2014-2023年高考数学真题分享汇编：不等式（理科）（解析版）（全国通用）

十年(2014—2023)年高考真题分项汇编一不等式

目录

题型一：不等式的性质及其应用........................................1

题型二：解不等式...................................................4

题型三：基本不等式.................................................5

题型四：简单的线性规划问题..........................................7

题型五：不等式的综合问题........34

题型一：不等式的性质及其应用

一、选择题

02

1.(2019•天津•理•第6题)已知a=logs2,b=log050.2,c=O.5-,则的大小关系为

A.a<c<bB.a<b<cC.h<c<aD.c<a<b

【答案】A

,-1

解析：a=log52<log55/5=p..ab=log050.2=log2T5=log,5>log24=2,即6>2,

c=0.5°2=Qj=¥，...所以a<c<b.

2.（2019•全国I•理•第3题）已知a=log2（）.2,b=202,c=0.203,贝U（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】答案：B

0203

解析：a=log20.2<log21=0,b=2>2°=l,c=O.2<0.2°=1,.-.ce（0,l）,故a<c<b.

3.（2014高考数学四川理科•第4题）若a>b>0,c<d<0,则一定有（）

ab«、abab,、ab

AA.—>—B.-<—C.—>—I）.—<一

cdcddcdc

【答案】I）

解析：由c<d<0n—!>一1>0,又a〉b〉0,由不等式性质知：-巴所以

dcdede

4.（2018年高考数学课标m卷（理）•第12题）设。=logo2（）.3,6=log20.3,则

（）

A.a+b<ab<0B.ab<a^b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

解析：一方面a=logo20.3e(0,l),Z)=log20.3e(-2,-1),所以ab<0

1=10§-0-2'1=10^2>所以*=log02x2)=%0.4e(0,l)

所以0<‘+!<1即。<竺2<1，而。6<0,所以。+6<0,所以巴幼<1na+b>ab

ababab

综上可知Q6<Q+6<0,故选B.

5.(2014高考数学湖南理科•第8题)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为0,第二年的

增长率为小则该市这两年生产总值的年平均增长率为()

A.皆B.(P+*；+l)TC.厢D.必+%+1)-1

【答案】D一

解析：设两年的平均增长率为x,则..有(1+Jr)?=(1+p)(l+q)nx=J(l+/)(l+q)-1,故选I).

6.(2017年高考数学山东理科•第7题)若。>6>0,且必=1,则下列不等式成立的是

()

a+：</<log2(a+b)B.福<log2(a+b)<a+g

A.

a+1<log(a+6)<^D.Iog2(a+b)<a+：<卷

C.2

【答案】B

【解析】a>\,0<b<l,log2(«+Z>)>log22y[ab=1,

T

11

2h>a+—>a+b=>a+—>log^(a+b)，所以选B.

bb

二、填空题

1.(2017年高考数学北京理科•第13题)能够说明“设”C是任意实数.若a〉b〉c,则a+6>c”是

假命题的一组整数a,b,c的值依次为

【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)

【解析】—1〉—2〉—3,-1+(—2)=-3>-3出现矛盾,所以验证是假命题.

三、多选题

1.(2020年新高考全国I卷(山东)•第11题)己知a>0,b>0,且a+b=l,贝U()

A.a2+b2>-B.2a-h>-

22

C.log2a+log2b>-2D.>Ja+4b<42

【答案】ABD

解析•：对于A,/+/=/+（]_4）2=2/_2a+i=2（a—g）+|>1.

当且仅当a=b=，时，等号成立，故A正确；

2

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2T=L,故B正确；

2

1_、

对于C,log2a+log2h=log2ah<log2-I°g2~，

当且仅当a=b=L时，等号成立，故C不正确;

2

对于D,因为(G+JF)=1+2y[ah<1++A=2,

所以五+正4行，当且仅当a=b=g时，等号成立，故D正确；故选：ABD

2.（2020年新高考全国卷II数学（海南）•第12题）已知a>0,b>0,且a+b=l,则

（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

D.-\[u+,\[bWV2

C.log2a+log2b>-2

【答案】ABD

解析：对于A,/+〃=/+([_4)2+|>1,

当且仅当a=b=L时，等号成立，故A正确;

2

对于B,a-h=2a-l>-\,所以2"“〉2一|=’，故B正确；

2

对于C,log,a+log2b=log2ab<log2f=log2；=-2，

当且仅当a=b=L时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为（五+JF）=1+2\[ab<1++A=2,

所以五+班《血，“1且仅当a=b=g时，等号成立，故D正确；故选：ABD

题型二：解不等式

一、选择题

1.（2015高考数学北京理科•第7题）如图，函数/（x）的图象为折线ACB,则不等式〃x）2log2（x+l）

的解集是（）

A.{x|-l<xW0}B.{X|-1WXW1}

C.{x|-l<xWl}D.{x|-l<xW2}

【答案】C

解析：如图所示，把函数y=log2x的图象向左平移一个单位得到歹=log,（x+l）的图象x=1时两图象相

交,不等式的解为7<xWl,用集合表示解集，故选C.

二、填空题

1.（2015高考数学江苏文理•第7题）不等式<4的解集为.

【答案】（-1,2）.

解析：由题意得：X2-X<2=>-1<X<2,解集为（T，2）.

2.（2017年高考数学上海（文理科）•第7题）不等式土」>1的解集为—

X

【答案】（-00,0）

【解析】l-，>l=L<onx<o,解集为（_QO,O）.

xx

题型三：基本不等式

一、填空题

1.（2021高考天津•第13题）若。>0,6>0,则4+提+人的最小值为

【答案】2及

解析：•••a>0,6>0,

当且仅当J哈且沁，即“=b=亚时等号成立，所以：+»的最小值为2万

故答案为：2夜.

11O

2.（2020天津高考•第14题）已知。>0,b>0,且必=1,则丁+77+一1的最小值为—

2a2ba+b

【答案】4

【解析】Va>0,6>0,.,.（/+/>>0,ab=1,---1----1---------1----1-----

2a2ba+b2a2ha+b

=安+±2”x士=4,当且仅当a+6=4时取等号，

2a+bV2a+h

结合而=1,解得a=2-石力=2+百，或a=2+/b=2-万时，等号成立.

故答案为：4

3.（2020江苏高考•第12题）已知5寸/+/=]&,"/?）,则f+丁的最小值是—

【答案】|4

1_4

【解析】5xR+y1=1,二k0且X，=u；

5y

年+—+为2.14y2?当且仅当9=5即八QW时取等号.

5/~

.•.°7+y。2的最小值为4故答案为：]4

(x+l)(2y+l)

4.（2019•天津•理•第13题）设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值

为___________

【答案】4G

解析：5=x+2y22,2孙,/.Jxy<,=-5--7-2--，

2<24

(x+1犍+1)=》+2)，了町+1="竺=二+2而22疝=46,当且仅当日=G即

<xyyjxyy/xyg

」=3或13时等号成立，因为3〈竺，所以G<曰=,故a+1)四十°的最小值'为4G.

,y=1y=-82。2yjxy

1y

5.(2019•上海•第7题)若X、y£7?+,且一+2y=3,则式的最大值为.

XX

法二：由'=3—2y,2=(3-2y)j=-2/+3y(0<y<3),求二次最值(上)

XX2㈠人8

4

6.(2019•江苏•第10题)在平面直角坐标系x°y中，P是曲线y=x+—(x>0)上一动点，则点尸到直线

x+y=0的距离最小值是.

【答案】4

|x+x+-|2x+-2J2X-

【解析】法1：由已知，可设尸(x,x+3),x>0,所以L'YLX=4.

xV2V2V2

当且仅当2x=±,即x=0时取等号，故点尸到直线的距离的最小值为4.

X

法2：距离最小时，^'=1-4=-1-则彳=行，所以尸(五,3夜),所以最小值为4.

x-

7.(2018年高考数学江苏卷•第13题)在△/BC中，角4民C所对的边分别为a,6,c,ZJSC=120°,ZABC

的平分线交ZC于点D,且80=1,则4a+c的最小值为.

【答案】9

解析：由题意可知，SMBC=SMBD+S^CD，由角平分线性质和三角形面积公式得，

—acsin120=—ax1xsin60(+—cx1xsin60"，化简得〃c=〃+c,—+-=1,因此

222ac

4a+c=(4a+c)d+1)=5+£+虫25+2口^^=9,当且仅当c=2a=3时取等号，所以4a+c的最小值

acac\ac

为9.

8.(2018年高考数学天津(理)•第13题)已知a,beR,且a-36+6=0,则2"+《的最小值

8

为.

【答案】-

4

解析：由。一36+6=0,得a=3b—6,所以2"+4=23+2』》2代小.*=2乂27=1,

8〃4

当且仅当弘一6=-36,即b=—l,a=—3时等号成立，故2〃+4的最小值为

麒4

9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，

要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则》=一吨.

【答案】20

解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买X吨，则需要购买些次，运费为4万元/次，一年

X

的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为理-4+4x万兀，丝2.4+4x2160,

XX

当妈=4x即x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。

X

10.（2014高考数学上海理科•第5题）若实数x/满足孙=1,则X2+2v的最小值为.

【答案】2&

解析：x2+2y2>2&⑹=20

题型四：简单的线性规划问题

一、选择题

x+l>0

x-y40,则2=》-1的最小值是

1.（2021年高考浙江卷•第5题）若实数x,y满足约束条件

2x+3y-1<0

)

B

A.—2-4C.~2D-

【答案】B

x+l>0

解析:画出满足约束条件x-y<0的可行域，如下图所示:

2x+3y-i<0

1\x=-1\x=-1

目标函数2=》一大》化为y=2x—2z,由八，解得।,设4-覃），当直线歹=2x—2z过A

2[2x+3y-\=0。=1

13

点时，2=X-5丁取得最小值为-5，故选民

x—3y+1<0

2.（2020年浙江省高考数学试卷•第3题）若实数x,y满足约束条件《“、，、，则好2x+y的取值

x+y-3>0

范围是（）

A.（-℃,4]B.[4,+oo）C.[5,+oo）D.（-oo,+oo）

【答案】B

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：｛"、c，可得点力的坐标为：/（2,1）,

x+y-3=0

据此可知目标函数的最小值为：Zmin=2+2xl=4

且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[4,+8）.故选：B.

x-2>0,

3.（2022年浙江省高考数学试题•第3题）若实数x,y满足约束条件<2x+y-740,则z=3x+4y的最大

x--2<0,

值是（）

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

解析:不等式组对应的可行域如图所示:

由工x=工27n可得\x=2V故4/2,3、，

2x+y-/-0[y-J

故Zmax=3x2+4x3=18,故选,B.

x-3y+420,

4.(2019•浙江•第3题)若实数x,N满足约束条件Tx-y-dWO,则z=3x+2y的最大值是

.x+y20,

()

A.-1B.1C.10D.12

【答案】C

【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中4(2,2).由z=3x+2y得y=-|x+gz，当直线

x+y-2<0,

、.-一x-y+20,

5.(2019•天津•理•第2题)设变量满足约束条件《1则目标函数z=-4%+歹的最大值

y2—1,

为()

A.2B.3C.5D.6

【答案】答案：C

解析：作可行域为如图所示的四边形Z68,其中4(—1,1),5(-1,-1),C(3,-l),Z>(0,2)，

所以Zmax=Z/=5.

,y满足且y2-l,则3x+y的最大值为

)

A.-7B.1C.5D.7

【答案】C

—1Wy

【解析】由题意可得《/।，作出可行域如图阴影部分所示.

y-l<x<1-y

设z=3x+y,则丁=2-3》，故当宜.线y=z-3x经过点(2,-1)时，z取得最大值5,故选C.

x+yW5

2x-y^4

7.(2018年高考数学天津(理)•第2题)设变量羽y满足约束条件<则目标函数z=3x+5y

-x+y<1

y20

的最大值为)

【答案】C

解析：作可行域为如图所示的四边形45CD,其中/(一1,0),8(2,0),C(3,2)0(2,3),由z=3x+5y,可

得y=3+z表示斜3率为-(，纵z截距为2的直线，作直线3y=并平移，当直线经过点0(2,3)时，

直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，z1rax=3x2+5x3=21.

yWx

8.设变量x,y满足约束条件+,则目标函数z=2x+y的最小值为

y23x-6

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

y<x

解：设变量X、》满足约束条件，x+yN2，在坐标系中画出可行域△ABC,A(2,0),B(l,1),C(3,3),

y23x-6

则目标函数z=2x+y的最小值为3,选B.

x+y-220,

9.(2014高考数学天津理科•第2题)设变量”满足约束条件卜7—240,则目标函数z=x+2j，的最小值

.”1,

【答案】B

解析:画出可行域,不难发现在点4(1,1)处目标函数z=x+2y有最小值zrai„=3.故选B.

x—y—10,

10.（2014高考数学山东理科•第9题）已知满足约束条件<c1.八当目标函数

2x-y-3>0,

z=ax+hy（a>0,h>0）在该约束条件下取到最小值2有时，a2+h2的最小值为

（）

A.5B.4C.V5D.2

【答案】B

解析：画出可行域如图所示，由a>0/>0可知当0¥+勿=2经过21一^一3二0与工一歹一1二0的交点

（2,1）时，zmin=2a+b=2y[5,所以a?+/=/+Q6一2a>=5/-8氐+2024.

x+y-7<0

11.（2014高考数学课标2理科•第9题）设x,y满足约束条件（x-3y+lW0，则z=2x-y的最

3x-y-5>0

大值为（）

A.10B.8C.3D.2

［答案］B

解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线歹=2x-z,可得最大值为8.

V>1

12.（2014高考数学课标1理科•第9题）不等式组1"的解集记为有下面四个命题:

x-2y<^

Pi:V（x,y）eD,x+2y>-2；p2D,x^-2y>2

23:V（x,y）wZ）,x+2y<3；区：m（x,y）w+〈一1.

其中真命题是（）

A.p2,p3B.pmC.pt,p2D.pt,p3

【答案】C

解析:作出可行域如图：设x+2y=z,即y=—+]

当直线过4（2,—1）时，Zmin=—2+2=0,...z»0,...命题白、P2真命题，选C

y<x

13.（2014高考数学广东理科•第3题）若变量满足约束条件卜+>41,且z=2x+y的最大值和最小

值分别为〃7和〃，则w-〃=（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C.

解析：求出三条直线的交点为（一L一1）,（2,-1）,故m=3,〃=一3,用一〃=6

x+y-2>0

14.（2014高考数学北京理科•第6题）若X,y满足，kx-y+2>0,且2=的最小值为-4,则左的

y>0

值为)

A.2B.—2C.—D.---

22

【答案】D

解析：可行域如图所示，当左>0时，知2=^一%无最小值，当左<0时，H标函数线过可行域内A点时

y=02

Z有最小值.联立《解得A（——,0）,

也-y+2=0k

21

故Zmin=0+—=-4,即左二----

H11I11r\

k2

x+y-2<0,

15.（2014高考数学安徽理科•第5题）满足约束条件<X-2;/-240,若2=了-"取得最大值的最优解

2x-y+2>0.

不唯：，则实数。的值为（）

A.1或-1B.2或‘C.2或1D.2或-1

22

【答案】D

解析：线性约束条件下，线性目标函数的最优解一般出现在可行域的边界处，尤其在顶点处.

作出可行域，如图所示，

由题知：目标函数的最优解不唯一，

所以动直线在平移过程中会与直线x+y-2=0或直线2x-y+2=0重合，

从而可求a=2或一1,故选D.

x+2>0

16.（2015高考数学天津理科•第2题）设变量满足约束条件<x-y+320,则目标函数z=x+6»

2x+y-3<0

的最大值为（）

A.3B.4C.18D.40

【答案】C

x+2>0

解析：不等式y+320所表示的平面区域如下图所示，当z=x+6夕所表示直线经过点5（0,3）时,

2x+y-3<Q

z有最大值18.

8

6

.............y...............

-15-10-5/51015

x-y>0

17.(2015高考数学山东理科•第6题)已知xj满足约束条件<x+y«2,若2=℃+丁的最大值为4,则

y>0

a=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】B

x-y>0

解析：不等式组，x+y<2在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，

y>0

若z=ox+y的最大值为4,则最优解可能为x=l,y=l或x=2,y=0,经检验，x=2,y=0是最

优解，此时a=2；x=l,y=l不是最优解.故选B.

x+y>-\

18.(2015高考数学湖南理科•第4题)若变量x,y满足约束条件<2x—y〈l,则z=3x-y的最小值为

”1

()

A.-7B.-1C.1D.2

【答案】A.

分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：3x-y=0,平移，从

而可知当％=—2,y=1时,ZmM=3x(—2)—1=—7的最小值是一7,故选A.

‘4x+5y28

19.（2015高考数学广东理科•第6题）若变量x,y满足约束条件<1WXW3则z=3x+2»的最小值为

0<j；<2

（）

2331

A.4B.—C.6D.—

55

【答案】B

解析：不等式所表示的可行域如下图所.示，

时，Z取得最小值

423

即ZmM=3xl+2x-=—,故选B

m,n55

x+2y>0,

20.（2015高考数学福建理科•第5题）若变量xj满足约束条件则z=2x-y的最小值等

x-2y+2>0,

于（）

53

A.B.-2C.D.2

22

【答案】A

解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为夕=2x—z,当z最小时，直线y=2x-z的纵截距最

大,故将直线夕=2x经过可行域，尽可能向上移到过点8(-l,g)时，z取到最小值，最小值为

z=2x(-l)--,故选A.

22

x-y<0,

21.(2015高考数学北京理科•第2题)若x,y满足x+yWl,则z=x+2y的最大值为

x20,

()

3

A.0B.1C.-D.2

2

【答案】D

解析:如图，先画出可行域，由于z=x+2y,则y=-；x+；z,令Z=0,作直线y=-；x,

在可行域中作平行线，得最优解(0,1),此时直线的截距最大，Z取得最小值2,故选D.

x>0,

22.(2017年高考数学浙江文理科•第4题)若X/满足约束条件,》+歹-320,则z=x+2y的取值范围

x-2y<0,

是()

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo)D.[4,+00)

【答案】D

【解析】由图可知，y=-|+|在点(2,1)取到z的最小值为z=2+2xl=4,z没有最大值，故

ze[4,+oo).故选D.

2x+y>0

x+2y-2>0

23.（2017年高考数学天津理科•第2题）设变量满足约束条件，则目标函数z=x+y的

x<0

y43

最大值为()

2,

A.—B.1

3

【答案】D

2x+y>0

x+2y-2>0

【解析】变量满足约束条件Jx：o的可行域如图，目标函数z=x+y经过可行域的4点时,

Iy<3

X二0

目标函数取得最大值，由《一可得〃（0,3）,目标函数2=%+歹的最大值为3,故选D.

3=3

x—y+3W0

24.（2017年高考数学山东理科.第4题）已知x,y满足,3x+y+5<0,则z=x+2y的最大值是

x+3>0

A.0B.2C.5D.6

【答案】

C

x-y+3<0

［解析】由■3xtr+5V0画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,

x+3>0

当其经过直线3x+y+5=0^x=-3的交点（一3,4）时，z=x+2y最大为z=-3+2x4=5,选C.

2x+3y-340

25.（2017年高考数学课标n卷理科•第5题）设X,3满足约束条件,2x—3歹+320,则z=2x+y的最

jV+3>0

小值是（）

A.-15B.-9c.1D.9

【答案】A

【解析】解法一：常规解法

2x+3y-3Vo

根据约束条件2x-3y+320画出可行域（图中阴影部分），作直线/:2x+y=0,平移直线/,

y+320

将直线平移到点/处Z最小，点力的坐标为（-6,-3）,将点力的坐标代到目标函数Z=2x+y,

对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的

为最小值即可，点N的坐标为（-6,-3）,点8的坐标为（6,-3）,点C的坐标为（0,1）,所求值分

别为-15、9.1,故Z*=-15,Zg=9.

解法三：隔板法

首先看约束条件方程的斜率

约束条件方程的斜率分别2为；2、0;

其次排序

按照坐标系位置排序-：2、0、2彳；

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再次看目标函数的斜率和y前的系数

看目标函数的斜率和y前的系数分别为-2,1；

最后画初始位置，跳格，找到最小值点

目标函数的斜率在卜|,0）之间，即为初始位置，y前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为

最大值点，即,g，|），第二个格为最小值点，即（°，|），只需解斜率为0和g这两条线的交点

即可，其实就是点N,点N的坐标为（-6,-3）,将点/的坐标代到目标函数Z=2x+y,

可得Z=-15,BPZmin=-15.