层合板的刚度及强度

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第五章 层合板的刚度5.1引言层合板(Laminate)是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。每一层单向板(Unidirectionallamina)称为层合板的一个铺层。各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非匀称性。层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。与单向板相比，层合板有如下特征：(1)因为各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板普通没有决定的材料主方向。(2)层合板的结构刚度取决于铺层的性能和铺层的叠放次序，对于决定的铺层和叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。(3)层合板有耦合效应，即面内拉压、剪切载荷可产生弯曲、扭改变形，反之，在弯、扭载荷下可产生拉压、剪切变形。(4)一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可继续承载，层合板不一定失效。因而，对层合板的强度分析要复杂无数。(5)在固化过程中，因为各单层板的热胀冷缩不一致，在层合板中要引起温度应力，这是层合板的初应力。(6)层合板由不同的单层粘结在一起，在变形时要满意变形协调条件，故各层之间存在层间应力。

5.2层合板的标记1212kN1zh/2h/2中面 如图所示，层合板总厚度为h，有N个铺层。通常将层合板中面(平分板厚的面)设置为xy坐标面，z轴垂直板面。沿z轴正方向将各铺层依次编号为1～N，第k层的厚度为tk铺设角(纤维与x轴的夹角)为k，其上下面坐标为zk和zk-1。

倘若各铺层的材料和厚度相同，沿z轴正方向依次标出各层的铺设角k(k=1,2,…,N)，便可表示囫囵层合板。如[0/45/90]T，表示有三个铺层的层合板，各层厚度相同，铺设角依次为0o、45o、90o，下标“T”表示已列出所有铺层。[0/90]S＝[0/90/90/0]T，下标“S”表示对称铺设。[0/452/90]T＝[0/45/45/90]T，[0/90]2T＝[0/90/0/90]T，下标数字表示重复铺层。[0/45]S＝[0/45/－45]S，表示正负铺层延续铺设。对于各铺层厚度不同的层合板，还需注明各铺层的厚度，如[0t/902t/453t]T，表示1到3铺层的厚度依次为t、2t、3t。对于不同纤维的混杂铺层，可用下标区别，如[02C/45G]S，C-碳纤维，G-玻璃纤维。对于单向与双向铺层混合铺设，用“()”表双向铺设，如[0/(0,90)/(45)]S。

依层合板结构的对称性，层合板分为以下几种：(1)对称层合板：铺层的几何尺寸和材料性能都对称于中面如[30/－60/15/15/－60/30]T=[30/－60/15]S，[0t/902t/453t/902t/0t]T=[0t/902t/451.5t]S。(2)反驳称层合板：各层的铺设角关于中面反驳称，其它几何尺寸及性能对称如[－45/30/－30/45]T，把0o和90o也看作交错角，以下层合板也是反驳称的，[0/90/0/90/0/90]T，[－45/30/0/－30/45]T，[30/45/90/－45/－30]T。(3)非对称层合板：各层的铺设角关于中面没有对称性或反驳称性。(4)夹芯层合板：用层合板作为面板，中间夹有低密度芯子的夹芯结构。当材料质量相同时，夹芯结构可提高抗弯性能及受压稳定性。

5.3层合板的模量研究的层合板为等厚度薄板，即层合板厚度与长、宽相比小无数，沿厚度方向位移与板厚相比小无数。对于薄板，作如下基本假设：(1)直法线假设：变形前的中面法线，变形后仍保持直线且垂直于变形后的中面。这等于各铺层间完好粘结，沿厚度方向位移延续且无剪切变形，有 (5-SEQ(5-\*ARABIC1)(2)层合板的厚度不变，即 (5-SEQ(5-\*ARABIC2)(3)正应力与其它应力比很小，可忽略，各铺层处于平面应力状态。在上述假定基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论。

5.3.1层合板的应力应变关系考虑N层厚度为h的层合板，xy坐标面为层合板的中面。层合板中随意一点的位移分量为u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)。由基本假定得 (5-SEQ(5-\*ARABIC3)将上面式子对z积分，得 (5-SEQ(5-\*ARABIC4)式中、、w为中面的位移分量，且只是x、y的函数。w又称为挠度函数。

由几何方程有 (5-SEQ(5-\*ARABIC5)写成矩阵形式为 (5-SEQ(5-\*ARABIC6)式中， (5-SEQ(5-\*ARABIC7)分离为中面的应变分量和曲率分量(kxy为扭曲率)。

在xy坐标系中，第k层的应力应变关系为其中、、、为的偶函数，、为的奇函数。把它带入(5-6)得 (5-SEQ(5-\*ARABIC8)因为各铺层的不同，层合板的应变沿厚度方向是线性分布的，各层应力不延续分布，但在每一层是线性分布的，见图。11234z0zK+＝zQ=Q

xzxzyMxMyMxyNxNyNxyNyxMyx要使(5-8)所示的应力分量在层合板的侧面上确切地满意应力边界条件，普通是相当艰难的。可应用圣维南原理，使层合板在厚度方向的应力分量合成的内力(合力及合力矩)整体地满意边界条件。具有N层铺层的层合板厚度为h，在x、y为常量的横截面上，单位宽度上的合力、合力矩分离为Nx、Nxy、Mx、Mxy和Ny、Nyx、My、Myx。它们可由各铺层上的应力沿层合板厚度方向积分得到， (5-SEQ(5-\*ARABIC9)，沿z方向应力分量在各铺层间延续分布，把每一层的应力应变关系(5-8)带入式(5-9)，得 (5-SEQ(5-\*ARABIC10) 因为中面应变与曲率与z无关，上式积分，得 (5-SEQ(5-\*ARABIC11)式中， (5-SEQ(5-\*ARABIC12)其中Aij称为拉压刚度，Bij为耦合刚度，Dij为弯曲刚度，为第k层的厚度，为第k层中面的z坐标。 因为Bij的存在，层合板的面内内力Nx、Ny、Nxy、可产生弯曲(kx、ky)与扭转(kxy)变形，而弯矩(Mx、Mxy)和扭矩(Mxy)可引起面内伸缩与剪切变形。

5.3.3层合板的柔度层合板的柔度矩阵可以由刚度矩阵求逆得到。将(5-11)写成矩阵形式为 (5-SEQ(5-\*ARABIC13)式中，，，，，将其展开 (SEQ(\*alphabetica) (SEQ(\*alphabeticb)由(a)得 (SEQ(\*alphabeticc)将(c)带入(b)得 (SEQ(\*alphabeticd)由(d)得 (SEQ(\*alphabetice)将(e)带入(c)得 (SEQ(\*alphabeticf)把(e)、(f)合并，写成分块矩阵的形式为 (5-SEQ(5-\*ARABIC14)式中 (5-SEQ(5-\*ARABIC15)如耦合刚度矩阵B=0,层合板的面内内力/变形弯扭变形/力矩解耦。这是有刚度矩阵：即柔度矩阵为：即且

5.4典型层合板的刚度5.4.1单层板的刚度由一层单向板或多层单向板按相同的主方向铺设粘合而成的层合板，均视为单层板。1．普通各向异性单层板因为单层板中面坐标，板厚为h，带入(5-12)得， (5-SEQ(5-\*ARABIC16)对于单层板，Bij=0，故不存在拉弯耦合关系。2．正交各向异性单向板坐标轴与材料主方向重合时由(5-16)知，除还有。即不存在耦合效应(无拉剪耦合，无弯扭耦合，也无拉弯耦合)。

5.4.2对称层合板的刚度对称层合板(Symmetriclaminite)各铺层的材料与几何尺寸都对称于中面。1．对普通对称层合板两两对称于层合板中面的铺层的模量相同，其中面坐标将等值反号，如，；，，带入(5-12)得耦合刚度，Bij=0即对称层合板，不存在拉弯耦合关系。2．对正交各向异性铺层的对称层合板坐标轴与材料主方向重合时，各铺层的模量为由(5-16)知，除还有。即不存在耦合效应(无拉剪耦合，无弯扭耦合，也无拉弯耦合)。 5.4.3反驳称层合板的刚度反驳称层合板(Skewsymmetriclaminite)各铺层的材料、厚度、铺设角度两两对称于层合板的中面，但铺设角的符号却相反。其层数为偶数。由铺层的模量随铺设角的的关系知，、、、为的偶函数，、为的奇函数。于是对于＋角铺层 对于－角铺层 对于两两反驳称于层合板中面的铺层的模量、将等值反号，厚度相等，中面坐标将等值反号，如，，，；，，，，带入(5-12)得反驳称层合板的刚度系数有，这样，反驳称层合板的合力与合力矩为对于反驳称层合板，因为Bij的存在，层合板的面内内力Nx、Ny、Nxy、可产生弯曲(kx、ky)与扭转(kxy)变形，而弯矩(Mx、Mxy)和扭矩(Mxy)可引起面内伸缩与剪切变形。但因为，面内拉压与剪切不耦合，弯曲与扭转不耦合。1．反驳称角铺设层合板因为、、、为的偶函数，可知其合力与合力矩为所以，此种反驳称层合板有拉伸与扭转的耦合。

2．反驳称正交铺设层合板如0/90/0/90。因为，及，可知，其合力与合力矩为所以，此种反驳称层合板有拉伸与弯曲的耦合。

5.4.4准各向同性层合板倘若叠层板各层的弹性性质和厚度均相同，总层数，各层纤维方向按下列次序罗列：则叠层板在x-y平面内具有各向同性的弹性性质。证实如下。当时，有带入得到值与无关，具有面内各向同性的弹性性质。符合条件的铺层方式可以是(亦即[0/60/-60])、(亦即[0/45/90/-45])等等。此种铺层为平面内为各向同性，但并不符合各向同性条件，弯扭时不是各向同性。因而称为准各向同性(quasi-isotropic)铺层方式。也可以采用工程弹性系数的形式来表示准各向同性叠层材料的面内刚度为：5.4.4不对称层合板的刚度各向异性不对称成合板A,B,D皆为满阵。5.4.5平行移轴定理前面推荐的层合板模量计算，总是把参考坐标系的原点取在层合板的中面上，这样计算的层合板模量可称为层合板的中面模量。然而，复合材料结构件中的模量分析，不一定都是就层合板中面而言的，因而要涉及如何计算层合板非中面的模量问题。例如在飞机及火箭结构上的某些部分，采用截面形状非对称构件，如常用的T型桁条、各种盒形件等。通常，计算这些构件的模量普通取截面形心为坐标原点计算关于该参考轴的模量值。OOzOz0OO′z′x′x如图，轴位于层合板的中面，离开中面的距离为，两坐标系见有关系。新坐标系下的合力与合力矩为相对于轴的力矩为相对于轴力矩与内力对于轴力矩之和。层合板的变形在新坐标系下为因为两坐标系平行，故层合板中应力为令为移轴模量在新坐标系下的本构关系为：利用平行移轴公式可方便地计算具有异形截面的构件的模量。如图为航空航天结构中常见的蒙皮桁条组合件，如蒙皮和T形桁条采用的是复合材料，便可用平行移轴定理计算此组合件的刚度。将它分解为几个矩形1、2、3，取随意轴，求出此典型单元的形心轴式中为各矩形形心到轴的距离，为各矩形的面积，为组合件总截面积。然后以形心轴为参考轴求得各部分的移轴距离。然后再按移轴公式求得囫囵组合件相对于形心轴的刚度。考虑到各部分的不同宽度，则刚度值为面内刚度耦合刚度弯曲刚度xx0x′‘‘d1d2d3b1b2b3123d

第六章 层合板的应力与强度6.1引言因为层合板在厚度方向是非均质的，在载荷作用下，各铺层的应力状态也不同，在加载过程中，破坏首先从达到极限应力的那一层开始。但一层破坏并不意味着囫囵层合板的总算失效，只是板的刚度有所减少，称为刚度降阶，此时尚可继续增强载荷。继而又一铺层破坏，刚度再次降低，直至所有铺层破坏，层合板总算失效。因而，层合板的失效不是骤然发生的，从开始失效到总算失效的是一个累积过程。层合板的强度(或破坏)分为最先一层失效强度与极限强度。在举行分析时，应按照详细情况来以某一状态来判定层合板是否失效的根据。

6.2层合板的应力分析为了分析对层合板举行强度分析，需要分析层合板各铺层中的应力。1．单向板及对称层合板对于单向板及对称层合板，由前面层合板的刚度分析知，其拉弯耦合刚度系数为零，即Bij=0不存在拉弯耦合关系。层合板的面内合力(Nx、Ny、Nxy)与只与中面应变(、、)有关，而合力矩(Mx、My、Mxy)只引起中面的弯扭变形(kx、ky、kxy)：当只受到面内载荷时，中面应变为因无合力矩(Mx、My、Mxy)，因而中面的弯扭变形(kx、ky、kxy)为零。对于比例加载，设，这时中面变形与载荷关系为得到层合板中面的变形后，板内其它位置的变形可以由中面的变形表示：因为中面没有弯扭变形，即，层合板内各点的变形等于层合板中面变形，即层合板内各点的变形得到后，可按照各铺层的应力应变关系，得到每一层的应力，第k层为：在各单层中，沿材料主方向的应力，可通过坐标变换得到：至此，层合板各铺层内的应力与外载荷的关系得到，可以由单向板的强度准则，判断各铺层的失效应力。2．非对称层合板刚度系数、、都存在，存在拉伸与弯扭的耦合。当层合板受到载荷(合力与合力矩)作用时，层合板中面的变形为：在比例加载下，设，，这时，层合板中面的变形为：层合板中面的变形后得到后，板内其它位置的变形可以由中面的变形表示：层合板各层的的变形已知，按照各层的应力应变关系，得到每一层的应力，第k层为：在各单层中，沿材料主方向的应力可通过坐标变换得到。6.3层合板的强度分析分析层合板从开始失效到总算失效的过程，计算步骤如下：先设定各外载荷间的比例，按比例加载。由各铺层的性能，计算层合板的刚度。求各铺层的应力与外载荷间的关系。选用强度准则，判断哪一层最先失效，得到最先一层失效的强度。将已破坏铺层从层合板中排除，保持其余铺层的几何位置，重新计算层合板的刚度。检查其他铺层能否继续承载。增强载荷，重复上述计算过程，直至所有铺层所有失效，得到极限强度。

层合板在载荷作用下，从一层开始失效到总算失效的破坏过程，计算程序如下：给出层合板各铺层的材料性能(模量及基本强度)及几何参数(铺层角度，厚度，次序)给出层合板各铺层的材料性能(模量及基本强度)及几何参数(铺层角度，厚度，次序)各铺层的在材料主方向的模量及在总体坐标下的偏轴模量层合板的刚度系数、、及柔度系数、、层合板中面的变形(应变及曲率k)及各铺层的变形()各铺层的应力(总体坐标下)及在材料主方向的应力分量选用强度准则，比较哪一铺层首先破坏破坏铺层的失效应力判断铺层失效模式:若或,则基体失效若,则纤维失效失效层刚度降阶:若基体失效而纤维未失效,不变,其余模量为零若纤维失效,所有模量为零所有铺层失效,极限强度Nx2Nx231yx三层正交铺设层合板如图所示。外层厚度为t1,内层为t2＝10t1,总厚度为t,各铺层均为玻璃、环氧树脂，力学性能如表。板承受面内拉力Nx,分析层合板的强度。E1/GPaE2/GPa21G12/GPaXt=Xc/GPaYt/GPaYc/GPaS/GPa53.7417.950.258.631.0340.0270.1380.041计算层合板首层破坏的强度计算各铺层的刚度计算材料主方向的刚度系数:得GPa计算各铺层在整体坐标系xy下的刚度因为是正交铺设，于是有GPaGPa

计算层合板的刚度层合板的合力与合力矩为与层合板中面变形的关系为拉伸刚度为，，计算得到GPa耦合刚度为，弯扭刚度为(此例中无弯扭载荷，不用计算)。层合板的柔度矩阵可以由刚度矩阵求逆得到， 层合板的拉伸柔度为(GPa)-1

层合板中面及各铺层的变形层合板中面的变形为(GPa)-1，{k}=0各铺层的变形为(GPa)-1

层合板各铺层的应力GPa在材料主方向坐标系下，采用强度准则，计算各铺层破坏的强度将各铺层的应力带入强度准则，如Tsai-Hill准则，计算出各铺层破坏时的载荷Nx，其中最小的Nx所对应的铺层就是最先破坏的铺层。将各铺层材料主方向下的应力，带入Tsai-Hill准则中得第1、3层的破坏载荷为Nx/t=209.08MPa第2层的破坏载荷为Nx/t=36.68MPa第2层首先破坏的载荷小，所有第2层首先破坏，其破坏载荷即为最先一层失效的强度为Nx/t=36.68MPa。此载荷下层合板的应变及各铺层的应力为MPaMPa可见MPa，故第二层沿2方向(即x方向)拉伸破坏。层合板首层破坏后继续加载一次降阶后各铺层的刚度第1、3层的刚度不变。第二层沿2方向(即x方向)破坏了，在1方向(即y方向)尚可受力。这时刚度为GPaGPa，GPa上标(1)表示一次降阶后的量降阶后层合板的刚度第2层降阶后，仍为对称层合板，故耦合刚度，拉伸刚度由，，计算得到GPa层合板的拉伸柔度为(GPa)-1

层合板的变形与应力层合板中面及铺层的变形为(GPa)-1，{k}=0层合板各铺层的应力在破坏载荷Nx/t=36.68MPa作用下，MPaMPa带入强度准则，，因此在首次破坏载荷Nx/t=36.68MPa作用下，不会继续破坏。可以继续增强载荷，设为。在继续加载时，计算中通常假定冻结了破坏刚开始时的应力和应变状态，即不考虑破坏时的应力重新分布，继续加载的起点应变及应力状态为MPaMPa

计算各铺层继续破坏的强度降阶后层合板的应变及应力增量为：(GPa)-1，{k}=0应力为将应力带入Tsai-Hill准则，计算出各铺层进一步破坏时最小载荷增量 MPa此时第1、3层破坏，层合板第二次降阶，其应变及应力状态为MPa其应变及应力状态为可见MPa，故第1、3层沿2方向(即y方向)拉伸破坏。这时，1、3层和2层沿纤维方向可继续承载。

层合板再次降阶后的计算二次降阶后各铺层的刚度第1、3层，及第二层都沿2方向破坏了，只沿1方向尚可受力。这时刚度为GPaGPa，GPa二次降阶后层合板的刚度拉伸刚度，计算得到GPa层合板的拉伸柔度为(GPa)-1

层合板的应变及应力在载荷作用下，层合板变形及应力增量为(GPa)-1应力为

计算铺层继续破坏的强度将降阶后各铺层的应力带入Tsai-Hill，计算出各铺层进一步破坏时最小载荷增量MPa第1、3层沿纤维方向破坏了，层合板达到了极限强度。此载荷增量下，层合板的应变增量为层合板总算破坏的极限载荷及应变为：

6.4层合板的层间应力与边缘效应层合板是由性能不同的铺层叠合粘结而成。在载荷作用下，各铺层的变形机理不同，因为已粘结成一体，铺层与铺层之间必然存在互相制约，通过层间产生互相作使劲使变形协调，产生层间应力。理论分析及实验表明，层间应力在自由边缘处最大，且有神奇性。层间应力的存在，常常引起板的自由边缘的分层破坏，从而影响层合板的强度、刚度及疲劳等性能，这种现象称为边缘效应。在经典层合板理论中，因为假定铺层均在平面应力状态下，忽略了应力、、，无法求解层间应力。要分析层间应力，应用三维空间力学分析主意。

第七章 复合材料的热湿应力7.1单层板的热湿变形纤维与基体的热膨胀性能不同，吸湿性也不同，材料性能各向异性。正交各向异性复合材料单层板在不受外载荷情况下，温度变化t时，在材料主方向会产生线应变而无剪应变，热膨胀应变可表示为：yxyx21在非材料主方向，由应变转轴公式其中偏轴向的热膨胀系数复合材料在湿润环境中吸收水分，吸水浓度为：其中为纤维与基体的吸水浓度与质量含量。材料吸水后会变形，在材料主方向产生线应变。湿膨胀系数定义为单位吸水浓度时的应变：单层板吸湿后会发生膨胀变形，在材料主方向会产生线应变而无剪应变，湿膨胀应变可表示为：在非材料主方向，由应变转轴公式可得其中偏轴向的湿膨胀系数7.2单层板的热湿应力应变关系单层板在温度变化及湿度环境中受载荷作用，其总的变形为弹性变形加温度变形再加湿度变形，在材料主方向应变为：表示成应力：在非材料主方向坐标系下，有简写为：7.3考虑热湿变形的层合板的刚度关系第k层板的应力应变关系为：设层合板变形符合直法线假设，层合板的变形可以用中面的变形表示出来： 把层合板的面内应力沿板厚度方向积分得到，得层合板的合力为与合力矩， ，沿z方向应力分量在各铺层间延续分布，把每一层的应力应变关系带入，得式中其中,为热内力和热力矩，它们由温度变化引起，但惟独在彻低约束条件下才是真正的力和力矩；,为湿内力和湿力矩，由材料吸湿引起的，对于匀称温度及吸水浓度，及与坐标无关。可把它们改写成紧凑形式：求逆为：式中7.4叠层复合材料的热膨胀系数1中面热膨胀系数对于单层复合材料有2个热膨胀系数,,沿偏轴方向有3个热膨胀系数,,，其中两个自立的。而对于叠层复合材料，普通可以有6个热膨胀系数。在公式中取得到无外应力作用下，因为温度变化引起的中面应变和曲率变化为：可以把和看作6个广义的热膨胀系数。对于对称铺设层合板，[B]=0，{Mt}=0，因而有此时，温度的变化仅有中面内的变形而无面外的翘曲变形。定义叠层材料中面在x-y坐标中的热膨胀系数为：这3个热膨胀系数是互相自立的，它们不是材料的天然热膨胀，而是热变形的结果。因为有把代入得如各层厚度相同，有此为对称叠层复合材料中面热膨胀系数的计算公式。计算的合理性已为实验证实。2厚度方向热膨胀系数在此仅考虑对称叠层复合材料，且各层的材料及厚度均相同。由上所述，在温度变化下引起的叠层材料在x-y坐标中产生的面内应变为，利用坐标变换，可以得出每层沿材料主轴方向的温度应变为：其中,，详细写出每层沿主轴方向的温度应变分量为：按照应力应变关系，求出各单层沿主轴方向的应力分量为：因为，且单层材料沿横向（2-3平面）为各项同性，因而各单层沿3方向的应变可以表示为：把代入，并利用，可以求出各单层材料沿厚度方向相当的热膨胀系数为：囫囵叠层材料沿厚度方向的平均热膨胀系数可以表示为：显然，与单层材料沿厚度方向的热膨胀系数不同，普通不等于。因为为了保持各层的温度变形互相协调，使得在各层内部产生了温度应力，而这种温度应力会影响沿3方向的温度应变。7.5叠层复合材料的零热膨胀系数设计某些重要的复合材料构件，要求在温度变化环境下具有良好的尺寸稳定性。为此，最有效的途径就是采用热膨胀系数尽量小的材料，从而减小相应的温度变形。目前，一些新型的纤维增强复合材料，如碳纤维、凯夫拉纤维复合材料，不仅热膨胀系数值很小，且其纵向热膨胀系数为负值。因而，利用复合材料的可设计性，可以设计出理论上为零热膨胀系数的材料。7.5.1全方向零热膨胀系数的设计全方向零热膨胀系数是指在中面内任何方向上的热膨胀系数均为零。为此，首先要把复合材料设计成具有各项同性的热膨胀系数性质。在叠层复合材料中面内具有各项同性热膨胀系数性质的条件为：各层的材料性质及厚度均相同，总层数，且各层纤维方向按如下次序罗列：则叠层板在x-y平面内具有各向同性的热膨胀系数。证实如下。把代入当时，有当时，有当时，有其中因而有可得到：，这符合在中面内热膨胀系数各向同性的要求。在实际使用时，偶尔还需要考虑以下两点：希翼不产生温度翘曲现象，因而往往要对称铺设；希翼不仅温度变形为各向同性，而且弹性性质也为各向同性。弹性各向同性也要求，但需。因此，实际可以采用至少6层对称铺设成合板，如[0/60/-60]s。为了使各向同性热膨胀系数为零，即，因而需要有此式为实现零热膨胀系数的基本条件。对于碳纤维、凯夫拉纤维复合材料，因为纵向热膨胀系数，而且，，由此有可能满意或基本满意。倘若再利用细观力学的公式计算，可以举行细微观设计，得到最佳纤维体积含量的计算公式。固然，材料设计需结合实验来决定。7.5.2单方向零热膨胀系数的设计

第八章 层合板的弯曲、屈曲与震动8.1层合板的弯曲在横向载荷作用下，板的挠度、变形及应力。合力与合力矩的平衡方程为：由上面后三式得把板的本构关系带入平衡方程，得到用中面位移表示的平衡方程为：其中算子含有，反映拉弯的耦合效应。对于对称层合板，平衡方程互相自立，弯曲的平衡方程为对正交各向异性层合板，，方程为：对各向同性材料，，方程为：

边界条件：需同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，每边有4个边界条件，共8种可能的简支和固定边界条件：简支边界条件：固支边界条件：考虑一沿x向为a,沿y向为b的层合板，四个边简支，受分布载荷作用，可以用双三角级数，将横向载荷展开为对均布载荷，有，研究几种异常层合板的解。1.正交各向异性板，，平衡方程为简支边界条件为：设挠度为它满意边界条件。带入平衡方程可得对均布载荷有解为位移知道后，可求应变及应力。2.对称角铺设层合板，但，平衡方程为简支边界条件为：仍设挠度为但平衡方程和边界条件(位移满意，但力矩不满意)不能郑重满意。将由最小势能原理求解。应变能为外力作的功为总的势能为将挠度表达式带入，由最小势能原理得到关于的线形代数方程组，可求解出。3.反驳称正交铺设层合板刚度有、、，、、，，因为有耦合刚度系数，平衡方程为联立的：在如下简支边界条件下：选取下列位移它们能满意平衡方程及边界条件，可以通过级数展开，得到确切解。4.反驳称角铺设层合板刚度有，拉弯耦合刚度有和，平衡方程为联立的：在如下简支边界条件下：选取下列位移它们能满意平衡方程及边界条件，可以通过级数展开，得到确切解。8.2层合板的屈曲在平面内压缩和剪切载荷作用下，载荷达到一定值，会产生横向挠度的一种不稳定的平衡状态，称为板的屈曲。产生屈曲的载荷为临界载荷。板屈曲形式有无穷多，对应最小的临界载荷，为屈曲载荷。不考虑拉弯耦合影响，当板受平面载荷时，控制屈曲的微分方程为由后三个方程有：在可能的简支和固定边界条件：简支边界条件：固定边界条件

对于对称层合板，，把带入平衡方程得对称正交各向异性层合板刚度有。只受单向载荷，基本方程为边界为简支：设解为它满意边界条件。带入平衡方程可得当n=1时，压缩载荷有最小值。此时，纵向压缩载荷为由条件，来判断m为何值时最小。由此得因为m必须为正整数，当为的整数倍时，临界载荷最小。板的挠度为此时，板产生的变形为在下x方向有m个半波正弦波形，y方向上有1个半波正弦波形。如有一层合板，，板为方形，此时，m=1在x方向板以一个半波屈曲。临界载荷为。

对称角铺设层合板刚度有。只受单向载荷，基本方程为边界为简支：设解为级数它不能郑重满意边界条件及平衡方程。可由最小势能原理求解。对反驳称铺设层合板刚度有。只受单向载荷，基本方程u,v,w在平衡方程中相耦合。可以把u,v,w都设为双三角级数。带入边界及平衡方程中求解。

8.3层合板的震动主要求解板的固有频率和振型。考虑板的惯性力，略去平面内载荷,板的自由震动方程为

由后三个方程有：对于对称层合板，，把带入平衡方程边界条件与屈曲问题同。1.对称简支层合板的自由震动刚度，，平衡方程为简支边界为：设挠度为空间与时光可分解的函数满意边界条件。带入平衡方程有：解得各频率对应于不同振型。当时，得到基频(最低频率)。

2.对称角铺设层合板刚度有。振动基本方程为边界为简支：设解为级数它不能郑重满意边界条件及平衡方程。可由最小势能原理求解。3.对称反驳称铺设层合板刚度有。u,v,w在平衡方程中相耦合。按照边界条件及平衡方程，可以把u,v,w都设为双三角级数。带入边界及平衡方程中求解。

第三篇复合材料细观力学第九章单向板的细观力学分析9.1引言细观力学从组分材料的性能和界面特征来预测复合材料的性能。主要目的：1由组分材料弹性性能预测复合材料的弹性性能式中，Vf,Vm为纤维与基体的体积比，Vf＋Vm＝1。2由组分材料强度来预测复合材料的基本强度复合材料细观力学基本假设：1复合材料是宏观均质、线弹性、无初始应力。2各组分材料是均质、线弹性、各向同性的。3增强材料的形状和分布是规矩的。4界面处变形延续，不滑移。5各组分材料处于小变形状态。代表性体积单元：复合材料假设为宏观均质材料，因而只需取其中一小部分来研究即可。这一小部分必须足以表示细观材料的组成结构，称为代表性体积单元。如在代表性体积单元中，至少有一根纤维，尺寸为纤维间距或板厚。9.2用材料力学主意分析刚度112w1弹性模量E1的决定

，2弹性模量E2的决定，3泊松比21的决定惟独力作用，沿方向2的变形为：，4剪切模量G12的决定剪切变形，总的剪切变形为,5半经验公式(Halpin-Tsai),M为预测的复合材料弹性模量，Mf、Mm为纤维与基体相应的弹性模量，是对纤维增强作用的量度。 时， 给出复合材料弹性常数的下限。 时， 给出复合材料弹性常数的上限。参数越大，表示纤维的增强作用越大。对模量和可取对模量和可取，或分离取和。9.3用弹性力学能量原理分析刚度范围对于弹性体变形时，其应变能为：按照弹性体的应力应变关系，弹性应变能可写成只是应变的函数(称为应变能)，亦可表示为只是应力的函数(称为余能)。对于线弹性体，两种能量相等：最小余能原理认为，在弹性体内满意平衡方程，又在边界上满意应力边界条件的容许应力场所对应的余能，总是大于等于真切应力场所对应的余能，即最小势能原理认为，在边界上满意位移边界条件的容许应变场所对应的应变能，总是大于等于真切应变场所对应的应变能，即1弹性模量E1下限的决定应用最小余能原理。在代表性体积单元中，满意力的平衡及应力边界条件的容许应力场为该容许应力场对应的余能为分解为在纤维与基体中分离积分：真切应力场所对应的余能为由最小余能原理有：得即决定了E1下限：2弹性模量E1上限的决定应用最小势能原理。在代表性体积单元中，容许应变场为利用广义胡克定律可以分离得到纤维与基体中与该容许应变场相对应的应力为：将应力应变式带入应变能公式中，分离在纤维与基体体积中积分，得真切应变场对应的势能为：由最小势能原理得，解得：由，及，决定这就是泊松比的表达式。将其带入上限表达式，得上限。对于，有：3弹性模量E2、G12的上下限的决定用同样的主意可得该容许应力场对应的余能为分解为在纤维与基体中分离积分：真切应力场所对应的余能为由最小余能原理有：得即决定了E1下限：

9.4强度的细观力学分析一单向板沿纤维方向的抗拉强度强度预测比刚度预测精度差。1212w复合材料破坏取决于多种因素：纤维于基体的物理、力学性质；纤维形状、分布、体积含量；纤维与基体的界面情况；工作环境和载荷状态(如湿热、疲劳、冲击等)…对工艺过程异常敏感，各种工艺参数的变化(如固化温度、压力时光、纤维表面处理状态)，会引起影响强度因素的变化(如纤维分布、空隙与微裂纹、残余应力、界面强度等)。单向复合材料在纵向拉伸载荷作用下基本破坏模式：脆性断裂(纤维体积分数低，强界面)纤维拔出的脆性断裂(中等纤维体积分数，弱界面)带脱粘和基体破坏的脆性破坏(高纤维体积分数)假设纤维等强度，纤维与基体粘结结实，且复合材料在同一横截面上发生破坏。对单向板沿纤维方向拉伸，，破坏前，应力为用分离表示纤维，基体的破坏应变；用分离表示纤维，基体的抗拉强度分两种情况：(主要情况)较低时，在较小载荷下，纤维被拉断，但因纤维断裂而转移到基体上的载荷不足以使基体开裂，基体还能继续承载，直到复合材料的应变达到基体材料的断裂应变，即。此时，复合材料的破坏由基体控制，其纵向拉伸强度为较高时，在纤维断裂而转移到基体上的载荷很大，使基体无法承受，纤维断裂时基体随即断裂，复合材料的断裂应变等于纤维的断裂应变，即。此时，复合材料的破坏由纤维控制，其纵向拉伸强度为式中，为与纤维断裂应变相对应的基体应力。抗拉强度随纤维体积含量的变化如图所示。由上两式联立求解，得两条曲线的交点，即临界纤维体积比为当较小时，，使复合材料的强度低于基体的强度。因为，纤维太少，其断裂后，仍站着一部分体积，但载荷所有由基体承受，故不如全为基体材料承受载荷大。欲使纤维起到增强作用，复合材料中纤维的体积分数应该大于一临界分数，即较低时，在较小载荷下，基体先于纤维断裂，所有载荷转移到纤维上，但因为，纤维不能承受此载荷而断裂，此时，复合材料的破坏由基体控制，其纵向拉伸强度为式中，为对应于基体断裂应变时纤维应力。较高时，基体承载较小，其破坏时，向纤维转移的载荷不足以引起纤维的断裂，纤维还能继续承载，直到达到纤维的抗拉强度，此时，复合材料的破坏由纤维控制，其纵向拉伸强度为抗拉强度随纤维体积含量的变化如图所示。由上两式联立求解，得两条曲线的交点，即临界纤维体积比为理论上，纤维体积分数增强，复合材料强度提高，但当很高时()，复合材料的强度反而有下降的趋势。因为纤维体积分数太大时，工艺上不能保证基体与纤维的匀称分布，以致有的纤维周围没有基体，形成缺陷，导致强度下降。二单向板沿纤维方向的抗压强度单向复合材料在纵向压缩载荷时，有至少三种破坏模式：纤维微屈曲破坏(分拉压型和剪切型)；横向开裂破坏；剪切破坏。应该取最小载荷来决定压缩强度。纤维屈曲理论复合材料弹性板受到沿着纤维方向的载荷时，纤维就象受到弹性(基体)支撑的细长受压杆，纤维会发生微屈曲(Buckling)。纤维屈曲有两种可能形式：(1)纤维彼此反向屈曲形成拉伸型或异相型屈曲模式，基体交替地产生垂直于纤维的拉压变形；(2)纤维同向屈曲形成剪切型或同相型屈曲模式，基体承受剪切变形。可用能量法求解纤维临界屈曲载荷。分离计算纤维发生屈曲时，纤维与基体的应变能增量之和，应等于作用于纤维上的外力所做的功，设纤维在垂直于纤维的2方向的位移为拉压型取的代表性体积单元。基体的应变为，2c为纤维间距，对应的应力为，基体应变能变化为：利用屈曲杆的应变能公式，可得纤维屈曲后应变能增量其中h为纤维宽度，为纤维的截面惯性矩。外力所做的功式中为纤维在外力作用下两端缩短的距离，为作用于纤维端点的载荷。由能量关系得：设第m各正弦波，P达到极小值由，得到的极小值为由纤维的体积