四川省自贡市（一模）高2024 届第一次诊断性考试理科数学试卷及答案

秘密★启用nu

自贡市普高2024届第一次诊断性考试

数学试题（理工类）

本试卷共6页，23ss（含选考题）.全卷满分150分,考试时间120分钟.

注意事项：

I.5题前，先将自己的反名、准考证号填写在卷贬卡上，

2.选择题的作答：每小超选出卷案后，用2B相冕1把答题卡上对应题■目的答案标号涂

X.写在试卷.草稿纸和答题卡上的非冬题区域均无效.

3.非选择题的作卷：用黑色签字篦立接答在答题卡上对应的答翅区域内,写在试卷，

草稿纸和冬题卡上的非冬超区域均无效.

4.选考题的作答•：先把所选题目的题,号在答题卡上指定的位运用2B铅笔涂黑.答•案写

在答即卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

一、选择既本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是最符合题目要求的.

I.己知集合，=卜卜2-工一6<0）,5={-2,0,2},则/|cB=（

A.{-2,0}B.{-2,0,2}C.{-2,2}D.{0,2}

2.己知复数2=山，则复数二的共筑复数z在熨平面内对应的点在（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.”>2”是"关于x的方程x：-而x+|=0有两个不等实根”的）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

高2024届一诊教学试题（理工类）弟I页共6页

4.如图所示的中，点D用他改DCI.WMI）的可力/'（.-'I/■..4"以AD的中

点，则方=(

I.I..

A»~~.-I—/(、

36

C.一工港」充

5.2023年威而大.运会招游志叭柠，现从某而校的6名志愿甘中侬次选出。名投仟诲J

服务，2名担任人员引导.t名担任应急救名志愿/只能担任一项，则可乙小参与同

一项志愿服务的选法有（）种

A.2SB.36C.40D.44

6.体育强国的建设是2035年我国发展的总体目标之一.某学校安排周一至周五每天

一小时课外活动时间，现统计得小明同学最近10周的课外体育运动时间（单位：小时/周）：

6.5,6.3,7.8,92.5.7,7.9.g.1,7.2,5.8.&3.则下列说法不正确的是

A.小明同学近10周的课外体育运动时间¥均每天不少于I小时

B.以这10周数据估计小明同学一周课外体育运动时间大于8小时的概率为0.3

C小明同学10周的课外体育运动时间的中位数为6.8

D.若这组数据同时增加0.5,则增加后的10个数据的极差、标准差与原数据的极差、

标准差相比均无变化

7.函数y=取"也的图象可能为（）

COSX

8.A4SC•中，/8=2,4U=3,BC=石，将绕T8旋转至

△/B尸处.使平面X8PJ.平面/8C,则多而体(?-/8P的外接球

衣面积为()

A.14KB.I6n

C.187rD.20开

高2024届一诊数学试即（理工类）第2页共6页

“南阴涉学期杨敏，(印华九氽以%,扣《勿及说笈不小》中,i/£lh(货物的蚣物么

共，历目的的曲例”好例列与，役勿如救例M，的，畸历勿，之分并力都号，例龙卷您&您N,

效成行尚次端成华为吻剂，冽玄外痛的纷改初判的初咒，在扬塔N后--明均为•,姝秘小乙绒

仰隔断第冷以列,其附741分别为3,7,\i.2，，妁，。力VI,则勿必勿1%笏名项'/

A.131B.139J第

10.住么/〃c中升1/.〃-C所知山a,b、c7fli)Lu=c-2<J&"期

b=)

A.48,5Czb",#双/

“，定义在"上的曲青侬/的满足/"+切=/(l-力，且刍”引“用附，"同£%>吟/,

则函数g(x)=/(z)一一'—在J2,10J上所有勿点的和为<

z-4

A.I6B.32C,36D,42

⑵若】=uCOS^[-]),0=,,刚么瓦C揭足的大小关系定是()

332n

A,a->b>c氏a<b<-cC.a>c>hD,t

二.场空题(本题共4小照，每小以5分，共20分.)

13.(I+2/XX+L)"展开式中用数项为.(用续字作务)

X

x+y56

)4.己知点户(l,2),O(0Q),点〃(zj)询足J"-2**3,则z=而.砺的域大但_____.

x>0

y之0

15.若曲线y=In(x+a)的一条切线为》==+b，其中〃为正实数，期1[十一-一的MZ

5+2

值范围.

16.函数/(x)=sin(0x+?)+cos(0x-?X0>O)构/(X)的图麴.上所有点的横也好缩短

到原来的二(纵坐标不变)徇到函数g(x)的图象,若g(x)在(0,白)上恰有J个银色点，

IO

则S的报大整数值为,

而2024届一诊数学议题(理工关)第3天共6页

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步臊，第17〜21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（―）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）

17.（本小题满分12分）

已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=I，S“="（“（neN'）.

（I）求数列｛/｝的通项公式：

（2）在数列｛2｝中，b“=a„+log4S”,求数列｛b“｝的前〃项和T„.

18.（本小题满分12分）

2025年四川省将实行3+1+2的高考模式，其中.“3”为语文、数学，外语3门参加全国

统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报

考高校以及专业要求，结合自身实际,首先在物理,历史中2选1,再从政治、地理、化学、

生物中4选2,形成自己的高考选考组合.

<I）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到''物化生”组合的人数的

期望；

（2）由于物理和历史两科必须选择I科，某校想了解高一新生选科的需求,随机选取

100名高一新生进行调查，得到如下统计效据，写出下列联表中a,d的值，并判断是否有95%

的把握认为“选科与性别有关”？

选择物理选择历史合计

男生a10

女生30

合计30

附：Q=______丛竺-°」_

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\kJOJO0.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

高2024届一诊数学试题（理工类）第4页共6页

19.（本小题满分12分）

如图：在平面四边形/BCD中,角=£，乙408=工，BC=2,aD=3.设

32

"CD=9.

（I）用6表示四边形48co对角线/C的长;

（2）是否存在6使四边形4BCD对角线/C最长，若存在求出cos，及四边形对角线XC

暇长的值，若不存在请说明理由.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-48。。中，底面48C。是正方形，侧棱PD1.底面N8CD.£、尸分

别是尸C、月。中点.

（1）判断直线DE与平面PFB的位置关系;

（2）若P8与平面/8C。所成角为45’,求平面尸尸8与平面££）8所成二面角大小的正

弦值.

高2024届一诊数学试题（理工类）第5页共6页

21.(本小题满分12分)

函数/(x)=/-Inx的破小值为力.

(I)判断加与2的大小，井说明理由；

<2)求函数g(x)=2+lnx-e'f的很大值.

(二)选考题：共10分.请考生在(22),(23)两圈中任选一题作答，如果多答，则

按做的笫一题记分.作答时用2B铅第在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂照.

22.选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程「二2c°sa(，为参数).直线/的参数方

[y=sinor

程为以。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.直线/的极坐标方程为

〃sin(e+­)=迫L

42

(I)求曲线C和直线/的普通方程：

(2)设点力的极坐标为(2,套)，曲线C和直线/的相交于AQ，求尸0的面积.

23.选修4—5：不等式选讲

t9：/(x)=|x+l|+|x-2|.

(1)求/(x)Wx+5的解集：

(2)若不等式/(x)J"+"；?"二」对任人实数a失0恒成立,求实数x的取值范围.

高2024届一诊数学试题(理工类)第6页共6页

2024届“一诊”数学参考答案

一、选择题(60分)

理科：1-5.DABBD6-10.CDADC11-12.//文科：1-5.DABBB6-10.CDADA11-12.//

二、填空题(20分)

也

理科：13,5014.1115.[2,oo)16.10文科：13.—14,1115.-216.2

三、解答题(70分)

17.(1)由%=l,S“=g%+](“eN*)得S]=q=]

3S“=%+i=S,+i—J2分

所以，=4S“o*=4

J”

数列｛SJ是以1为首项，4为公比的等比数列

1(〃=1)

\a=<c

3・4"2(〃N2,〃eN*)r4

i7...........................................................................7分

⑵〃=%+log4S"=%+(”1),...........................................................9分

7；=S,+I(〃-1)=4"，小(〃-1).

12分

18.(1)解：设物理、历史两门学科分别为"“，政治、地理、化学、生物分别为a,b,c,d,

某同学根据方案进行随机选科，所得的结果为：(m,a,b),(m,a,c),(m,a,d),(m,b,c)

{m,b,d\(m,c,d\(n,a,b\(n,a,c),(n,a,d),(n,b,c),(n,b,d),(n,c,d'),共有12种情形,

所以一个学生恰好选到“史地政”的概率为尸=L.(文科)................6分

一个学生恰好选到"物化生”的概率为尸=!，由6个学生选科情况符合二项分布B

故期望为6义工=!(理科)..........................................6分

122

(2)q=40,(7=20.......................................................................................................8分

可得K、100(40x2。-10x30)2.

—11分

50x50x70x30

所以有95%的把握认为“选科与性别有关....12分

2024届一诊数学参考答案第1页共4页

BD

19.(1)根据题意在用MS。,/。=

在ABC。中由余弦定理和正弦定理得

..................................3分

21./)./RMBCsin，2sin6

DriBD—13—12cos0.sin/BDC=----------=---------

BDBD

在A4CO中由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2ADCDcos(-+/BCD).....................................................6分

数曾5+9+卡亚3.•蟹

所以对角线/C=j?+40sin6»-4cos。；..........................................................8分

(2)由⑴知NC=，?+4Ain6»-4cos6UC=Jm+8sin(0j)............10分

所以存在。=V，cose=-1，8D=M,对角线/C最长值为九3,..............12分

323

20.⑴平行..........................................................2分

取网中点G连接EG和尸G,根据题意

EG//-BC//DF

=2=

所以四边形DBGP是平行四边形〃尸G,

而DE<z平面P8尸，/Gu平面尸8尸

：.DE〃平面PEB...........................................................................................................5分

(2)(文科)根据题意可得VE_PBF=|VC_PBF=|VP_BCF..........................................7分

由AP尸8,尸2=4,依=3,3尸=百,计算得5所k=工3Gsin/PF5=姮，

-PBF22

设E平面PFB的距离为d,.-.-Sd=-S-PD=—分

PBF△PBF.............................10

3Ar.brrorDrr3

所以点E平面尸/咕的距离为d=%=生叵..........................12分

Vnii

(理科)如图不妨设48=2,由题意知40=尸。=2收

以点D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,

r>(0,0,0),P(0,0,2V2),F(1,0,0),£(0,1,72),

设平面尸用的法向量为3=(x,y,z),平面即。的法向量为正=(a,，,c)

PF=2\,PB2\,DE=......7分

2024届一诊数学参考答案第2页共4页

n-PB=x-242z=0

则可取z=l,万=(2屈-"1).........9分

n•PF=2x+2y-2cz=0

m•DB=b+y/lc=0

可取z=1,加=(V29-\/29l)..................10分

m-DE=2a+2b=0

77

而•6V55

所以平面CMA与平面ABBA所成角的正弦值为造=粤

X..................12分

75533

21.(1)m>2

/\1xe，一1/\

理由如下：f'(x)=ex——=——，令Mx)=xe'—1,

XX

/i'(x)=(x+l)ex-x>0,.'./ir(x)>0.r.&(x)在(0,+oo)为增函数,

又彳：]=与一1<0"(1)=0一1〉0，,改小,」]使人(%)=0

即//。―1=0,.,./2(工庵(0,工0)为负，在(%,+00)为正.

.,./(X)在(0,X。)为减函数，在(%,+00)为增函数.

・••/(x)min=/(/)=*Tn又•••//。-1=0，，lnx0=-x0.

人0

/(x)min=加=上+%•/X£

o1:.m>2..........................5分

%P

〔〔x-m

(2)g,(x)=--ex-m_令9(x)=l—xe'-m,"'(x)=_(x+])gf<0

XX

o(x庵(0,+oo)为减函数，又加>2v=>0,(p(m)=l-m<0,

xm

e(1,m),使夕(再)=]_邛否-叫=0,e'^=—:.xx-m=-Inxj

...........................................苞

.所以g(x)在(0,打)单调递增，在(x1；oo)单调递减............................................8分

由(])知加=---HXQ----InXQ----FIn——Xj+In

2024届一诊数学参考答案第3页共4页

又因为函数y=x+lnx,xe(0,℃)是增函数，所以苞=一10分

%

(文科)g(x)max=g(M)=In%-/「"'=In》]一—=-(In—+—)=-(lnx0+xo)=O

m

(理科)g(x)max=g(xj)=2+In%1-e'~=2-(In—+—)=2-(tax0+x0)=2.....12分

xxX]

22.解：(1)C:-1-y2=1.It.x+y—1=0....................................5分

4