D8-3-多变量函数的微分和偏导数

第八章第三节机动目录上页下页返回结束二、多变量函数的偏导数三、高阶偏导数多变量函数的微分和偏导数第八章一、多变量函数的微分1精选完整ppt课件一、多变量函数的微分定义8.3.1

设在的邻域中有定义，记，如果存在常数A,B使得当时，有则称在M0处可微，并称为在M0的微分，记成2精选完整ppt课件是的线性主部。定理8.3.1

如果f(x,y)在M0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在M0(x0,y0)处连续。3精选完整ppt课件定义8.3.1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:二、多变量函数的偏导数4精选完整ppt课件同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为机动目录上页下页返回结束或y偏导数存在,5精选完整ppt课件例1.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束6精选完整ppt课件例2.

设证:例3.求的偏导数.解:求证机动目录上页下页返回结束7精选完整ppt课件偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,8精选完整ppt课件若在(x,y)

处可微，则偏导数也叫偏微商，这种叫法源于其本质上是一个一元函数微商，但对于二元函数而言不具有商的性质，只是一种记号。9精选完整ppt课件二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的10精选完整ppt课件函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!11精选完整ppt课件二元函数可微则偏导数存在。但偏导数存在，函数不一定可微。定理8.3.2

如果z=f(x,y)的两个偏导数在M0(x0,y0)处都是连续的，则f(x,y)在M0(x0,y0)处可微。12精选完整ppt课件例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的可微与偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)可微的定义为13精选完整ppt课件例5.

求在（1，2，3）处的偏导数。14精选完整ppt课件三、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:15精选完整ppt课件类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶机动目录上页下页返回结束偏导数为16精选完整ppt课件例6.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及17精选完整ppt课件例如,二者不等机动目录上页下页返回结束18精选完整ppt课件例7.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程机动目录上页下页返回结束19精选完整ppt课件则证明目录上页下页返回结束证:令则令定理.8.3.3.20精选完整ppt课件同样21精选完整ppt课件在点连续,得22精选完整ppt课件例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等23精选完整ppt课件把区域D中有n阶连续偏导数的函数全体记作把区间I中有n阶连续导数的一元函数全体记作24精选完整ppt课件作业第三节目录上页下页返回结束P66－681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。25精选完整ppt课件第四节一元复合函数求导法则微分法则机动目录上页下页返回结束复合函数的微分法第八章26精选完整ppt课件本节内容:一、复合函数求导的链式法则二*、Jacobi矩阵三、方向导数和梯度四、全微分的不变性五、例题27精选完整ppt课件一、复合函数求导的链式法则定理8.4.1.若函数可微，和有一阶偏导数，则z对x和y有偏导数，并有写成矩阵形式：28精选完整ppt课件一般地，设可微，而29精选完整ppt课件例1.设解:机动目录上页下页返回结束30精选完整ppt课件例2.解:机动目录上页下页返回结束31精选完整ppt课件例3.证明函数u=1/r

满足方程其中。Laplace方程，调和函数32精选完整ppt课件

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,33精选完整ppt课件(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束34精选完整ppt课件若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.35精选完整ppt课件中间变量多于两个的情形.例如,机动目录上页下页返回结束36精选完整ppt课件又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束37精选完整ppt课件例4.设

求全导数解:注意：多