2024年中考数学复习（全国版）第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（练习）（解析版）

第29讲尺规作图与定义、命题、定理目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01尺规作图-作线段题型02尺规作图-作一个角等于已知角题型03尺规作图-尺规作角的和、差题型04尺规作图-过直线外一点作这条线的平行题型05尺规作图-作三角形（含特殊三角形）题型06尺规作图-作角平分线题型07尺规作图-作垂直平分线题型08尺规作图-作三角形的中线与高题型09尺规作图-画圆题型10尺规作图-过圆外一点作圆的切线题型11尺规作图-找圆心题型12尺规作图-作外接圆题型13尺规作图-作内切圆题型14尺规作图-作圆内接正多边形题型15尺规作图-格点作图题型16判断是否命题题型17判断命题真假题型18举反例说明命题为假命题题型19写出命题的逆命题题型20反证法证明中的假设题型21用反证法证明命题题型01尺规作图-作线段1．（2023·山东青岛·模拟预测）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】见解析【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【详解】解：如图所示：△ABC为所求．注：（1）作直线l及l上一点A；（2）过点A作l的垂线；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）已知：∠α，线段a．求作：矩形ABCD，使对角线的长为a，夹角为∠α．【答案】见解析【分析】根据矩形的性质及线段、角及线段中点的作图方法作图即可．【详解】作法：①作直线MN与PQ交于点O，使∠QON=∠α②分别以线段a的两端G、H为圆心，以大于12a③以点O为圆心，以12④连接A、B、C、D则四边形ABCD即为所求作的矩形．【点睛】本题考查了线段的作图、角的尺规作图以及矩形的性质，熟练掌握作图的步骤以及矩形的性质是解题的关键．3．（2022·山东青岛·统考二模）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．【答案】作图见详解【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AR、AK于点B、C，再以BC为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，交于点D，连接AD并延长，即为∠RAK的平分线；以点A为圆心，a的长度为半径作弧，交AD于点O，点O即为所求圆的圆心；以点O为圆心，任意长为半径作弧，交AR于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于12【详解】解：作图如下：【点睛】本题主要考查了尺规作图-复杂作图，涉及的知识点包括利用尺规作图作角平分线、作垂线、作线段等于已知线段等，解题关键是熟练掌握尺规作图基本方法．4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a，b，及∠MAN=90°．求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．作法：如图2，①在射线AM，AN上分别截取AB=a，AD=b；②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；③连接BC，DC．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵AB=DC=a，AD==b，∴四边形ABCD是平行四边形()(填推理的依据)．∵∠MAN=90°，∴四边形ABCD是矩形()(填推理的依据)．【答案】(1)见解析(2)BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【详解】（1）解：如图，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∵∠MAN=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：BC，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．题型02尺规作图-作一个角等于已知角5．（2019·河北·模拟预测）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线【答案】C【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．6．（2022·山东菏泽·校联考模拟预测）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．【答案】见解析【分析】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．【详解】解：如图，Rt△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【答案】详见解析【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．【详解】解：作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．如图，点P即为所求．【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．题型03尺规作图-尺规作角的和、差8．（2022下·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α−∠β．【答案】见解析【分析】如图，作∠AOC=α，在∠AOC的内部作∠BOC=β，∠AOB即为所求．【详解】解：如图，∠AOB即为所求．．【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．9．（2023下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析【分析】根据做一个角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺规作∠AOB=∠α+∠β即可解答．【详解】解：如图所示∠AOB=∠α+∠β，

【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解题的关键．10．（2020下·六年级校考单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）【答案】见解析【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．【详解】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．11．（2023下·广东佛山·七年级佛山六中校考阶段练习）如图，已知∠ABC及AB上一点A，(1)利用三角板，过点A作BC的垂线，垂足为点E，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．(2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在BC下方以点B为顶点作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可；（2）以点B为圆心，已任意长为半径画弧，交AB于点F，交BC于点G，再以点G为圆心，以FG长为半径，在BC的下方画弧，与之前的弧交于点H，再以点H为圆心，以FG长为半径，在点H下方画弧，与第一个弧交于点K，连接BK，并延长至点D，即可得出∠CBD=2∠ABC．【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求，此时线段AE的长为点A到直线BC的距离．（2）解：如图，∠CBD即为所求，【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型04尺规作图-过直线外一点作这条线的平行12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．【详解】解：若要过点C作AB的平行线，则应过点C作一个角等于已知角，由作图可知，选项A符合题意，故选A．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．13．（2023·甘肃天水·统考一模）如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据AB=a，点B在射线AK上，过点A作AB=a；根据等边三角形性质，得AB=BC=AC，分别过点A、B，a为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；（2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S'，根据平行线和相似三角形的性质，得ADS'【详解】（1）作图如下：四边形ABCD是所求作的四边形；（2）设直线BC与AD相交于点S，∵DC//∴△SBA∽△SCD，∴SA设直线PQ与AD相交于点S'同理S'∵P，Q分别为AB,CD的中点，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．14．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P．求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；③作直线PC．直线PC即为所求作．根据尺规作图，完成下面的证明：证明：连接BP．∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．【答案】AP，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行【分析】连接BP，由圆中等弦对等弧，根据圆周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行即可得到结论．【详解】证明：连接BP，如图所示：∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（等弧所对的圆周角相等），∴直线PC∥直线l（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查尺规作图与几何证明综合，涉及到尺规作图、圆的性质、圆周角定理和平行线的判定，熟练掌握尺规作图及内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．15．（2022·北京大兴·统考二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上任取两点A，B；②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；③作直线PQ．直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵PA=QB,AB=PQ，∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．即PQ∥l【答案】(1)见解析(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可；（2）利用平行四边形的性质与判定证明即可．【详解】（1）解：如图所示，直线PQ就是所求作的直线．（2）证明：∵PA=QB，AB=PQ∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）．即PQ//【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．题型05尺规作图-作三角形（含特殊三角形）16．（2023·浙江台州·统考一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；B、根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，根据角平分线的作法可知，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，故选D．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．17．（2021·安徽·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°【答案】D【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=由作图痕迹可知BC=BD，∴∠BDC=∴∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=180故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．18．（2020·山东东营·统考模拟预测）如图是作ΔABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（

）A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角【答案】C【分析】观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的条件.【详解】解：观察ΔABC的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,故已知条件为：两角及夹边，故选C.【点睛】本题主要考查三角形作图及三角形全等的相关知识.19．（2019·甘肃兰州·统考一模）已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．【答案】见解析【分析】先作∠DAB=α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【详解】解：如图，△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．（2021·吉林·统考一模）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC，点B在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【分析】（1）由题可知，点B满足BA=BC,∠ABC=90°这两个条件，BA=BC说明点B在AC的垂直平分线上，∠ABC=90°说明点B在以AC为直径的圆上，故可作AC的垂直平分线及以AC为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以C为圆心，【详解】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；【点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键.题型06尺规作图-作角平分线21．（2021·山东青岛·统考一模）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．【答案】见解析【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交∠MAN的两边于B，C．【详解】作法：(1)作∠MAN=∠α，(2)作∠MAN的平分线AP，并在射线AP上截取AD=a，(3)过点D作直线BC⊥AD分别交∠MAN的两边于B，C，则△ABC为所求的三角形．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图．22．（2023·吉林长春·校联考一模）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．【详解】A、如图，由作图可知：OA=OC,AB=BC，又∵OB=OB，∴△OAB≅△OCB，∴∠AOB=∠COB，∴OB平分∠AOC．故A选项是在作角平分线，不符合题意；B、如图，由作图可知：OA=OB,OC=OD，又∵∠COB=∠AOD，∴△OBC≅△OAD，∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，∴AC=BD，∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，∴△AEC≅△BED，∴AE=BE，∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，∴△OAE≅△OBE，∴∠AOE=∠BOE，∴OE平分∠AOB．故B选项是在作角平分线，不符合题意；C、如图，由作图可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，∴∠DOB=∠CDO，∴∠COD=∠DOB，∴OD平分∠AOB．故C选项是在作角平分线，不符合题意；D、如图，由作图可知：OA=BC,OC=AB，又∵OB=OB，∴△AOB≅△CBO，∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,故D选项不是在作角平分线，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．23．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（

）A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD=【答案】D【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=12根据作图过程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故选项A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故选项B成立；没有条件能证明CD=12故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．24．（2023·陕西·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：AD＝AE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ABD=12∠ABC∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．25．（2023·甘肃酒泉·统考一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【详解】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，∴∠CBE=∠BEC，∴BC=EC，∵AB=BC，∴AB=EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCE为菱形．【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．题型07尺规作图-作垂直平分线26．（2023·山东泰安·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1【答案】6【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明AE=BE,AD=BD,利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．【详解】解：∵CE=1∴AE=3,AC=4,如图，连结BE,由作图可得：MN是AB的垂直平分线，∴AE=BE=3,AD=BD,∵∠ACB=90°,∴BC=3∴AB=4∴CD=故答案为：6【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．27．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为【答案】50°/50度【分析】根据作图可知DA=DB，∠DAB=∠B=20°，根据直角三角形两个锐角互余，可得∠CAB=70°，根据∠CAD=∠CAB−∠DAB即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，由作图可知MN是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=20°，∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=70°−20°=50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出MN是AB的垂直平分线，是解题的关键．28．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于12(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．(2)求证：四边形AEDF是菱形．【答案】(1)垂直平分线(2)见详解【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；（2）由题意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF，然后可证△AOF≌△AOE，则有OF=OE，进而问题可求证．【详解】（1）解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴∠AOF=∠AOE=90°,AO=DO,AF=DF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAO=∠EAO，∵AO=AO，∴△AOF≌△AOE（ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．题型08尺规作图-作三角形的中线与高29．（2021·江西·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作△ABC的高AM；（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点△ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF⊥AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE⊥AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点△ABC中AB=AC且垂直，∴以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM⊥BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∴过点C且是4×1格的对角线即为如图所示的CF，∴CF⊥AB同理AC是4×3格的对角线，∴过点B且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∴BE⊥AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∴连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键．30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐标系中，画出点A0,2，点B4,0，点C与点A关于（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．（2）求出△ABE的面积．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）标出点A0,2，点B4,0，依据轴对称的性质，即可得到点（2）根据三角形面积计算公式，即可得到△ABE的面积S的值．【详解】解：∵点C与点A关于x轴对称且A0,2∴C如下图所示，依次在图中画出点A、点B与点C并连接即可，又∵AE是BC边上的中线，∴E如图所示，连接AE即可；（2）S【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系基础，解题的关键是学会利用轴对称性质求坐标及面积．31．（2022·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析【分析】根据CD=2BD，可得S△ADC=2S△ABD，，在边AC上找一点P，使△PAD的面积等于△BAD的面积，即找到AC的中点即可，即作AC的垂直平分线交AC于点【详解】如图，点P即为所求，【点睛】本题考查了三角形中线的性质，作垂直平分线，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．题型09尺规作图-画圆32．（2022·福建·一模）如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；(2)在（1）的条件下，已知∠BOC=α，将线段AB绕点A逆时针旋转α后与⊙O交于点E．试证明：B、C、E三点共线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）只需要作AB的垂直平分线，其与AC的交点即为圆心O，由此作图即可；（2）先由圆周角定理求出∠BAC=12α，再由旋转的性质求出【详解】（1）解：如图所示，圆O即为所求；（2）解：如图所示，连接CE，OE，∵∠BOC=∴∠BAC=由旋转的性质可知∠BAE=α，∴∠CAE=∴∠COE=在△OBC和△OEC中，OB=OE∠BOC∴△OBC≌△OEC（SAS），∴∠OCE=∠OCB=90°，∴∠OCB+∠OCE=180°，∴B、C、E三点共线．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，画圆，圆周角定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知性格知识是解题的关键．33．（2022·山东青岛·校考二模）已知：△ABC．．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上，【答案】见详解．【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．34．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P【答案】详见解析【分析】作∠BAC的角平分线AP交BC于点P，以P为圆心，BP为半径作⊙P即可．【详解】解：如图，⊙P即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型10尺规作图-过圆外一点作圆的切线35．（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．(1)过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先作OP的垂直平分线，交OP于一点，再以这个点为圆心，以该点到O点的距离为半径画弧线交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可；（2）先证明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，从而证得PI平分∠APB，进一步得到OP垂直平分AB，再证明∠OAD=∠API，最后根据∠OAI=∠OIA证得∠DAI=∠PAI，得到AI平分∠BAP，即可证得点I是△ABP【详解】（1）解：如图所示，PA，PB圆为所求作的⊙O的两条切线，其中切点分别为A，B．（2）证：连接AI,BI,OA,OB，记AB与OP的交点为D．由（1）得PA,PB都是⊙O的切线，切点分别为A，B，∴OA⊥PA,OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠OAD+∠DAP=90°．∵OA=OB,OP=OP，∴RtΔAOP≌RtΔBOP∴PA=PB,∠API=∠BPI，即PI平分∠APB，∴点O，P在线段AB的垂直平分线上，即OP垂直平分AB．∴∠ADP=90°，∴∠OAD+∠API=90°，∴∠OAD=∠API．∵OA=OI，∴∠OAI=∠OIA，即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，∴∠DAI=∠PAI，即AI平分∠BAP，∴点I是△ABP的内心．【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．36．（2023·山东·统考一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．【答案】见解析【分析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作⊙P，再过D点作AB的垂线交⊙P于Q点，接着在AC上截取AF=AQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，OF为半径作圆即可．【详解】如图，⊙O为所作．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．题型11尺规作图-找圆心37．（2023·广西·统考三模）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在△ABC中，连接AO交BC于点E，连接OB，当AB=AC=10cm(3)若直线l到圆心的距离等于253【答案】(1)见解析(2)25(3)相切【分析】（1）分别作AB、AC的垂直平分线，二者的交点O即为圆心；（2）根据题意可得AE⊥BC，则BE=CE=8cm，利用勾股定理求出AE=6（3）根据直线到圆的距离等于半径，即可知直线l与圆相切．【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；

（2）解：∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=CE=1在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=∴OE=OA−AE=R−6在Rt△OBE中，由勾股定理得O∴R2解得R=25∴所求圆的半径为253（3）解：∵直线l到圆心的距离等于253，且圆的半径为25∴直线l与圆相切，故答案为：相切．【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．38．（2021·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．（1）请完成如下操作：①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径＝；（3）求∠ACO的正弦值．【答案】（1）答案见解析；（2）①6,2，2,0，②25；（3）3【分析】（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；②在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用△AOC的面积等积转换求得AM的长度，然后在Rt△AMC中利用正弦函数的定义求得∠ACO的正弦值．【详解】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），故答案为：（6，2），（2，0）；②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝OD故答案为：25（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．则12OA•CH＝12OC•AM，即12×4×6＝1解得，AM＝610在Rt△AMC中，sin∠ACO＝AMAC【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．题型12尺规作图-作外接圆39．（2023·江西·统考二模）如图，一个含有30°角的直角三角形内接于圆，点D是AC上的点，AD=2DC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．

(1)在图1中作直角三角形的外心O；(2)在图2中作直角三角形的内心H．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形外心的性质，直角三角形的外心在斜边上，且与斜边的中点重合，即可得到答案；（2）根据三角形内心的定义：三角形的内心为三条角平分线的交点，即可得到答案．【详解】（1）解：如图1，点O即为所求，

，连接BD并延长与圆交于点E，延长AE、BC交于点F，连接DF与AB交于点O，点O即为所求；（2）解：如图2，点H即为所求，

连接BD并延长与圆交于点G，延长AG、BC交于点M，连接DM与AB交于点O，延长MO与圆交于点N，连接CN与BG交于点H，点【点睛】本题主要考查了尺规作图—直角三角形的内心、外心，熟练掌握三角形内心、外心的定义与性质，是解题的关键．40．（2022·福建龙岩·校联考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)作Rt△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，过点C作⊙O的切线CD，求证：∠A＝∠DCB．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题意知，Rt△ABC外接圆的圆心为线段AB的中点，作AB的垂直平分线MN，MN与AB的交点即为圆心O，然后以（2）如图2，由题意知∠OCD=90°，∠ACB=90°，可求【详解】（1）解：由题意知，Rt△ABC外接圆的圆心为线段AB的中点，作AB的垂直平分线MN，MN与AB的交点即为圆心O，然后以（2）证明：如图2，由题意知∠OCD=90°∵∠∴∠∵OA∴∠∴∠A【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，三角形的外接圆，切线的性质，直径所对的圆周角为90°，等边对等角等知识．解题的关键在于画出直角三角形的外接圆．题型13尺规作图-作内切圆42．（2023·陕西渭南·校考一模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法作出△ABC的内切圆【答案】见解析【分析】作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过O点作OH⊥BC于H点，再以O点为圆心，OH为半径作圆，则【详解】解：作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过O点作OH⊥BC于H点，再以则⊙O【点睛】本题主要考查了复杂作图、三角形的内切圆与内心等知识点，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键．题型14尺规作图-作圆内接正多边形43．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．∵BD垂直平分AC，AC为⊙O∴BD为⊙O∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四边形ABCD是⊙O【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．44．（2019·江苏扬州·校联考一模）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（1）作△ABC的外接圆圆心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；（2）取BF＝CH＝AD构成等边三角形；（3）作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形．【详解】（1）如图所示：点O即为所求．（2）如图所示，等边△DFH即为所求；（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．45．（2018·山西太原·统考一模）已如：⊙O与⊙O上的一点A（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，AB=【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：连接BE，如图，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴AB=∴BC+∴BAE=∴BE为直径，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四边形BCEF为矩形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．题型15尺规作图-格点作图46．（2023·吉林长春·校考模拟预测）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的12(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的12(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用全等三角形的性质，寻找点D，使点D为线段AC的中点，连接BD即可；（2）仿照（1）的方法，利用网格线与三角形各边的交点找到三边的中点，再连接一个中点与三角形的顶点构成一条中线，连接另两个中点构成一条中位线，中线与中位线相交于点E，连接AE、（3）仿照（1）的方法，利用三角形的边与网格线的交点找到AB、AC的中点，然后构造两条三角形的中线，两条中线的交点为F，连接【详解】（1）如图1中，点D即为所求．

图1（2）如图2中，点E即为所求．

图2（3）如图3，点F即为所求．

图3【点睛】本题考查了利用网络线与三角形各边的交点寻找线段中点的方法，涉及三角形全等的判定与性质、中位线定理、三角形面积计算，解题的关键是能综合运用这些知识点．47．（2023·江苏盐城·统考三模）如图，在6×6的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．

(1)在图1中作出AB边上的点E，使得BE=4(2)在图2中作出AC边上的点F（不与点A重合），连接DF，使得DF=(3)在图3中作出AB边上的点G，使得tan∠【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）构造线段AF∥BD，且使AFBD=1（2）过点A作AM⊥BC，交BC于点F．连接（3）取格点K，连接BK，交网格线于点G，连接GC，取格点M，N，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点G是符合条件的点．【详解】（1）解：如图所示，取AF=1，BD=4，连接DF，交

∵AF∥∴△∴AEBE∴BE=4∴点E就是所求作的符合条件的点．（2）解：如图所示，过点A作AM⊥BC，交BC于点F，连接

∵AM⊥∴∠AFB∵点D是AB的中点，∴DF=∴DF=∴点F就是所求作的符合条件的点．（3）解：如图所示，取格点K，连接BK，交网格线于点G，连接GC，取格点M，N，

∵∠KNG=∠BMG∴△KNG∴KGBG∵BC=12+4∴BC∴∠CBK∴在Rt△CBG中，∴tan∠【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键．48．（2023·江苏宿迁·模拟预测）用无刻度直尺作图：

(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF(3)如图2，在BC上作点N，使CN=5(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）作一个网格的对角线MN交AB于点E，连接CE，则点E即为所求；（2）取（1）中CE交一格点P，过点P作PQ平行CF（1×2网格对角线），且PQ=CF=5，连接（3）取格点G，连接AG，则AG与BC的交点即为点N；（4）取格点P、Q，连接PQ（2×3网格的对角线）交点B所在的水平网格线于点E，连接CE交AB于点M，则点M即为所求．【详解】（1）解，如图，点E即为所求；

证明：网格中，AB是4×4网格的对角线，∴∠ABC由勾股定理可得：AC=由作法可知：AE是一个网格对角线的2.5倍，即2.52∴ACAB又∵∠CAE∴△ACE∴∠ACE（2）解：如图，点D即为所求；

证明：由作法知PQ∥CF，∴四边形PCFQ是平行四边形，∴FD∥∴∠AFD由（1）知：∠ACE∴∠AFD又∵∠AFD∴∠ADF（3）解：如图，点N即为所求．

证明：由作法知BG∥AC，BG=1∴△BNG∴BNCN=BG（4）解：如图，点M即为所求．

证明：在点P的下方取格点D、F，PD=1，PF=3，QF∴∠ACD=∠ABD∵DE∥∴△PDE∴DEFQ∴DE=∴CDBD又∵∠CDE∴△CDE∴∠DCE∴∠ACD+∠DCE【点睛】本题主要考查了网格作图、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．题型16判断是否命题49．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，已知直线l和直线l外一点P，下列说法不正确的是（

）A．过点P有且只有一条直线与直线l平行B．过点P有且只有一条直线与直线l垂直C．在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短D．过点P作直线l的垂直平分线，只能作一条【答案】D【分析】根据垂线的定义和垂线的性质及平行线的判定对各小题分析判断即可得解．【详解】A、过点P有且只有一条直线与直线l平行，故正确，不符合题意；B、过点P有且只有一条直线与直线l垂直，故正确，不符合题意；C、在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短，故正确，不符合题意；D、直线没有垂直平分线，故错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．50．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考三模）以下不是命题的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题C．画线段AB=5cm 【答案】C【分析】利用命题的定义进行判断即可确定正确的选项．【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题，不符合题意；B、定理一定是真命题，是命题，不符合题意；C、画线段AB=5D、全等三角形对应角相等，是命题，不符合题意；故选：C．【点睛】考查了命题的定义，解题的关键是了解“对一件事情作出判断的句子”是命题，难度不大．题型17判断命题真假51．（2023·江苏泰州·统考一模）下列4个命题中，真命题是（

）A．正五边形是中心对称图形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．同位角相等D．函数y=1x中，y【答案】B【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据正五边形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、反比例函数的性质判断即可，解题的关键是要熟练掌握以上知识的应用．【详解】解：A、正五边形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、函数y=1x中，在每个象限，y故选：B．52．（2021·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）命题“如果x=y，那么x2【答案】假【分析】本题主要考查了命题与定理，先写出原命题的逆命题，再判定逆命题的真假即可．【详解】解：命题“如果x=y，那么x2=y故答案为：假．53．（2023·湖南娄底·统考一模）下列命题中是假命题的是（

）A．同位角相等 B．单项式3aC．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直【答案】A【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据平行线的性质，单项式的概念，线段的性质，菱形的性质逐项判断即可．【详解】因为同位角不一定相等，所以A是假命题，符合题意；因为单项式3a2b因为两点之间线段最短，所以C是真命题，不符合题意；因为菱形的对角线互相垂直，所以D是真命题，不符合题意．故选：A．54．（2023·广东深圳·校考模拟预测）下列命题是真命题的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．若三条直线a⊥c，bC．相等的弧所对的弦相等D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0【答案】D【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题；B、若在同一平面内，三条直线a⊥c，b⊥C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题；D、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0，此选项说法正确，是真命题；故选：D．【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉课本中的性质定理．55．（2022·北京海淀·校考模拟预测）下列命题中的假命题是（

）A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形【答案】D【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，以及等边三角形的性质进行逐项判断即可．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，真命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；D、等边三角形既是轴对轴图形，不是中心对称图形，假命题，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．熟练掌握相关知识是解答的关键．题型18举反例说明命题为假命题56．（2020·北京东城·二模）判断命题“如果n<1，那么A．12 B．−12 C．0【答案】D【分析】反例中的n满足n<1，使n【详解】解：当n=−2时，满足n<1，但所以判断命题“如果n<1，那么n2−1<0故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．57．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于A．△ACE和△BCE B．△C．△CDE和△BCD D．△【答案】D【分析】利用含有30°角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，求出△ACE和△BCE的每个角，可以判断出两个三角形三角不对应相等，对A进行判断；△BCE是等边三角形，△ABC是直角三角形，三角不对应相等，对B进行判断；利用AAS证明△CDE≌△CDB，并且两个三角形的三角对应相等，对C进行判断；在△【详解】解：A、∵∠ACB=90°，∴∠∵∴∠∴∠BCD=30°∵CE是△ABC的中线且∠∴∴∠∴∠ECD=30°在△ACE中，∠CAE在△BCE中，∠两个三角形三角不对应相等，故本选项不符合题意；B、∵BC=∴△BCE∵△ABC∴两个三角形三角不对应相等，也不全等，故本选项不符合题意；C、在△CDE和△∵∠DCE=∠又∵∠CDE=∠CDB∴△故本选项不符合题意；D、在△ACD和△BCD中，∠A=∠两三角形三角对应相等，但AC≠故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了真假命题的判断，及含有30°角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，三角形全等的判定，对命题的正确理解是解答本题的关键．58．（2023·浙江杭州·校联考二模）能说明命题“若X2>16，则X>4【答案】X【分析】当X=−5时，满足X2=−52=25>16，但是不满足X>4【详解】解：说明命题“若X2>16，则X>4故答案为：X=−5【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的命题叫做定理，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．59．（2023·江苏无锡·校考二模）能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，b的值可以是．【答案】a=3，【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一组a，b的值即可．【详解】解：当a=3，a+∴a=3，b故答案为：a=3，【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例．题型19写出命题的逆命题60．（2023·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等【答案】D【分析】根据逆命题定义得到各选项的逆命题，再判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，A选项逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意，B选项逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，C选项逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，D选项逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意，故选D；【点睛】本题考查逆命题及命题真假判断，解题的关键是将原命题的结论与题设对调得到逆命题．61．（2023·山东聊城·统考三模）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相平分且相等【答案】A【分析】先写出各个选项的逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，逐个进行判断即可．【详解】解：A、逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，故A符合题意；B、逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”，是假命题，故B不符合题意；C、逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题，故C不符合题意；D、逆命题为“对角线互相平分且相等的四边形是正方形”，是假命题，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，再进行判断．62．（2023·安徽滁州·统考二模）命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题是．【答案】如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数【分析】根据逆命题的定义，即可．【详解】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，∴命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题为：如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数，故答案为：如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义．63．（2023·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果a>b，那么a>【答案】如果a>b【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案．【详解】解：命题“如果|a>b，那么a>b”的逆命题是：如果故答案为：如果a>b，那么【点睛】本题考查的是命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．64．（2023·安徽宿州·统考一模）命题“如果3a+3b=0【答案】如果a+b【分析】根据逆命题的概念解答即可．【详解】解：命题“如果3a+3b=0，那么a故答案为：如果a+b=0【点睛】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．题型20反证法证明中的假设65．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则A．a∥b B．c∥b C．a与b相交 D．【答案】D【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥首先应假设a与c不平行，即a与c相交．故选：D．【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．66．（2020·浙江杭州·模拟预测）用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则A．a与b不平行 B．a⊥b C．a，b都不垂直于c D．a【答案】A【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设a与b不平行，故选：A．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．67．（2018·江苏泰州·统考一模）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（）A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行【答案】C【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.故选C.题型21用反证法证明命题68．（2019·河北唐山·校联考一模）已知△ABC中，AB=AC①∴∠A+∠B②因此假设不成立．∴∠③假设在△ABC中，④由AB=AC，得∠B这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，1、假设在△ABC中，∠2、由AB=AC，得∠B3、∴∠A+∠B4、因此假设不成立．∴∠B综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．故选：D．69．（2020·河北·校联考二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若AB//CD，且AB、CD被EF以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O作直线A'B'②依据理论依据1，可得A'③假设∠AOF④∴∠AOF⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．证明步骤的正确顺序是（

）

A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设∠AOF如图2，过点O作直线A'B'∴A'这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴∠AOF故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．70．（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么32证明：假设32那么存在两个互质的正整数n，m，使得32∵n∴____________________，可设n=2t（t为正整数），则∴_____________，即4t∴__________________，∴m，n因此假设不成立，即32将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是．（填上序号）①8t3=2m3；

②n3=2m3【答案】②④①③【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．【详解】证明：假设32那么存在两个互质的正整数n，m，使得32=n∵n∴n是2的倍数，可设n=2t（t为正整数），则∴8t3=2∴m是2的倍数，∴m，n因此假设不成立，即32故答案为：．②④①③【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB=AG

A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据题意的作图可得BH平分∠ABC，则∠ABH=∠CBH，由AB=AG，可得∠ABG=∠AGB，从而∠CBH=∠AGB，因此AD∥BC，又【详解】根据题意的作图可得BH平分∠ABC∴∠ABH∵AB=∴∠ABG∴∠CBH∴AD∥∵AB∥∴四边形ABCD是平行四边形，∴CD=∵AB∥∴∠ABH∵∠ABG=∠AGB∴∠HGD∴DH=∴CH=故选：C【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连接OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若

A．123cm2 B．63cm2 C【答案】B【分析】过P作PM⊥OB于M，再判定四边形【详解】解：过P作PM⊥OB于

由作图得：OP平分∠AOB∴∠POB∴PM=∴OM=∵PE∥OA，∴四边形PFOE为平行四边形，∠EPO∴∠POE∴OE=设OE=在Rt△PEM中，即：x2解得：x=2∴S四边形故选：B．【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．3．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使

A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠【答案】D【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG=【详解】根据题中所给的作图步骤可知，AG是△ABC的角平分线，即∠当AB=AC时，又∠BAG所以△ABG所以BG=故A选项不符合题意．当AG⊥∠AGB又∠BAG=∠CAG所以△ABG所以BG=故B选项不符合题意．当∠DGB因为∠BAG=∠CAG，AD所以△ADG所以∠AGD又∠DGB所以∠AGD即∠AGB又∠AGB所以∠AGB则方法同（2）可得出BG=故C选项不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．4．（2023·海南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D

A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【分析】由作图可得：MN为直线BC的垂直平分线，从而得到BD=CD，则【详解】解：由作图可得：MN为直线BC的垂直平分线，∴BD∴∠DBC∴∠ADB故选：C．【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形