山东省德州市重点中学2023-2024学年高三年级上册期末考试数学试题(含答案)

高三数学期末试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知集合4=卜€3》三6},B={x|y=lg（x-1）},则A为3=（）

A.{0}B.{0,l}C.{1}D.{1,2}

2.已知复数Z满足（l+i）Z=l—i,则Z2°23=（）

A.iB.-lC,-iD.l

3.已知p：Vx-1>2,q：m-x<0,若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<5D,m>5

4.盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人

育之”的道理.如图是乾隆时期的山水人物方盖碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗

上底面的边长为6cm,下底面边长为3cm,高为5.4cm,则lL（1000cm3）茶水至少可以喝（不足一碗算一

碗）（）

A.7碗B.8碗C.9碗D.10碗

5.实数x,y满足炉+/一6x—4y+4=0,则』±1的最大值为（）

x+2

1516+3月

A.—B.3+2夜D.0

8,7

6.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计10go的比赛，其中某位同学利用函数图象

设计了如图的logo,那么该同学所选的函数最有可能是（）

A./(X)=xsinx-cosxB.=sinx-%cosx

C.f(x)=x2+2cosxD./(x)=2sinx+x2

7.设随机变量X~NJ,/),且尸(X2a)=0.5,P[X<b)=3P(X>b),贝UP(XW2a—Z?)=()

1

/\.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选

项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全得得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.（l-2x）8展开式中7项的系数为1120

B.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C.根据分类变量X与丫的成对样本数据计算得到Z2=3.218，依据£=0.05的独立性检验（％05=3.841）,

没有充分证据推断零假设不成立，即可认为x与y独立

D.在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零

10.已知抛物线/=2px（p>0）的焦点为F,点P（5,%）在抛物线上，且归司=6,过点P作PQLx轴于

点Q,则（）

A.p=2B.抛物线的准线为直线y=—1

C.%=2石D.£\FPQ的面积为475

JT

11.已知函数〃力=〃858+加]!10¥3>0）在％=一处取得最大值2,的最小正周期为R,将

jr

y=/（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1■个单位长度得

到的图象，则下列结论正确的是（

A.x=°是图象的一条对称轴B./（X）=2COS

是奇函数D.方程g（X）—21g尤=0有3个实数解

12.如图，在棱长为1的正方体A3CD—431G2中，点P满足5尸=ABC+,其中4e[0,1],4e[0』，

则（）

A.当X=〃=1时，BP_LAjDB.当2=时，点P到平面A3。的距离为

2

C.当；1+〃=1时，2P〃平面43。D.当;i+〃=；时，三棱锥A—PBD的体积恒为A

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题目横线上）

13.己知等差数列｛4｝的公差为2,若为,名，%成等比数列，则％=.

14.设函数7•（x）=|x—2x，x，2,关于X的方程/（£）=a有三个不等实根须，

%2X

X3,则玉+%2+3的

[~2x+6,%>2

取值范围是.

13

15.已知ZVIBC中，M为3C边上一个动点，若AM=%AB+3yAC,则一+一的最小值为.

%y

X

16.已知椭圆C]：—+==1（。1>4>0）与双曲线。2：[-2=1（。2>0也>0）具有相同的左、右焦点

b、a、b）

F]、尸2,点p为它们在第一象限的交点，动点Q在曲线G上，若记曲线a，的离心率分别为q,“

满足6.2=1,且直线尸耳与y轴的交点的坐标为（0,学;则的最大值为.

四、解答题（本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）设S”为数列｛a“｝的前n项和，：+才+-+—=T-1.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

+2

（2）设2=——，证明：4+伪++优<4.

nan

18.（12分）在ZkABC中，角A、B,C所对的边分别为a,b,c,且6a=M6cosC-sinC）.

（1）求角B；

（2）。为AC边上一点，DB±BA,且AD=4DC,求cosC的值.

19.（12分）把矩形aaEB以所在的直线为轴旋转i8o°,得到几何体如图所示.其中等腰梯形钻。为

下底面的内接四边形，且A3=2AZ）=2,点G为上底面一点，且CG〃aa，。1。2=1-

G

（1）若P为。E的中点，求证：4。_1平面5。石；

（2）设=2e[0,l],试确定义的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为^—.

3

22

20.（12分）已知点E（—1,0）为椭圆C：三+%=l（a〉6〉0）的左焦点，M

（1）求C的方程;

（2）已知两点A（m⑼（网〉a）与35,0乂冏<。），过点4的直线/与C交于P,Q两点，且

ZPBA+ZQBA=71,试判断相〃是否为定值?若是，求出该值，若不是，说明理由.

21.（12分）轻食是餐饮的一种形态，轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养

和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得

轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄

段的人数各100人）食用轻1食的频率与年龄得到如下的频数分布表.

使用频率[12,25)[25,38)[38,51)[51,64]

偶尔1次3015510

每周1~3次40403050

每周4~6次25404530

每天1次及以上552010

（1）若把年龄在［12,38）的消费者称为青少年，年龄在［38,64］的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不

超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值£=0.01的独立性检验

判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；

（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取

8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在［25,38）与［51,64］的人数分别为X,匕^=\X-Y\,

求f的分布列与期望；

（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选

择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选

122

择低卡甜品的概率分别为一，一，二，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.

553

n[ad-bcf

参考公式：z2=,n=a+b+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(6+d)

附:

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

22.(12分)已知函数/(X)=x-aln_x(aeR).

（1）当a<e时，讨论函数零点的个数;

⑵当时，/（x）之ar"lnx-xe*恒成立，求a的取值范围.

4

数学试题参考答案

,u11

l.B2.A3.C4.C5.A6.A7.A8.C9.ACD10.ACDll,AD12.ACD13.—614.5,

71

15.1616.—

3

£-e

_e\

a.

cc

PH1+PF=2al尸片=。1+。2又《cax=-

16.【详解】由题设12=><

PF1-PF=2a2PF2Oy-a2〃2

2［。2=e\C

g=1

直线PF与y轴的交点的坐标为|0,肛］，则COSNPFF?=1

｛I2)卜+。.G_

|「片「+|R「—|P局2(q+g)2+(2c『—(4—电)2

居中cosNP4耳

2|尸7为耳耳|—2(%+“2c

.2c

+c_

a{a22

e+1

C1丁

2211

综上，,——--整理得8e；+2e；—1=0,可得e；=—或e；=——(舍)，

42

e1+l

由G〉0,则G=g,

由椭圆性质知：当Q为短轴顶点时NFQF,取到最大，此时sin幺"=£=,=’,

2a2

由/£凿€(0,句，则幺产即幺符=£,故NGQ£=g.

17.解：(1)当“eN*时，工+2++之=2"—1,当"之2时，工+*++==2'i—1,

12n12n—1

5

q

两式相减得'=2"—2"T=2"1,贝US.=〃•2"T,

n

nln22

当〃上3时，an=Sn-Sn_}=n-2--(«-1)-2-=(«+1)-T-,

又当〃=1时，q=21—1=1,当〃=2时，S2=aY+a2—4,则=3,

显然q=l,4=3符合%=(〃+l>20-2,

所以数列｛«„｝的通项公式是a„=（«+l）-T-2

〃+22(〃+1)-〃11

(2)由(1)知,2=-

n(〃+1).2〃-2〃(,+])•2〃一2—n.2〃-3—(〃+]).2〃一2

…777111111

所以/7]+,++b=----石---------------j-H------------:-------------H-------------------r-7--------\

12"1x2-22x2-12x2-13x2°n-2n-3(n+l)-2n

=-----------------=4------------<4

1x2-2(几+1).2〃-2(〃+1)2-2,

18.解：(1)因为6a=b(6cosC-sinC),

所以，由正弦定理可得百sinA=sincosC-sinC^,

又sinA=sin[万一(JB+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

因为C«0,乃）,sinOO,所以sin5+。=0,

n4%,所以5+工=乃，即3=女

又5e(0,»)，B+ye

§'行33

27rTC

（2）由（1）知3=——，因为。所以NC3D=—

36

记NBDC=6,则NBZM=»—8,

在△BCD中，由正弦定理得0-=>一，得8=a

sin"sind2sin8

6

在RtZvW。中，有AD=—

sin（万-。）sin。

6

f2〃

因为AD=4DC,所以——二——，得c=2a,

sin0sin0

在ZkABC中，由余弦定理可得〃=/+4/—2口义2acos—=7/，即b=j7a,

3

r-r-p,「tr+7a2—40-2不

所以cosC=-------尸---=-----.

2axj7a7

19.解：（1）证明：因为AB为直径，所以

因为E4L平面ABD,应）u平面ABD,所以E4LBD,

因为AEAD=A,AEu平面ADE,ADu平面ADE,所以5D,平面ADE,

因为APu平面ADE,所以5DLAP,

因为AZ）=AE,P为DE的中点，所以APLDE,

因为8。DE=D,BDu平面BDE,EDu平面BDE,所以AP,平面5Z汨.

（2）因为等腰梯形ABCD为底面半圆。］的内接四边形，AB=2AD=2,

7T

所以/DAO】=NAO]D=NCO[D=/BO,=所以CD=BC=1,

如图，以。1为坐标原点，在底面半圆a过点。1垂直于平面A5EE作直线为x轴，分别以。啰，002为丫，

z轴建立空间直角坐标系,

由于AD=OC=BC=1,CG=1,由（1）可知AO]=1,

/6、，出1）

故A（0,—1,0）,B（0,l,0）,G—D——,0,£（0,—1,1）,

I22J

则AB=（0,2,0）,AG=--,-,l,

（22）

设平面ABG的一个法向量为n=（尤,y,z）,

2y=0

n-AB=0

则,即＜V33八

n-AG=0----x+~y+z=｛）

22

令x=2也,则〃=（26,0,31

jr

设直线AP与平面A3G所成角为。0,-

2

7

\n-AP|32-3+0+32|V105

则sin0=cos(n,AP

\n\^APV12+0+9-A/222-22+135

即得9^2—94+2=0,

17

解得4=；或4=（，符合Xe[0，U，

故4=土或4=*.

33

20.解：（1）由已知可得C=l,且C的另一焦点坐标为（1,0）,设为月,

所以有2a=|“n+阿4|="亚+1『+：+J(0—1『+：=4,

22

所以1=2,所以从="—/=3,所以。的方程为二+匕=1.

43

(2)设/：x=ty+m,代入C整理可得：(4+3〃)y2+6加0+3根2-12=0,

2

、门门/、7\6mt~3m-12

设尸（石方），。（%2，%），则%+%=—耳—①，%%=3/+4②

由NPR4+N0BA=万，可得凝尸+即0=0=1^+^^=0,

石一〃x2-n

^yl(ty2+m-n)+y2(tyl+m-n)=0^2tyly2+(m-n)(y1+y2)=0@,

2t[3m-1216mt(m—n],、

由①②③可得：—------L----------^=0,=＞《7+加力=0恒成立,

3户+43产+4,)

所以〃功=4,为定值.

21.解：⑴补全整2x2列联表如下：

11青少年中老年合计

食用轻食频率低|12595220

8

食用轻食频率高75105180

合计200200400

所以,2=400x(125x105-75x95)；909]>6.635,

200x200x220x180

所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关

（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中,年龄在［25,38）,［51,64］内的人数分别为1,2,

依题意，f的所有可能取值分别为为0,1,2,

c3c'c1

所以pq=o)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)=^+-^=M

88

C21

p(^=i)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=o)+p(x=i,y=2)=-^+-f+-?=-,

C15

p(^=2)=Jp(x=o,r=2)=^=-

所以f的分布列为:

012

20315

P

565656

型+卫+41

所以f的数学期望为石（4=0Xlx2x9

56565656

（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件人B,C,晚餐选择低卡甜品为

事件D,

则P（A）=g，P（B）=g，P（C）=j。（必A）=g,P