6.1平面向量的概念（四大考点）

6.1平面向量的概念1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,；2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念；3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念.一、向量的概念及表示1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.2.表示:（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.（2）向量的表示：①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.3.两个特殊向量:（1）零向量与非零向量:长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.二、向量间的关系1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.考点01向量的概念与表示1．下列各物理量表示向量的是（

）A．质量 B．距度 C．力 D．体重【答案】C【分析】根据向量的定义判断可得出结论.【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.故选：C.2．下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.故选：A.3．下列说法中正确的个数是①若向量与向量不平行,则与的方向一定不相同；②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；③向量与不共线,则与都是非零向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可．【详解】由向量平行的定义知，方向相同和相反的两个向量平行，故①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，不妨设为零向量,则与共线，与与不共线矛盾，故③正确.故选：C【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与命题真假的判断问题，属于基础题．4．下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等【答案】D【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.故选：D5．有下列命题：①若，则；②若，则四边形是平行四边形；③若，，则；④若，，则.其中，假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.【详解】，则的方向不确定,则不一定相等,①错误;若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;若,,则,③正确；若，，则时,不一定成立,所以④错误.综上,假命题的是①②④,共3个.故选:C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.6．对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为【答案】1【分析】根据向量的定义以及相关概念，对选项进行逐一分析即可.【详解】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；（2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误；（3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；（4）与任意向量平行，故（4）错误；（5）若与有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.故正确的命题个数为.故答案为：.【点睛】本题考查向量的定义、性质和相关概念，属基础题.考点02向量的几何表示与向量的模7．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起点是 D．向量的终点是【答案】D【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案.【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D8．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量中模最大的向量是，其长度为．【答案】【分析】根据各向量的起止点所在的格点求模长，即可知模最大的向量.【详解】由图形，．∴长度最大为．故答案为：，9．图中，小正方形的边长为1，则||＝，||＝，||＝．【答案】32【分析】根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.【详解】由题意可知：||3．||．||．故答案为：3；；2．10．在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)，点在点的正西方向；(2)，点在点的北偏西方向；(3)求出的值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)3【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，（2）根据向量的大小和方向，作向量，（3）根据向量的模的定义求.【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：（3）

.11．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.（1）画出所有的向量；（2）求的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.【详解】试题分析：（1）由||=及点C为小正方形的顶点和点A的位置可确定点C的位置，然后可画出．（2）根据（1）中的点C，逐一求得||后，可求得||的最大值为，最小值为．试题解析：(1)画出所有的向量，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；所以||的最大值为，最小值为．考点03共线向量与相等向量12．下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.故选：C.13．设是正方形ABCD的中心，则（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【答案】D【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.【详解】

对于A项，，不共线，故A项错误；对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.故选：D.14．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?【答案】答案见解析【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论.【详解】根据平行向量的定义，由图可知，与平行的向量有：，，，，，，，，，，，，，，，，，其中的单位向量有：，，，，，，，，，，.15．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是.【答案】梯形【分析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案.【详解】在四边形ABCD中，因为，所以，又，所以四边形ABCD的形状是梯形.故答案为：梯形16．在四边形中，，则这个四边形的形状是.【答案】平行四边形【分析】根据向量相等的意义进行判断【详解】由可知//，且，注意到四边形中不共线，于是//，结合可知，该四边形是平行四边形.故答案为：平行四边形17．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，(1)与模长相等的向量有多少个？(2)写出与相等的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？(4)请列出与相等的向量．【答案】(1)有9个(2)，(3)，，，，，，(4)【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，所以，所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.（2）与相等的向量有、.（3）与共线的向量有，，，，，，.（4）因为为平行四边形，所以且，所以与相等的向量为.考点04用向量求证几何图形的性质18．如图，D，E分别为的边AB，AC的中点，求证：与共线，并用表示．【答案】证明见解析；【分析】由三角形的中位线的性质及共线向量基本定理可得结果.【详解】证明：因为D，E分别为AB，AC的中点，所以，即与共线．又，且与同向，所以．19．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【答案】(1)，，；(2)证明见解析.【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.【详解】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，所以四边形为平行四边形，所以.所以与向量共线的向量为：，，.（2）证明：在平行四边形中，，.因为，分别是，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，，故.20．已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．【答案】证明见解析【分析】连接AC，易得，分别为和的中位线，进而可得，且，又向量与方向相同，从而得证.【详解】证明：如图，连接AC，因为，分别是，的中点，所以为的中位线，所以，且，同理，因为，分别是，的中点，所以，且，所以，且，因为向量与方向相同，所以.21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】答案见解析【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.【详解】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．即证.22．如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：.【答案】证明见解析【解析】根据相等向量的定义，可以得到一个平行四边形，根据平行四边形的性质得到线线平行，再根据已知的向量相等，可得到一组平行线，这样可以得到两组角对应相等，利用相似三角形的判定理可以证明.【详解】证明：∵，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，∴.由，得.∴【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理，考查了平行线的性质定理，考查了三角形相似的判定定理，考查了推理论证能力.基础过关练1．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（

）A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M【答案】D【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．2．对下面图形的表示恰当的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C.3．下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【答案】C【分析】根据零向量和单位向量的概念求解.【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断.故选：C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根据方格中的点线位置关系判定是的中位线，根据中位线关系，结合勾股定理求解.【详解】因为是的中位线，所以，即.根据勾股定理可求得.故选：B【点睛】此题考查向量关系的判定，通过向量关系求模长关系，利用勾股定理求线段长度.5．（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（

）A．＝B．与共线C．与共线D．＝【答案】ABD【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误.【详解】由四边形，，是全等的菱形，知：，即A正确；由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝，故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确.故选：ABD.6．（多选）下列说法正确的是（

）A． B．是单位向量，则C．任一非零向量都可以平行移动 D．若，则【答案】ABC【分析】利用向量的相关概念，逐一判断各个命题作答.【详解】对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确；对于B，所有的单位向量的模相等，B正确；对于C，任一非零向量都可以平行移动，C正确；对于D，向量的模有大小，而向量无大小，D错误.故选：ABC7．若与任意都平行，则．【答案】【分析】根据零向量的性质可直接得到结果.【详解】零向量与任意向量都平行，.故答案为：.8．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：①共线向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.【答案】与，与与，与【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，显然，因此的模相等.故答案为：与，与；与，与；9．已知四边形，点､､､分别是､､､的中点，则与的关系为.(用文字叙述)【答案】相等【分析】可画出图形，并连接，根据条件可得出，这样即可得出与的关系．【详解】如图，连接，、、、分别是、、、的中点，是的中位线，是的中位线，，即，同理，与的关系为：相等．故答案为：相等．10．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．(1)终点A在起点O正东方向3m处；(2)终点B在起点O正西方向3m处；(3)终点C在起点O东北方向4m处；(4)终点D在起点O西南方向2m处．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析．【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段；（2）从向西作长度为3m的有向线段；（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段；（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段．【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：（2）从向西作长度为3m的有向线段：（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：11．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.（2）由于与长度相等且方向相同，所以.（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.12．如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.【答案】证明见解析【解析】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出.【详解】证明：由可知且，所以四边形为平行四边形，从而.又M，N分别是，的中点，于是.所以且.所以四边形是平行四边形.从而.【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理的应用，考查了推理论证能力.能力提升练1．下列说法错误的是（

）A．B．、是单位向量，则C．若，则D．任一非零向量都可以平行移动【答案】C【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.故选：C.2．已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【答案】A【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可.【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；选项，如图，但是四边形不是矩形，错误；选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A3．下列命题：①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；对于②，若，，则，②对；对于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；对于④，取，则、不一定共线，④错；对于⑤，若、、、是不共线的四点，当时，则且，此时，四边形为平行四边形，当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.故选：A.4．在下列结论中，正确的结论为（

）A．且是的必要不充分条件B．且是的既不充分也不必要条件C．与方向相同且是的充要条件D．与方向相反或是的充分不必要条件【答案】ACD【分析】根据向量共线、向量相等的概念结合充分条件、必要条件逐项判断即可.【详解】因为且，所以或，若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，故选项A正确，选项B错误；对于选项C，因为与方向相同且，所以，反之，若，则与方向相同且，所以与方向相同且是的充要条件，正确；对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或，即由得不到与方向相反或，所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.故选：ACD5．给出下列命题：①若，则；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是．【答案】③【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.【详解】①错误．若，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可