四川省成都市郫都区2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题

郫都区2020—2021学年度上期期中考试高二理科数学说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．直线的倾斜角为A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是A． B． C． D．3．高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为A． B． C． D．4．某地在国庆节天假期中的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有天，则上述判断中正确的个数为A． B． C． D．5．中国人民解放军建军90周年之际，中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是A.mm2B．mm2C．mm2D．mm26.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为A．B．C．D．7．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和概率最大时，其和为A．6 B．7 C．8D．98．已知直线，与平行，则的值是A．0或1 B．1或 C．0或D．已知直线过点，且倾斜角为直线：的倾斜角的2倍，则直线的方程为A． B．C． D．10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率A． B． C． D．11．已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是A． B．10C．D．1212．已知实数x，y满足，则的最大值为（）A． B． C．1 D．第II卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校田径队有男生56人，女生42人，现用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为28的样本，那么抽到男生的人数是__________．14．已知实数满足约束条件，则的最大值为.15．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_______.16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是______________．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）若的前n项和为，点均在函数y＝的图像上.（1）求数列的通项公式.（2）设，求数列的前n项和.（本小题满分12分）近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心.某人统计了近年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与的线性相关程度，线性相关系数保留三位小数.（统计中用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量的取值，变量的观测值为()，则两个变量的相关系数的计算公式为：.统计学认为，对于变量,如果,那么负相关很强;如果,那么正相关很强;如果或,那么相关性一般;如果,那么相关性较弱）；（2）求出关于的线性回归方程，并预测年该网站“双11”当天的交易额.参考公式：，；参考数据：.19．（本小题满分12分）已知函数，.（1）求的值及函数的最小正周期；（2）在中，角、、所对的边分别是、、，若，且，求的周长.20．（本小题满分12分）某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；（3）求学生对A餐厅评分的平均数.21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．22．（本小题满分12分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．高二半期理科数学参考答案题号123456789101112答案CCBDBDBCDCCB13．1614．715．16．17．（1）由题意知：…………………1分当n时，……………………3分当n=1时，，适合上式。…………4分………………5分（2）……………8分…………10分18．（1）由题意，根据表格中的数据，可得：，，…………2分则，………………3分，………4分所以，…………………5分所以变量与的线性相关程度很强.……………………6分（2）由（1）可得，，，又由，…………7分所以，则，………9分可得关于的线性回归方程为，………10分令，可得，即年该网站“双11”当天的交易额百亿元.……12分19．（1），3分则，………………4分函数的最小正周期为；…………………5分（2），可得，………………6分，，，解得，…………8分由余弦定理得，…………10分解得，，…………11分因此，的周长为.…………12分20．（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于的频率为，………………2分所以，对餐厅评分低于的人数为.………………4分（2）对餐厅评分在范围内的有人，设为；对餐厅评分在范围内的有人，设为.…………5分从这人中随机选出人的选法为：，，，，，，，，，共种.……………6分其中，恰有人评分在范围内的选法为：，，，，，.共6种.…………7分故人中恰有人评分在范围内的概率为.…………8分平均数为：…………10分…………12分21.（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．1分连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．…………2分由知，OP⊥OB．………3分由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．…………………5分作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．…………………8分由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．……11分所以点C到平面POM的距离为．…………12分22．（1）由得，∴圆的圆心坐标为；………………2分（2）设，则∵点为弦中点即，

∴即，…………4