华师一附中2024届高三数学独立作业7 试卷带答案

华师一附中2024届高三数学独立作业（7）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(-a)=，则cos(2a+)=()A-BCD-2.已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的函数解析式可能为()A.f(x)=xsinπxB.f(x)=(x-1)sinπx3.函数y=sin(x+Ψ)是偶函数的一个必要不充分条件是()4.已知2(cosa-sina)sin(θ-a)=sinθ+cosθ,则tan(2a-θ)=A.-1B.1C.-2D.25.已知正数x,y满足ylnx+ylny=ex，则xy-2x的最小值为()A．ln2B．2-2ln2C．-ln2D．2+2ln27..已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0，当xE(0,1]时，f(x)=-log2x，若函数F(x)=f(x)-sinπx在区间[-1,m]上有10个零点，则实数m的取值范围是()A.8.已知函数f(x)，若在f(x)图像上存在点p，使得点p到坐标原点的距离d<1，则称函数f(x)为“向心函数”.下列四个选项中，是“向心函数”的有()A.f(x)=x+14xB.f(x)=5x+4C.f(x)=cosxD.f(x)=ex1+2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟1.5圈筒车的轴心。距离水面的高度为2.2，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为d（单位：m在水面下则d为负数若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：s）之间的关系为.则下列结论正确的是A.B.C.D.10.函数f(x)=asinx+bcosx,(ab子0)的图像关于x=对称，且f(x0)=a，则()11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin山t,我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+sin2x，则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于点(π,0)对称B.f(x)在0，上是增函数C.f(x)的最大值为323D.若f(x).f(x)=一，则x1一x2min=2A.函数f(x)在一，0上单调递增B.函数f(x)在[一π,0]上有两个零点]恒有f(x)2k>0，则整数k的最大值为3D.若0<x<1，则有f(x)<e-lnx三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知角a的终边经过点(3,4)，将角a的终边绕原点O顺时针旋转得到角β的终边，则tanβ=。14.设计一段宽的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为45（如图），公路外沿长为40π,则这段公路的占地面积为=。tan2θ15.已知θE则当tan2θ则3a2-c2=，ΔABC的面积最大值为=。四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知2sina=2sin2-1，（1）求sinacosa+cos2a的值；（2）若aE(0,π)，βE(0,)，求2a+β的值.（3)（3)2（3)（3)2（2）若xE0,，求f(x)的单调递增区间.19.（本小题满分12分）在ΔABC中，AB=3,AC=2,D为边BC上一点，且AD平分,（2）若ZADC=60。,设ZBAD=θ,求tanθ.20（本小题满分12分）记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2acosAcosB-bcos2A(A<B)（2）若D是BC上的一点，且BD:DC=1:2,AD=2，求a的最小值21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=xex-ex+a(aeR)，且f(x)>0.（2）已知neN*,证明：22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=a-x2+lnx,g(x)=f(x)-2ax(aeR)（i）求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(ⅱ)求f(x)的单调区间及在区间,e上的最值；华师一附中2024届高三数学独立作业（7)参考答案：【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算可得.=-cos2a-【分析】利用排除法，结合函数图及性质可得出答案.【详解】解：对于A，f(-x)=-xsin(-πx)=xsinπx=f(x)，所以函数f(x)=xsinπx为偶函数，故排除A；对于C，f(x)=xcos[π(x+1)]=-x则f(-x)=xcosπx=-f(x)，所以函数f(x)=xcos[π(x+1)]为奇函数，故排除C.【分析】根据三角函数的奇偶性的性质进行求解即可.【详解】由三角函数的性质可知若y=sin(x+Ψ)的图象关于y轴，故函数y=sin(x+Ψ)的图象关于y轴对称的充分必要条件是Ψ=kπk=Z，答案第2页，共16页f(x)=f(x)=【分析】运用同构函数g(x)=xex,(x>0)研究其单调性可得xy=ex，将求xy一2x的最小值转化为求f(x)=ex2x,(x>0)上的最小值，运用导数研究f(x)的最小值即可.xx，所以xy2x=ex2x，所以f(x)=ex2x在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+构)上单调递增，所以即xy2x的最小值为22ln2.故答案为：22ln2.【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如aea<blnb可以同构成aea<(lnb)elnb，进而构造函数f(x)=xex；②比商型，如<可以同构成<，进而构造函数xlnxf(x)=x士lnx.【解析】根据条件，易得函数f(x)是关于(1,0)对称，以2为周期的奇函数，再根据xe(0,1]时，f(x)=log2，在同一坐标系中作出函数y=f(x)，y=sin(πx)的图象，利用数形结合法求解.所以f(2一x)=f(x)，即函数f(x)是关于(1,0)对称，以2为周期的奇函数，答案第3页，共16页在同一坐标系中作出函数y=f(x)，y=sin(πx)的图象如图所示：因为函数F(x)=f(x)-sin(πx)在区间[-1,m]上有且仅有10个零点，所以函数y=f(x)，y=sin(πx)在区间[-1,m]上有且仅有10个交点，故答案为A【点睛】方法点睛：函数零点求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则构造两个函数，将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【分析】设P(x,f(x))，结合选项中函数解析式，即可表示出|PO|2的表达式，结合不等式知识可判断A、B；利用构造函数，求出导数判断函数单调性，即可判断|PO|2与1的大小【详解】对于A，设P(x,f(x))，则|PO|2=x2+f2(x)=x2+x+2当且仅当2x2=，即x4=时，上述等号成立，所以POmin>22当x=-时，等号成立，所以|PO|min在f(x)图象上存在点P，使得点P到坐标原点的距离d=1，符合题意，即B正确；此时在f(x)图象上不存在点P，使得点P到坐标原点的距离d<1；当xe[-1,1]时，令D(x)=x2+2cos2x，则D,(x)=2x-4sinxcosx=2x-2sin2x，设G(x)=2x-2sin2x，则G,(x)=2-4cos2x，当xe[-1,1]时，cos2xe(,1]，故G,(x)=2-4cos2x<0，故G(x)=2x-2sin2x在[-1,1]上单调递减，而G(0)=0，所以xe[-1,0)时，G(x)>0，即D,(x)>0，D(x)在[-1,0)上单调递增，xe(0,1]时，G(x)<0，即D,(x)<0，D(x)在(0,1]上单调递减，故D(x)在x=0时取到最大值D(0)=2，综合上述在f(x)图象上不存在点P，使得点P到坐标原点的距离d<1，C错误；22，若x若x>-1，设h(x)=ex-x-1，则h,(x)=ex-1，当-1<x<0时，h,(x)<0，h222综合上述在f(x)图象上不存在点P，使得点P到坐标原点的距离d<1，即D错误，【点睛】难点点睛：解答本题时要根据“向心函数”的定义去判断各选项中函数是否满足定义中的条件，难点是判断选项C、D时，要构造函数，结合导数知识判断函数单调性，继而判断点P到坐标原点的距离和1的大小关系.答案第4页，共16页答案第5页，共16页【分析】根据实际含义分别求A,山,b的值即可，再根据t=0,d=0可求得sinΨ.:0=3sinΨ+2.2:故选：AC.【分析】根据辅助角公式化简f(x)，然后根据其图像关于x=对称，可得a,b之间的关系，从而得到sinx0+=，然后对选项逐一判断，即可得到结果.因为函数f(x)的图像关于x=对称， 化简得b=a，故A正确.则f(x0)=asinx0+bsinx0=2asinx0+=a4 02答案第6页，共16页=cos2x0故D正确.故选:ABD.【分析】根据三角函数的对称性、单调性、最值、周期等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.f(x)，所以f(x)的图象关于点(π,0)对称，A选项正确. 所以在区间2kπ一,2kπ+,kEZ上f,(x)>0,f(x)单调递增，在区间2kπ+,2kπ+,kEZ上f,(x)<0,f(x)单调递减，sin2x，结合f(x)的单调性可知f(x)的最小正周期为2π,所以当x=2kπ+,kEZ时，f(x)取得最大值为： 当x=2kπ,kEZ时，f(x)取得最小值为： 答案第7页，共16页-π<x<所以x1-x2min=--=，D选项正确-π<x<故选：AD【分析】A选项，求导得到-<x<0时，f,(x)>0，得到f(x)在-,0上单调递增；B选项，二次求导，得到f,(x)在[-π,-]上单调递增，结合隐零点得到f(x)在[-π,x0]上单调递减，在[x0,-x)在[-π,0]上有两个零点；C选项，转化为2k<f(x)，由选项B知，f(x)min=f(x0)，由f,(x0)=0得：ex00π2,求导得到其单调性，得到h(x)>h-=-2-<-1-，求出整数k的最大值；D选项，构造函数得到0<x<1，得到其单调性，求出Ψ(x)<【详解】函数f(x)=ex-(x-1).cos-x=ex-(x-1).sinx，求导得f,(x)=ex-sinx-(x-1)cosx，故函数f(x)在[-,0]上单调递增，A正确；函数f,(x)在[-π,-]上单调递增，f,-=e-+1>0，则二x0E-π,-使得f,(x0)=0，当-π<x<x0时，f,(x)<0，当x0时，f,(x)>0，因此f(x)在[-π,x0]上单调递减，在[x0,-]上单调递增，由选项A知，f(x)在[x0,0]上递增，答案第8页，共16页π使得f(x1)=f(x2)=0，因此函数f(x)在[一π,0]上对于C，对vxE[一π,0]恒有f(x)一2k之0，故2k<f(x)，由002故选：ABD【点睛】隐零点的处理思路：答案第9页，共16页第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.13．-/-0.75【分析】先由三角函数的定义求得sina,cosa，再利用诱导公式求得sinβ,cosβ,进而求得tanβ.【详解】因为角a的终边经过点(3,4)，332+42y y r4 ,cosa=5又因为角a的终边绕原点O顺时针旋转=a-，所以sinβ=sina-=-cosa=-,cosβ=cosa-=sina=，故tanβ==-4=-.5故答案为：-.【分析】先根据题意计算出外沿、内沿的半径，根据外沿弧长计算出圆心角，再利用大扇形的面积减去小扇形的面积，求得公路占地面积.【详解】公路外沿半径R1=60m，公路内沿半径R2=30m，大扇形小扇形S-S=大扇形小扇形故填：900πm23322(m2)【点睛】本小题主要考查扇形圆心角的计算，考查扇形面积计算，考查实际生活的数学应用问题，属于基础题.15.略【分析】变形得到sinC=3sin(A-B)，结合sin(A+B)=sinC得到sinAcosB=2cosAsinB，由正弦定理和余弦定理得到3a2一c2=3b2=12，由余弦定理和同角三角函数平方关系得到 sinA=1，表达出三角形面积，利用基本不等式求出最值.则sinC=3sin(AB)，即sinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB一3cosAsinB，故sinAcosB=2cosAsinB，由正弦定理得acosB=2bcosA，则a22b2222c1一,则S222=12，面积最大值为3.【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.(2)【分析】（1）先根据降幂公式得tana=一，再对原式构造齐次式结合tana=一即可求解.（2）先求出tan(2a+β)=tan(a+a+β)=一1，再根据角的范围即可确定2a+β的值.所以sinacosa+cos2a=sinacsin2a同理<a+β<π,:所以2a+β=.(2)略:4<2a+β<2π【分析】（1）根据三角恒等变化公式化简可得f(x)=2sin2x+，从而得到值域； (2)tanθ=可以求出CD=，接下来结合余弦定理即可求出AD.（2）由已知条件可知，S因为AD平分ZBAC，所以 2AB 2ABAC.AC.AD.sinZCADAC，又因为D在BC上，所以.3333因为AD平分ZBAC，ZDAC=ZBAD=θ,又ZADC=60。，展开并整理得c