延长线上一点，PC切OO于C,若PB=2,AB=6，贝UPC= A.<3 B.2v3 C.3<3 D.4d3（1999•北京）如图，PA切OO于点A，PBC是。0的割线，且PB=BC,如果PA=3<2，那么

三.解答题（共4小题）（2010秋•昌平区校级月考）如图，已知：筋是。。的直径，AC是切线，A为切点，5。交。。于点。，切线/无交AC于点石.求证：AE=EC.（2003•北京）已知：在AABC中，4。为NB4C的平分线，以。为圆心，CD为半径的半圆交的延长线于点石,交AD于点尸，交AE于点M,MZB=ZCAE,FE:FD=4:3.（1）求证：AF=DF；（2）求/AEZ）的余弦值；（3）如果5。=10,求AABC的面积.- DC£（2000•海淀区）如图，PC为。。的切线，。为切点，RW是过。点的割线，CDLAB于点。，若tanB=-,PC=10cmPC=10cm，求NBCD的面积.（1998•东城区）如图，设。。的半径为8,过圆外一点P引切线PA，切点为A,PA=6,C为圆周上一动点，PC交圆于另一点B，设PC=x,PB=y，且x〉y.（1）试求：y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（2）若cosZOPC=4时，求x的值.切割线定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一.选择题（共8小题）)A.5B.6（2010秋•平谷区期末）如图，点。、O在线段池上，AAC=CO=OB=5,过点A作以为直径的。O)A.5B.6D.10【分析】利用切割线定理得到AD2=AC-AB，而AC=5,AD=AC+CO+CB=15，代入计算可以求出AD的长.【解答】解：:AD是。0的切线，ACB是0O的割线，...AD2=ACAB,又AC=5,AB=AC+CO+OB=15,AD2=5x15=75,AD=5V3.(AD=-5<3不合题意舍去).故选：C.【点评】本题考查的是切割线定理，利用切割线定理列出等式，然后把AC,AB的长代人计算求出线段AD的长.（2008•朝阳区二模）如图，从点P向OO引两条切线PA,PB，切点为A,B,BC为OO的直径，若ZP=60。,A.2<3PA=3，则。。的直径BC的长为A.2<3C.C.3B.—3【分析】连接OP，根据切线长定理得PB=PA=3,ZOPB=30。.在直角"OB中根据三角函数可求得OB的长，从而得到圆的直径.【解答】解：连接OP.

_ … OB\-PB=PA=3,NOPB=30°,tanZOPB=——，PBOB=3,，圆的直径是2y3.那么PB的那么PB的长为（）【点评】此题主要考查切线长定理的应用，比较简单.（2003•西城区模拟）如图，PA切。0于点A，PBC是。0的一条割线，且PA=2石，BC=2PB，A.2 B.%6 C.4 D.2V6【分析】设PB=x，则PC=3x，根据切割线定理得PA2二PB.PC，从而可求得PB的长.【解答】解：设PB=x，则PC=3x,PA2A2=PB・PC,PA=2<3,BC=2PB,二.x・3x=12,/.x—2.故选：A.【点评】此题考查切割线定理的运用.（2003•海淀区模拟）如图，割线PAB交OO于A、B两点，且PA:AB—2:1,PO交OO于C,PC—3则PA的长为（ ）c.2J6A.143c.2J6A.143 B.^14【分析】延长PO交圆于D，根据割线定理列方程求解即可.【解答】解：设AB=x，则PB=3x，延长PO交圆于D.PPPBB=PCPD,PC=3,OC=2,2x・3x=21,v14「.x— ,2PA―2x—14..D.J10故选：B.【点评】此题主要通过作辅助线构造割线，再根据割线定理进行计算.（2002•朝阳区）已知：如图，OO半径为5,PC切。0于点C,PO交OO于点A,PA―4，那么PC的长等于2<52V102<142<52V102<14PC―2v14PC―2v14；解得:【分析】延长AO交。0于B，由切割线定理可得PC2—PAPB，进而求出PC的长.【解答】解：延长AO交OO于B，则UAB―2OA―10；由切割线定理得：PC2—PA・PB；则有:PC2―4x(10+4)—56,则有:【点评】此题主要考查的是切割线定理的应用.（2000•西城区）如图，K4切。。于点A,尸5。是OO的割线，如果PS=2,PC=8,那么K4的长为（ ）A.2 B.3 C.3 D.2,3【分析】已知了PB、PC的长，由切割线定理可得PA2=PB・PC，进而可求出PA的长.【解答】解：・・・PA切。。于点A,PBC是。。的割线，PA2=PB-PC=16，即PA=4；故选：B.【点评】此题主要考查的是切割线定理.（2000•朝阳区）如图，P是OO外一点，PAB、PCD都是。0的割线.如果PA=4,AB=2,PC=CD，那么PD的长为（ ）A.<3 B.2<3 C.3<3 D.4<3【分析】先设PC二x，再根据切割线定理的推论，可得关于x的方程，解出x，又由于PC二DC，所以再求PD=2x即可.【解答】解：设PC=x，那么PD=PC+DC=2x,根据推论可知，PCPD=PA*PB,「.x・2x=4・(4+2),x=2<3,PD=4v3.故选：D.【点评】切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.8.（1999•北京）如图，PA切OO于点A,PBC是。0的割线，且PB=BC,如果PA=3<2，那么BC的长为（ ）

o*AA.3^2C.33 o*AA.3^2C.33 D.2V3【分析】设BC=x.根据切割线定理PA2=PB.PC，可得列方程求解.【解答】解：设BC=x.pA^A切。0于点A,PBC是。0的割线，...PA2=PB.PC.即x・2x=18,x=±3（负值舍去），即BC=3.故选：B.【点评】此题主要是考查了切割线定理.二.填空题（共1小题）9.（2004•北京）如图，AB为。0的直径，P为AB延长线上一点，PC切OO于C，若PB=2,AB=6，则PC=4.【分析】由已知可求得PA的长，再根据切割线定理得PC2=PB*PA，即可求得PC的长.【解答】解：PPB=2,AB=6,PA=PB+AB=8；AAB为OO的直径，P为AB延长线上一点，PC切OO于C,则PC2=PB・PA:.可得PC=4.【点评】此题考查了切割线定理的运用.三.解答题（共4小题）（2010秋•昌平区校级月考）如图，已知：AB是。0的直径，AC是切线，A为切点，BC交。0于点D,切线DE交AC于点E.求证：AE=EC.【分析】连接AD,根据直径所对的圆周角是直角，即可证得AADC是直角三角形，再根据切线长定理即可证得AE=DE,只要再证得=即可.【解答】解：如图，连接AD,♦.•M是圆的直径.:.ZADB=90°,贝UZADC=90°.-.ZZMC+ZC=90°•/AE,是圆的切线.:.AE=DE:.ZDAE=ZADE又NDAE+NC=NADE+NEDC=90°:./EDC=ZC/.DE=ECAE=EC【点评】本题主要考查了切线长定理以及等腰三角形的判定定理，正确求证。£=£。是解决本题的关键.（2003•北京）已知：在AABC中，4。为NB4C的平分线，以。为圆心，CD为半径的半圆交的延长线于点石,交AD于点尸，交AE于点M,MZB=ZCAE,FE:FD=4:3.（1）求证：AF=DF；（2）求/AEZ）的余弦值；(2)求ZAED的余弦值，即求ME:DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出;(3)根据AABC的面积公式求出BC，AN的长是关键，根据题意由三角函数及相似比即可求出.【解答】(1)证明：・・・AD平分ZBAC:.乙BAD=ZDAC•・・NB=ZCAE:.ZBAD+ZB=ZDAC+ZCAE=ZBAD+ZB:.ZADE:ZDAE.EA=EDDDE是半圆C的直径:.ZDFE=90o.AF=DF(2分)(2)解：连接DM・・・DE是半圆C的直径.ZDME=90o,.，FE:FD=4:3可设FE=4x，贝UFD=3xDE=5xAE=DE=5x,AF=FD=3x-AF•AD=AM^AE.3x(3x+3x)=AM^x18「.AM=——x518 7...ME=AE—AM=5x——x=-x557-x—在RtADME中，cosZAED=——="=一(5分)DE5x25(3)解：过A点作AN1BE于N7丁cosNAED二一25. 24「.sinZAED--25, 24, 24AN=—AE=—x25 5在ACAE和AABE中ZCCAE=ZB,ZAEC=ZBEA/.ACAEsAABEAECEBEAE/AE2=BE・CE二(5x)2=(10+5x)•-x/^2/AN=24x=48/BC=BD+DC=10+5x2=152/S225=-BC/S225=-BC・AN=-x15x48=72(8分).AABC，勾股定理，圆周角定理等知识点的综合运用.（2000•海淀区）如图，PC为。0的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD1AB于点D，若tanB=1,2PC=10cm，求ABCD的面积.【分析】连接AC，由弦切角定理知ZPCA=ZB，易证得APCAsAPBC，得PC:PB=AC:AB，而AC:AB正好是tanB,由此可求出PB的长，进而可由切割线定理求出PA的长，也就得到了AB的长；在RtAACB中，易证得ZACD=ZB，那么tanB=tanZACD，由此可得CD=2AD,BD=2CD，即BD=4AD，联立AD+BD=AB(AB的长已求得），即可得到AD、BD、CD的长，进而可由三角形的面积公式求出ABCD的面积.【解答】解法一：连接AC,AAB是。0的直径，点C在。0上，.・./ACB=90。-CD于BB于点D,:'乙ADC=ZBCA=90°,/ACD=90°-ZBAC=ZB.tanB=—,2.•.tan^ACD=1,2ADCD1AC,-——―.. — —— •CDDB2CB设AD—x(x>0)，贝UCD—2x,DB—4x,AB—5x.•；PC切OO于点C,点B在。0上，:,乙PCA—ZB,/P=Z.P,/.APACs\pcb.PAAC1/ — —.PCCB2yPC=10,/PA—5,pPC切。0于点C,PAB是。0的割线，/根据切割线定理：PC2—PA・PB,./102—5(5+5x),解得x—3,.AD—3,CD—6,DB—12....s —1CD・DB—-x6x12—36,ABCD2 2即ABCD的面积为36cm2,PCAC1解法二：同解法一，由APACsAPCB得P——————PBCB2pPC—10，/PB—20,由切割线定理，得PC2—PAP,/PA—P—2—史—5,PB20/AB—PB-PA—15,•.•AD+DB=x+4x=15,解得x=3;（x同证法一）CD=2x=6,DB=4x=12,S ==CD・DB=-x6x12=36.ABCD2 2即ABCD的面积为36cm2.【点评】此题主要考查了圆周角定理、切割线定理、弦切角定理及相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，能够正确的构建出相似三角形，并发现PA、PB与tanB的关系是解答此题的关键.（1998•东城区）如图，设OO的半径为8,过圆外一点P引切线PA，切点为A,PA=6,C为圆周上一动点,PC交圆于另一点B，设PC=x,PB=y，且x〉