2023年中考数学复习 锐角三角函数压轴真题训练（解析版）

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编

专题02锐角三角函数压轴真题训练

一.解直角三角形的应用-方向角问题

1.（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形A3DE是沿湖泊修

建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A

的正北方向.点8,。在点C的正北方向，30=100米.点3在点A的北偏

东30°,点。在点E的北偏东45°.

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点3到达

点D,也可以经过点E到达点D请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据：72^1.414,在=1.732）

由已知可得四边形ACDF是矩形,

.,.DR=AC=200米，

•..点。在点E的北偏东45°,即NDEE=45°,

...△DER是等腰直角三角形，

DE=42DF=200V2^283(米)；

(2)由(1)知△DER是等腰直角三角形，DE=283米，

.,5=。/=200米，

•点5在点A的北偏东30°,即NE4B=30°,

AZABC=3Q°,

VAC=200米，

A6=2AC=400米，BC=A/AB2-AC2=200a米，

,.•8。=100米，

经过点B到达点D路程为45+50=400+100=500米，

CD=BC+BD=(200V3+100)米，

：.AF=CD=(200V3+100)米，

：.AE=AF-EF=(200V3+100)-200=(20073-100)米，

•••经过点E到达点D路程为AE+DE=200V3-100+200529米，

V529>500,

经过点5到达点。较近.

2.(2022•资阳)小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道

A3进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北

偏东15°方向上，他沿西北方向前进100«米后到达点。，此时测得点A在

他的东北方向上，端点3在他的北偏西60°方向上，(点A、B、C、。在同

一平面内)

(1)求点。与点A的距离；

(2)求隧道A3的长度.(结果保留根号)

【解答】解；（1）由题意可知：ZAC£>=15°+45°=60°,ZADC=180°

-45°-45°=90°,

在RtAADC中，

.**AD=DCXtanZACD=100/3Xtan60°=10073xV3=300（米），

答：点。与点A的距离为300米.

（2）过点。作DELA3于点E,

北

•..AB是东西走向,

ZADE=45°,ZBDE=60°,

在RtAADE中，

•,-DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin450=300>^y-=150V2（米），

在RtABDE中,

BE=DEXtanZBDE=15072Xtan600=15072xVs=15oV6（米），

•••AB=AE+BE=（150V2+150V6）（米），

答：隧道AB的长为（150/^+150%）米.

3.（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航

行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，

这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到3处后，又

沿着南偏东70。方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到3航行的距离

（结果精确到0。海里.参考数据：sin50°-0.766,cos50°-0.643,tan50°

^1.192）.

【解答】解：过5作于D,

由题意可知NABE=30°,NA4c=30°,则NC=180°-30°-30°-70°

=50°,

在RtZ^BCD中，ZC=50°,BC=20（海里），

：.BD=BCsin50°^20X0.766=15.32（海里），

在RtZiAB。中，ZBAD=30°,50=15.32（海里）,

.•.AB=2BD=30.64心30.6（海里），

答：货轮从A到3航行的距离约为30.6海里.

二.解直角三角形的应用-仰角俯角问题

4.（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.如图所示，塔楼剖面和

台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角NGAE

=50.2°,台阶A3长26米，台阶坡面A3的坡度7=5：12,然后在点3处

测得塔楼顶端点E的仰角NE3R=63.4°,则塔顶到地面的高度所约为多少

米.

(参考数据：tan50.2°心1.20,tan63.4°心2.00,sin50.2°弋0.77,sin63.4°

=0.89)

【解答】解：如图，延长交AG于点H,则EHLAG,作3PLAG于点P,

则四边形是矩形，

由7=5：12,可以假设BP=5x,AP=12x,

":PB2+B\2=AB2,

(5x)2+(12x)2=262,

，x=2或-2(舍去)，

：.PB=FH=IO,AP=24,

设米，BF=b米,

,：tanZEBF=^_,

BF

...22,

b

.,.a〜2匕①，

VtanZEA^M=EF+HF=EF+BP,

AHAP+PHAP+BF

.•.a+l°=i.2②,

24+b

由①②得。心47,。心23.5,

答：塔顶到地面的高度ER约为47米.

5.（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量.如图，

在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°,沿山坡向上走20m到达

D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°.已知山坡坡度1=3：4,即tan6=2,

4

请你帮助该小组计算建筑物的高度AB.

（结果精确到0」如参考数据：73^1.732）

【解答】解：过点。作垂足为E,过点。作垂足为R

EC4

设DE=3x米，贝ljCE=4x米，

,:DE2+CE2=DC2,

：.(3x)2+(4x)2=400,

，x=4或尤=-4(舍去)，

.,.DE=AF=12米，CE=16米,

设米，

：.AB=BF+AF=(12+y)米，

在RtZXDBR中，ZBDF=30°,

:,DF=—―。=丁_=y>（米），

tan30°V3

3

.'.AE=DF=<\[3y米，

：.AC=AE-CE=（V3v-16）米，

在RtZWC中，ZACB^60°,

tan60°-AB_12+y_=«,

ACV3y-16

解得：y=6+8在，

经检验：y=6+8次是原方程的根，

AAB=BF+AF=18+873%31.9（米），

建筑物的高度AB约为31.9米.

6.（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量

居民楼的高度A3,在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m,斜坡的倾斜角

为a,cosa小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°,在。点处测得

5

楼顶端A的仰角为30°（点A,B,C,。在同一平面内）.

（1）求C,。两点的高度差；

（2）求居民楼的高度A3.

（结果精确到1根，参考数据：1.7）

A

【解答】解：（1）过点。作DEL5C,交的延长线于点E,

BE

•.•在RtZVDCE中，cosa=A,CD=15m,

5

•*-CE=CD-cosQ=15XA(m).

5=12

DE=VCD2-CE2=V152-122=9(m)•

答：C,。两点的高度差为9m.

(2)过点。作DR，A3于凡

由题意可得3尸=£>E,DF=BE,

^AF=xm,

在RtZiA。/中，tanNADP=tan30°="上"1,

DFDF3

解得DF=MX,

在RtZ\ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE

=(V3x-12)m,

tan60°=jjl=/+9_=«,

BCV3x-12

解得x=6V3号，

经检验，*=函号是原方程的解且符合题意，

：.AB=673+—+9^24(m).

2

答：居民楼的高度A3约为24%

7.(2022•襄阳)位于睨山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念

“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的

解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士

塔的高度.无人机在点A处测得烈士塔顶部点3的仰角为45°,烈士塔底部

点C的俯角为61°,无人机与烈士塔的水平距离AD为10m,求烈士塔的高

度.(结果保留整数.参考数据：sin61°^0.87,cos61°心0.48,tan61°a

1.80)

☆

革

D命

烈

士

纪

念

碑

【解答】解：由题意得，ZBAD=45°,ND4c=61°,

在中，NBAD=45°,AD=10m,

.\BD=AD=lQm,

在Rt2\AC£>中，ND4c=61。,

tan61°=型0PL80,

AD10

解得CD-18,

.".BC=SD+CD=10+18=28（m）.

・••烈士塔的高度约为28m.

8.（2022•鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船

返回舱成功着陆.为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8机的励

志条幅（即GR=8机）.小亮同学想知道条幅的底端R到地面的距离，他的

测量过程如下：如图，首先他站在楼前点5处，在点3正上方点A处测得条

幅顶端G的仰角为37°,然后向教学楼条幅方向前行12m到达点。处（楼

底部点E与点3,。在一条直线上），在点。正上方点C处测得条幅底端歹

的仰角为45°,若AB,CD均为1.65机（即四边形A3DC为矩形），请你帮

助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度.（结果精确到0.1m.参考

数据：sin37°心0.60,cos37°弋0.80,tan37°^0.75）

G

由题意得：

A3=CD=HE=L65米，AC=3D=12米，ZAHG=90°,

设CH=x米，

：.AH=AC+CH=(12+x)米，

在中，ZFCH=45°,

：.FH=CHnan45°=龙(米),

：GE=8米，

:.GH=GF+FH=(8+x)米，

在RtZXAHG中，NG4H=37。，

.*.tan37o=31=上电心0.75,

AH12+x

解得：x=4,

经检验：x=4是原方程的根，

:.FE=FH+HE=5.65~5.7(米)，

•••条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米.

三.解直角三角形的应用-坡度坡角问题

9.（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m,背水坡BC的

坡度为h=l：1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，

设计人员准备把背水坡的坡度改为，2=1：愿，求背水坡新起点A与原起点3

之间的距离.

（参考数据：72^1.41,73^1.73.结果精确到0.1M

【解答】解：在RtZXBCD中，

•.•BC的坡度为ii=l：1,

.•@=1,

BD

.,.CD=BD=20米，

在RtAACD中，

：AC的坡度为，2=1：如,

•••CD--1=r-9

ADV3

：.AD=MCD=20如（米），

：.AB=AD-BD=2043~20«^14.6（米），

•••背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米.

10.（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱A3,其旁边有一个坡

面CQ，坡角NQCN=30°.在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为

120cm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60cm

的木杆的影长为9（）52（其影子完全落在地面上）.求立柱A5的高度.

A

【解答】解：延长AD交BN于点E,过点D作DFLBN于点F,

在RtaCDR中，ZCFD=9Q°,ZDCF=3Q°,

则。R=[C£)=90(cm),CF=CD*cosZDCF=180XXl=90V3(cm),

22

由题意得：DF=60,即典=皎，

EF90EF90

解得:E产=135,

:.BE=BC+CF+EF=(255+90我)cm,

则___蛆___=60,

255+90近90

解得：AB=170+6073，

答：立柱A3的高度为（170+60我）cm.

四.解直角三角形的应用（共2小题）

11.（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，

使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔A3垂直于桥面于点3,其中两条

斜拉索AD、AC与桥面3c的夹角分别为60°和45°,两固定点。、C之间

的距离约为33处求主塔A3的高度（结果保留整数，参考数据：&-L41,

73^1.73）

【解答】解：在RtZXADB中，ZADB=60°,tanZADB=^,,

BD

BD=~-=也，

tan600V3

在RtZXABC中，NC=45°,tan/C=胆，

BC

：.BC=-—=AB,

tan450

■:BC-BD=CD=33m,

：.AB-蚂=33,

V3_

.,.48=99+33近~78（m）.

2

答：主塔A3的高约为78m.

12.（2022•六盘水）“