新人教版高中数学必修四第三章检测

新人教版高中数学必修四第三章检测一．选择题〔共11小题〕1．〔2012•绵阳二模〕假设实数x，y满足方程组那么cos〔x+2y〕=〔〕A．0B．C．D．12．〔2011•安徽模拟〕对∀a，b∈R，运算“⊗”、“⊕”定义为：a⊗b=，那么以下各式中恒成立的是〔〕①〔sinx⊗cosx〕+〔sinx⊕cosx〕=sinx+cosx，②〔2x⊗x2〕﹣〔2x⊕x2〕=2x﹣x2，③〔sinx⊗cosx〕•〔sinx⊕cosx〕=sinx•cosx，④〔2x⊕x2〕﹣〔2x⊗x2〕=2x﹣x2．A．①②③④B．①②③C．①③D．②④3．〔1999•广东〕假设，那么α∈〔〕A．B．C．D．4．如果θ是第二象限角，且满足，那么〔〕A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角5．假设α是锐角，且满足，那么cosα的值为〔〕A．B．C．D．6．sinθ+cosθ=，θ∈〔，π〕，那么tanθ的值是〔〕A．﹣B．﹣C．D．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos〔〕A．有最大值和最小值为0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值，也无最小值D．有最大，但无最小值8．计算cos20°sin50°sin170°=〔〕A．B．C．D．9．假设a，b，c是△ABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，那么△ABC一定是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10．△ABC，假设对任意k∈R，有||≥，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能11．O为△ABC内一点，假设对任意k∈R有|+〔k﹣1〕﹣k|≥|﹣|，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能二．填空题〔共5小题〕12．〔2012•道里区三模〕在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当tan〔A﹣B〕取最大值时，角C的值为_________．13．〔2011•安徽〕设f〔x〕=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0假设f〔x〕≤|f〔〕|对一切x∈R恒成立，那么①f〔〕=0．②|f〔〕|＜|f〔〕|．③f〔x〕既不是奇函数也不是偶函数．④f〔x〕的单调递增区间是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．⑤存在经过点〔a，b〕的直线于函数f〔x〕的图象不相交．以上结论正确的选项是_________写出正确结论的编号〕．14．〔2011•涟源市模拟〕在△ABC中，给出以下四个命题：①假设sin2A=sin2B，那么△ABC为等腰三角形；②假设sinA=cosB，那么△ABC是直角三角形；③假设cosA•cosB•cosC＜0，那么△ABC是钝角三角形；④假设cos〔A﹣B〕•cos〔B﹣C〕•cos〔C﹣A〕=1，那么△ABC是等边三角形．以上命题正确的选项是_________〔填命题序号〕．15．〔2010•重庆〕如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P〔点P不在C上〕且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi〔i=1，2，3〕，那么=_________．16．〔2010•延庆县一模〕直线y=2x+1和圆x2+y2=1交于点A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边〔O是坐标原点〕的角为α，OB为终边的角为β，那么sin〔α+β〕=_________．三．解答题〔共14小题〕17．〔2011•广东〕函数f〔x〕=2sin〔x﹣〕，x∈R〔1〕求f〔〕的值；〔2〕设α，β∈[0，]，f〔3α+〕=，f〔3β+2π〕=，求cos〔α+β〕的值．18．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．19．〔2015•惠州模拟〕设函数f〔x〕=cosx+sinx+1〔1〕求函数f〔x〕的值域和函数的单调递增区间；〔2〕当f〔a〕=，且＜α＜时，求sin〔2α+〕的值．20．〔2015•资阳模拟〕函数f〔x〕=msinxcosx+mcos2x+n〔m＞0〕在区间上的值域为[1，2]．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设f〔A〕=1，sinB=4sin〔π﹣C〕，△ABC的面积为，求边长a的值．21．〔2015•资阳模拟〕向量=〔1，3cosα〕，=〔1，4tanα〕，，且•=5．〔Ⅰ〕求|+|；〔Ⅱ〕设向量与的夹角为β，求tan〔α+β〕的值．22．〔2014•天津〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．23．〔2014•福建〕函数f〔x〕=cosx〔sinx+cosx〕﹣．〔1〕假设0＜α＜，且sinα=，求f〔α〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的最小正周期及单调递增区间．24．〔2014•江西〕函数f〔x〕=〔a+2cos2x〕cos〔2x+θ〕为奇函数，且f〔〕=0，其中a∈R，θ∈〔0，π〕．〔1〕求a，θ的值；〔2〕假设f〔〕=﹣，α∈〔，π〕，求sin〔α+〕的值．25．〔2014•江苏〕函数f0〔x〕=〔x＞0〕，设fn〔x〕为fn﹣1〔x〕的导数，n∈N*．〔1〕求2f1〔〕+f2〔〕的值；〔2〕证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1〔〕+fn〔〕|=都成立．26．〔2014•四川〕函数f〔x〕=sin〔3x+〕．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设α是第二象限角，f〔〕=cos〔α+〕cos2α，求cosα﹣sinα的值．27．〔2014•江苏〕α∈〔，π〕，sinα=．〔1〕求sin〔+α〕的值；〔2〕求cos〔﹣2α〕的值．28．〔2014•江西〕函数f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，其中a∈R，θ∈〔﹣，〕〔1〕当a=，θ=时，求f〔x〕在区间[0，π]上的最大值与最小值；〔2〕假设f〔〕=0，f〔π〕=1，求a，θ的值．29．〔2014•福建〕函数f〔x〕=2cosx〔sinx+cosx〕．〔Ⅰ〕求f〔〕的值；〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的最小正周期及单调递增区间．30．〔2014•市中区二模〕△ABC的面积为1，且满足0•≤2，设和的夹角为θ〔Ⅰ〕求θ的取值范围；〔Ⅱ〕求函数f〔θ〕=2sin2〔+θ〕﹣cos〔2θ+〕的最大值及取得最大值时的θ值．

新人教版高中数学必修四第三章检测参考答案与试题解析一．选择题〔共11小题〕1．〔2012•绵阳二模〕假设实数x，y满足方程组那么cos〔x+2y〕=〔〕A．0B．C．D．1考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：将方程组中的第二个方程第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后设t=﹣2y，变形后与第一个方程完全相同，可得出t=x，进而得到x与y的关系式x=﹣2y，即x+2y=0，代入所求的式子中，利用特殊角的三角函数值化简即可求出值．解答：解：，由②化简得：8y3﹣〔1+cos2y〕+2y+3=0，整理得：﹣8y3+cos2y﹣2y﹣2=0，即〔﹣2y〕3+cos〔﹣2y〕+〔﹣2y〕﹣2=0，设t=﹣2y，那么有t3﹣cost+t﹣2=0，与方程①比照得：t=x，即x=﹣2y，∴x+2y=0，那么cos〔x+2y〕=1．应选D点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了换元的思想，灵活变换第二个方程是解此题的关键．2．〔2011•安徽模拟〕对∀a，b∈R，运算“⊗”、“⊕”定义为：a⊗b=，那么以下各式中恒成立的是〔〕①〔sinx⊗cosx〕+〔sinx⊕cosx〕=sinx+cosx，②〔2x⊗x2〕﹣〔2x⊕x2〕=2x﹣x2，③〔sinx⊗cosx〕•〔sinx⊕cosx〕=sinx•cosx，④〔2x⊕x2〕﹣〔2x⊗x2〕=2x﹣x2．A．①②③④B．①②③C．①③D．②④考点：三角函数中的恒等变换应用；有理数指数幂的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：结合新定义，验算①②③④，即可判断正确选项．解答：解：由题意可知：①〔sinx⊗cosx〕+〔sinx⊕cosx〕=sinx+cosx．③〔sinx⊗cosx〕•〔sinx⊕cosx〕=sinx•cosx，加法与乘法满足交换律，正确；②〔2x⊗x2〕﹣〔2x⊕x2〕=2x﹣x2，④〔2x⊕x2〕﹣〔2x⊗x2〕=2x﹣x2不恒成立，应选C．点评：此题是根底题，考查新定义的应用，考查发现问题解决问题的能力，常考题型．3．〔1999•广东〕假设，那么α∈〔〕A．B．C．D．考点：弦切互化；任意角的三角函数的定义；同角三角函数根本关系的运用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据sinα＞，整理求得sinα＜0，判断出α的范围，进而根据tanα＞cota转化成正弦和余弦，可推断＞﹣1，进而根据正切函数的单调性求得α的范围，最后综合答案可得．解答：解：∵sinα＞，∴cosαsinα﹣sinα＞0，即sinα〔cosα﹣1〕＞0∵cosα﹣1＜0∴sinα＜0，﹣＜α＜0∵tanα＞cota∴＞∵﹣＜α＜0∴＞﹣1即tanα＞﹣1∴α＞﹣综合得﹣＜α＜0应选B点评：此题主要考查了弦切互化的问题．解题的关键是通过弦切的互化找的解决问题的突破口．4．如果θ是第二象限角，且满足，那么〔〕A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．解答：解：∵θ是第二象限角∴∴〔k∈Z〕∴当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限；∵==∴∴是第三象限角应选B．点评：此题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的根本关系．属根底题．5．假设α是锐角，且满足，那么cosα的值为〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据α是锐角，且满足求出的值，再由根据两角和与差的余弦公式得到最后答案．解答：解：由α是锐角，且可得，=．应选B．点评：此题主要考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数的根本关系．6．sinθ+cosθ=，θ∈〔，π〕，那么tanθ的值是〔〕A．﹣B．﹣C．D．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题；压轴题．分析：利用万能公式把tan代入题设等式，求得tan的值，进而利用正切的二倍角公式求得答案．解答：解：设tan=x〔x＞0〕，那么+=，解出x=2，∴tanθ==﹣应选A；点评：此题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了考生对三角函数根底公式的熟练应用．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos〔〕A．有最大值和最小值为0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值，也无最小值D．有最大，但无最小值考点：二倍角的正弦．专题：计算题；压轴题．分析：先根据二倍角公式将sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos化简，然后再由Rt△ABC中，∠C=90°，确定A的范围，进而根据正弦函数的性质可得到答案．解答：解：∵sinAcos2〔45°﹣〕﹣sincos=sinA﹣sinA=sinA﹣sinA==∵Rt△ABC中，∠C=90°∴0°＜A＜90°∴0°＜2A＜180°∴有最大值，但无最小值应选B．点评：此题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的性质．考查根底知识的综合应用．8．计算cos20°sin50°sin170°=〔〕A．B．C．D．考点：二倍角的正弦．专题：计算题；压轴题．分析：先将三角函数式看成分母为1的分式，再分子、分母同乘以8sin20°，凑出连续的二倍角正弦公式，从而化简三角函数式．解答：解：．故答案为．应选C．点评：此题考查凑公式的能力及考查二倍角的正弦公式．解答关键是配个分母后逆用二倍角公式，属于根底题．9．假设a，b，c是△ABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，那么△ABC一定是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断；直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：先根据ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，可得到圆心到直线ax+by+c=0的距离大于半径1，进而可得到，即c2＞a2+b2，可得到，从而可判断角C为钝角，故三角形的形状可判定．解答：解：由得，，∴c2＞a2+b2，∴，故△ABC是钝角三角形．应选C．点评：此题主要考查三角形形状的判定、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系．考查根底知识的综合运用．10．△ABC，假设对任意k∈R，有||≥，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能考点：三角形的形状判断．专题：计算题；压轴题．分析：图中BC′的长度就是||，要使不等式成立，那么|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角．解答：解：当k为任意实数时，那么k的方向有可能向左，也可能向右．长度也是不确定的，图中BC′的长度就是||，可以看出，当BC′垂直CB时，||有最小值，要使不等式成立，那么|AC|必须是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C为直角，应选A．点评：此题考查两个向量的加减法的法那么，以及其几何意义，判断三角形的形状的方法，判断|AC|必须是BC′的最小值，是解题的关键．11．O为△ABC内一点，假设对任意k∈R有|+〔k﹣1〕﹣k|≥|﹣|，那么△ABC一定是〔〕A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能考点：三角形的形状判断．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法那么化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．解答：解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不管在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，那么△ABC一定是直角三角形．应选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的加减法的法那么，以及其几何意义，判断出AC⊥BC是解题的关键．二．填空题〔共5小题〕12．〔2012•道里区三模〕在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当tan〔A﹣B〕取最大值时，角C的值为．考点：两角和与差的正切函数；正弦定理的应用．专题：压轴题；三角函数的求值．分析：利用正弦定理及诱导公式化简的等式，整理后利用同角三角函数间的根本关系弦化切后得到tanA=3tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan〔A﹣B〕，将tanA=3tanB代入，利用根本不等式变形，求出tan〔A﹣B〕取得最大值时tanA与tanB的值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数．解答：解：利用正弦定理化简的等式得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin〔A+B〕=〔sinAcosB+cosAsinB〕，整理得：sinAcosB=3cosAsinB，两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB，那么tan〔A﹣B〕===，∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，∴3tanB+≥2，当且仅当3tanB=，即tanB=时取等号，∴tanA=3tanB=，∴A=，B=，那么C=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的根本关系，诱导公式，以及根本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解此题的关键．13．〔2011•安徽〕设f〔x〕=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0假设f〔x〕≤|f〔〕|对一切x∈R恒成立，那么①f〔〕=0．②|f〔〕|＜|f〔〕|．③f〔x〕既不是奇函数也不是偶函数．④f〔x〕的单调递增区间是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．⑤存在经过点〔a，b〕的直线于函数f〔x〕的图象不相交．以上结论正确的选项是①，③写出正确结论的编号〕．考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先化简f〔x〕的解析式，利用条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．解答：解：∵f〔x〕=asin2x+bcos2x=∵∴〔k为整数〕∴∴=对于=0，故①对对于②，，故②错对于③，f〔x〕不是奇函数也不是偶函数对于④，由于f〔x〕的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对对于⑤∵要使经过点〔a，b〕的直线与函数f〔x〕的图象不相交，那么此直线须与横轴平行，且|b|，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，故∴不存在经过点〔a，b〕的直线于函数f〔x〕的图象不相交故⑤错故答案为①③点评：此题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．14．〔2011•涟源市模拟〕在△ABC中，给出以下四个命题：①假设sin2A=sin2B，那么△ABC为等腰三角形；②假设sinA=cosB，那么△ABC是直角三角形；③假设cosA•cosB•cosC＜0，那么△ABC是钝角三角形；④假设cos〔A﹣B〕•cos〔B﹣C〕•cos〔C﹣A〕=1，那么△ABC是等边三角形．以上命题正确的选项是③④〔填命题序号〕．考点：三角形的形状判断．专题：证明题；压轴题；解三角形．分析：①假设sin2A=sin2B，那么2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=，可知①不正确．②假设sinA=cosB，找出∠A和∠B的反例，即可判断那么△ABC是直角三角形错误，故②不正确．③假设cosA•cosB•cosC＜0，cosA、cosB、cosC两个是正实数，一个是负数，故A、B、C中两个是锐角，一个是钝角，故③正确．④假设cos〔A﹣B〕•cos〔B﹣C〕•cos〔C﹣A〕=1可得A=B=C，故△ABC是等边三角形，故④正确．解答：解：①假设sin2A=sin2B，那么2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或C=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．②假设sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，满足sinA=cosB，那么△ABC不是直角三角形，故②不正确．③假设cosA•cosB•cosC＜0，那么由三角形各个内角的范围及内角和等于180°知，cosA、cosB、cosC两个是正实数，一个是负数，故A、B、C中两个是锐角，一个是钝角，故③正确．④假设cos〔A﹣B〕•cos〔B﹣C〕•cos〔C﹣A〕=1，那么由三角形各个内角的范围及内角和等于180°知，cos〔A﹣B〕=cos〔B﹣C〕=cos〔C﹣A〕=1，故有A=B=C，故△ABC是等边三角形，故④正确．故答案为③④．点评：此题考查判断三角形的形状的方法，注意角的范围及内角和等于180°，属于中档题．15．〔2010•重庆〕如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P〔点P不在C上〕且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi〔i=1，2，3〕，那么=．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：根据cos〔α+β〕=cosαcosβ﹣sinαsinβ公式的逆运算得到，由题意可知，α1+α2+α3=2π得到cos=cos=．解答：解：，方法可令同过P点的三圆的交点分别是A，B，C，连接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π因为在各个圆的半径相等，故此三个角的大小都为由于在圆中同弦所对的圆周角互补，故在各个圆中，AB，BC，CA所与三角相对的圆周角为故AB，BC，CA所对的圆心角是，又α1+α2+α3=2π，所以．故答案为：．点评：此题考查学生利用两角和与差的余弦函数的能力．16．〔2010•延庆县一模〕直线y=2x+1和圆x2+y2=1交于点A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边〔O是坐标原点〕的角为α，OB为终边的角为β，那么sin〔α+β〕=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：常规题型；压轴题．分析：先联立方程得到点AB的坐标，进而得到α与β的正余弦值，再由两角和与差的正弦公式可得答案．解答：解：联立y=2x+1与x2+y2=1，解得：或，故A〔0，1〕B〔﹣，﹣〕∴cosα=0，sinα=1，cosβ=﹣，sinβ=﹣∴sin〔α+β〕=sinαcosβ+cosαsinβ=1×〔﹣〕+0×〔﹣〕=﹣故答案为：﹣点评：此题主要考查三角函数的概念和两角和与差的正弦公式．属根底题．三．解答题〔共14小题〕17．〔2011•广东〕函数f〔x〕=2sin〔x﹣〕，x∈R〔1〕求f〔〕的值；〔2〕设α，β∈[0，]，f〔3α+〕=，f〔3β+2π〕=，求cos〔α+β〕的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕把x=代入函数f〔x〕的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；〔2〕分别把x=3α+和x=3β+2π代入f〔x〕的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的根本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：〔1〕把x=代入函数解析式得：f〔〕=2sin〔×﹣〕=2sin=；〔2〕由f〔3α+〕=，f〔3β+2π〕=，代入得：2sin[〔3α+〕﹣]=2sinα=，2sin[〔3β+2π〕﹣]=2sin〔β+〕=2cosβ=sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，那么cos〔α+β〕=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．点评：此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的根本关系化简求值，是一道中档题．18．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；压轴题．分析：此题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解．解答：解：cos2x﹣sin2x=cosx+sinx，〔cosx+sinx〕〔cosx﹣sinx〕﹣〔cosx+sinx〕=0，〔cosx+sinx〕〔cosx﹣sinx﹣1〕=0．如果cosx+sinx=0那么得1+tgx=0，tgx=﹣1，∴如果cosx+sinx﹣1=0那么得cosx﹣sinx=1，∴，∴点评：此题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．19．〔2015•惠州模拟〕设函数f〔x〕=cosx+sinx+1〔1〕求函数f〔x〕的值域和函数的单调递增区间；〔2〕当f〔a〕=，且＜α＜时，求sin〔2α+〕的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：〔1〕根据三角函数的关系式，即可求求函数f〔x〕的值域和函数的单调递增区间．〔2〕根据三角函数的诱导公式即可得到结论．解答：解：〔1〕依题意f〔x〕=cosx+sinx+1=sin〔x+〕+1，∵﹣1≤sin〔x+〕≤1，那么∵0≤sin〔x+〕+1≤2，函数f〔x〕的值域是[0，2]，令﹣+2kπ≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，所以函数f〔x〕的单调增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．〔2〕由f〔a〕=sin〔α+〕+1=，得sin〔α+〕=，∵＜α＜，∴＜α+＜π时，得cos〔α+〕=，∴sin〔2α+〕=sin2〔α+〕=2sin〔α+〕cos〔α+〕=﹣2××=．点评：此题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数求值，考查学生的运算能力，利用三角函数的诱导公式进行化简即可得到结论．20．〔2015•资阳模拟〕函数f〔x〕=msinxcosx+mcos2x+n〔m＞0〕在区间上的值域为[1，2]．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设f〔A〕=1，sinB=4sin〔π﹣C〕，△ABC的面积为，求边长a的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理的应用．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：〔Ⅰ〕函数可化简为f〔x〕=，从而可根据其值域求出m，n的值，从而确定解析式，由正弦函数的性质即可确定单调区间；〔Ⅱ〕f〔A〕=1即可求得A，由sinB=4sin〔π﹣C〕，△ABC的面积为，可求得bc=4，根据余弦定理即可求边长a的值．解答：解：〔Ⅰ〕===，当时，，那么．由m＞0，那么解得m=2，n=﹣1，所以，由〔k∈Z〕，故函数f〔x〕的单调递增区间是，k∈Z．〔Ⅱ〕由，即，所以．因为sinB=4sin〔π﹣C〕，所以sinB=4sinC，那么b=4c，又△ABC面积为，所以，即bc=4，所以b=4，c=1，那么，所以．点评：此题主要考察了余弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．21．〔2015•资阳模拟〕向量=〔1，3cosα〕，=〔1，4tanα〕，，且•=5．〔Ⅰ〕求|+|；〔Ⅱ〕设向量与的夹角为β，求tan〔α+β〕的值．考点：两角和与差的正切函数；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：〔Ⅰ〕由向量的数量积的坐标公式化简即得sinα，由同角公式，求得cosα，tanα，得到向量m，n，再由模的公式即可得到所求的值；〔Ⅱ〕运用向量的夹角公式，求得cosβ，进而得到sinβ，tanβ，再由两角和的正切公式，即可得到所求的值．解答：解：〔Ⅰ〕由=〔1，3cosα〕，=〔1，4tanα〕，那么•=1+12cosαtanα=5，解得，因为，所以，．那么=〔1，2〕，=〔1，〕那么=，即有||==；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=〔1，2〕，=〔1，〕，那么cosβ=cos＜＞==，即有，所以，所以．点评：此题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质及运用，考查运算能力，属于中档题．22．〔2014•天津〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔Ⅰ〕根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再区间上的最大值和最小值．解答：解：〔Ⅰ〕由题意得，f〔x〕=cosx•〔sinxcosx〕====所以，f〔x〕的最小正周期=π．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得f〔x〕=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，那么∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f〔x〕取到最小值是：，当=时，即=时，f〔x〕取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．点评：此题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．23．〔2014•福建〕函数f〔x〕=cosx〔sinx+cosx〕﹣．〔1〕假设0＜α＜，且sinα=，求f〔α〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的最小正周期及单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔1〕利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f〔α〕的值．〔2〕利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．解答：解：〔1〕∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f〔α〕=cosα〔sinα+cosα〕﹣，=×〔+〕﹣=．〔2〕f〔x〕=cosx〔sinx+cosx〕﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin〔2x+〕，∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对根底知识的综合运用．24．〔2014•江西〕函数f〔x〕=〔a+2cos2x〕cos〔2x+θ〕为奇函数，且f〔〕=0，其中a∈R，θ∈〔0，π〕．〔1〕求a，θ的值；〔2〕假设f〔〕=﹣，α∈〔，π〕，求sin〔α+〕的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：〔1〕把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f〔0〕=0，进而求得cosθ，那么θ的值可得．〔2〕利用f〔〕=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：〔1〕f〔〕=﹣〔a+1〕sinθ=0，∵θ∈〔0，π〕．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f〔x〕为奇函数，∴f〔0〕=〔a+2〕cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．〔2〕由〔1〕知f〔x〕=〔﹣1+2cos2x〕cos〔2x+〕=cos2x•〔﹣sin2x〕=﹣，∴f〔〕=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈〔，π〕，∴cosα==﹣，∴sin〔α+〕=sinαcos+cosαsin=．点评：此题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．25．〔2014•江苏〕函数f0〔x〕=〔x＞0〕，设fn〔x〕为fn﹣1〔x〕的导数，n∈N*．〔1〕求2f1〔〕+f2〔〕的值；〔2〕证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1〔〕+fn〔〕|=都成立．考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：〔1〕由于求两个函数的相除的导数比拟麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0〔x〕=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx，把x=代入式子求值；〔2〕由〔1〕得，f0〔x〕+xf1〔x〕=cosx和2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜测得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．解答：解：〔1〕∵f0〔x〕=，∴xf0〔x〕=sinx，那么两边求导，[xf0〔x〕]′=〔sinx〕′，∵fn〔x〕为fn﹣1〔x〕的导数，n∈N*，∴f0〔x〕+xf1〔x〕=cosx，两边再同时求导得，2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx，将x=代入上式得，2f1〔〕+f2〔〕=﹣1，〔2〕由〔1〕得，f0〔x〕+xf1〔x〕=cosx=sin〔x+〕，恒成立两边再同时求导得，2f1〔x〕+xf2〔x〕=﹣sinx=sin〔x+π〕，再对上式两边同时求导得，3f2〔x〕+xf3〔x〕=﹣cosx=sin〔x+〕，同理可得，两边再同时求导得，4f3〔x〕+xf4〔x〕=sinx=sin〔x+2π〕，猜测得，nfn﹣1〔x〕+xfn〔x〕=sin〔x+〕对任意n∈N*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当n=1时，成立，那么上式成立；②假设n=k〔k＞1且k∈N*〕时等式成立，即，∵[kfk﹣1〔x〕+xfk〔x〕]′=kfk﹣1′〔x〕+fk〔x〕+xfk′〔x〕=〔k+1〕fk〔x〕+xfk+1〔x〕又===，∴那么n=k+1〔k＞1且k∈N*〕时．等式也成立，由①②得，nfn﹣1〔x〕+xfn〔x〕=sin〔x+〕对任意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nfn﹣1〔〕+fn〔〕=sin〔+〕=±cos=±，所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1〔〕+fn〔〕|=都成立．点评：此题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法那么、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，此题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．26．〔2014•四川〕函数f〔x〕=sin〔3x+〕．〔1〕求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设α是第二象限角，f〔〕=cos〔α+〕cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：〔1〕令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．〔2〕由函数的解析式可得f〔〕=sin〔α+〕，又f〔〕=cos〔α+〕cos2α，可得sin〔α+〕=cos〔α+〕cos2α，化简可得〔cosα﹣sinα〕2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：〔1〕∵函数f〔x〕=sin〔3x+〕，令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．〔2〕由函数的解析式可得f〔〕=sin〔α+〕，又f〔〕=cos〔α+〕cos2α，∴sin〔α+〕=cos〔α+〕cos2α，即sin〔α+〕=cos〔α+〕〔cos2α﹣sin2α〕，∴sinαcos+cosαsin=〔cos2α﹣sin2α〕•〔sinα﹣cosα〕，即〔sinα﹣cosα〕=•〔cosα﹣sinα〕2•〔sinα+cosα〕，又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：此题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．27．〔2014•江苏〕α∈〔，π〕，sinα=．〔1〕求sin〔+α〕的值；〔2〕求cos〔﹣2α〕的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：〔1〕通过条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin〔+α〕的值；〔2〕求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos〔﹣2α〕的值．解答：解：α∈〔，π〕，sinα=．∴cosα=﹣=〔1〕sin〔+α〕=sincosα+cossinα==﹣；∴sin〔+α〕的值为：﹣．〔2〕∵α∈〔，π〕，sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos〔﹣2α〕=coscos2α+sinsin2α==﹣．cos〔﹣2α〕的值为：﹣．点评：此题考查两角和与差的三角函数，三角函数的根本关系式的应用，考查计算能力．28．〔2014•江西〕函数f〔x〕=sin〔x+θ〕+acos〔x+2θ〕，其中a∈R，θ∈〔﹣，〕〔1〕当a=，θ=时，求f〔x〕在区间[0，π]上的最大值与最小值；〔2〕假设f〔〕=0，f〔π〕=1，求a，θ的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值．分析：〔1〕由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f〔x〕=﹣sin〔x﹣〕，再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．〔2〕由条件可