四川省凉山州民族中2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

绝密★启用前2023-2024学年度高二数学4月月考试题考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足，则其共轭复数（）A.B.C.D.3.等比数列的各项均为正数，且，则（）A.12B.10C.5D.4.已知，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.5.若，则（）A.B.C.D.6.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A.B.C.D.7.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.如图，长方体中，为的中点，过作长方体的截面交棱于，下列正确的是（）①截面可能为六边形②存在点，使得截面③若截面为平行四边形，则④当与重合时，截面面积为A.①②B.③④C.①③D.②④二､多选题（每小题5分，共20分，少选3分，错选0分，全对5分）9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.10.下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（）A.B.C.D.11.函数的图象可能是（）A.B.C.D.12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A.B.C.D.三､填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数，则的最大值为__________；曲线在处的切线方程为__________.14.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为__________.15.若函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.16.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.在中，内角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18.2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）计算的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；（2）拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率.19.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20.已知椭圆的长轴为，短轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，且，求直线的方程.21.在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.（1）求点到直线的距离；（2）求证：面.22.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：1.B【分析】求出集合，对整数的取值进行讨论，可求得集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，对于，当时，，当时，，当时，，当时，，综上所述，，因此，.故选：B.2.B【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.3.B【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，所以，即，则记，则，两式相加得，所以即.故选：B.4.C【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可.【详解】因为向量在向量上的投影向量为：，故选：C.5.C【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由可得，故，故选：C6.B【分析】利用导数的几何意义，结合函数的图象，即可判断选项.【详解】由函数的图象可知：当时，单调递增，且增速变缓慢，，表示直线的斜率，根据导数的几何意义可知，，故选：B7.D【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D8.B【分析】利用点的位置不同得到的截面的形状判断选项，利用线面垂直的判定定理分析选项，利用平面几何知识求相应的量结合梯形的面积公式求得截面的面积，从而可判断选项D.【详解】长方体中，过作长方体的截面交棱于，设为的中点，根据点的位置的变化分析可得，当时，截面为平行四边形，当时，截面为五边形，当，即点与点重合时，截面为梯形，故①错误，③正确；设截面，因为所以，又平面，且平面，所以，又，所以平面，所以只能与重合才能使，因为显然不垂直平面，故此时不成立，故②错误；因为当与重合时，截面为梯形，如图（2）所示，过作垂直于于点，设梯形的高为，则由平面几何知识可得，解得，所以截面的面积为，故④正确.故选：B.9.BC【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选：BC10.AB【分析】选项，根据幂函数的性质得到正确；选项，不满足奇偶性；选项，不满足单调性.【详解】选项，为奇函数且在上单调递增，满足要求，正确；B选项，的定义域为，且，故为奇函数，又，故在单调递增，B正确；选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，错误；选项，，故当时，单调递减，错误.故选：AB11.ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，当时，，函数在上单调递增，故B正确；当时，，所以在上单调递增，故D正确；当时，当时，；当时，；故A正确；C错误.故选：ABD.12.ABC【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.【详解】对于，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选：ABC13.；【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，即可求得答案；根据导数的几何意义即可求得曲线在处的切线方程.【详解】由可得，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故；由故曲线在处的切线方程为，即，故答案为：14.1【分析】求出函数的导函数，令，再利用导数说明函数的单调性，由，即可得到方程的解，从而得解.【详解】因为，所以，设函数，则，所以在定义域上单调递增，因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为1.故答案为：115.【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即，所以，故答案为：.16.【分析】根据题意，构造函数，分与讨论，然后转化为恒成立，代入计算，即可得到结果.【详解】构造函数，其定义域为，则，当时，单调递增，不可能恒成立；当时，令，得或（舍去）.当时，；当时，，故在上有最大值，由题意知恒成立，即，令，则在上单调递减，且，故成立的充要条件是.故答案为：17.（1）（2）【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1），且，所以；（2）根据正弦定理，，所以或当时，，此时，不成立，当时，此时，则，的面积.18.（1）（2）0.3【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，进而得到估计该校同学通关时间低于钟的概率；（2）根据题意得到通关时间位于区间和的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，所以，由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为0.1.（2）解：样本中同学通关时间位于区间的有人，即为，通关时间位于区间的有：（位），即为，从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别为，，所抽取2人的通关时间均位于区间的结果有3种，即，故此2人的通关时间均位于区间的概率为.19.（1）（2）【分析】（1）根据作差即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）数列的前项和为，当时，当时，所以，又当时，也成立，数列的通项公式为.（2）由（1）可得，设数列的前项和为，则.20.（1）（2）【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得的值，则直线的方程可求.【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，则椭圆的标准方程为：；（2）依题意，解得，因为，可得，且，因为，解得，所以直线的方程为.21.（1）（2）证明见解析【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直.【详解】（1）如图，以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，正四棱柱为中点，则点到直线的距离为：.（2）由（1）可得，则，由可得，又由可得，又，故面.22.（1）答案见解析（2）【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；（2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可.【详解】（1）的定义域为，当时，恒成立，所以的单调递减区间为，当时，令，则，所以的单调