中考数学选择填空压轴题：函数的几何综合问题

PAGE中考数学选择填空压轴题：函数的几何综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x－\F(\R(,3),3)与x轴交于点EQB\S\DO(1)，以EQOB\S\DO(1)为边长作等边三角形EQA\S\DO(1)OB\S\DO(1)，过点EQA\S\DO(1)作EQA\S\DO(1)B\S\DO(2)平行于x轴，交直线l于点EQB\S\DO(2)，以EQA\S\DO(1)B\S\DO(2)为边长作等边三角形EQA\S\DO(2)A\S\DO(1)B\S\DO(2)，过点EQA\S\DO(2)作EQA\S\DO(2)B\S\DO(3)平行于x轴，交直线l于点EQB\S\DO(3)，以EQA\S\DO(2)B\S\DO(3)为边长作等边三角形EQA\S\DO(3)A\S\DO(2)B\S\DO(3)，…，则点EQA\S\DO(2017)的横坐标是____________． 同类题型1.1如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点EQA\S\DO(1)，在x轴正方向上取点EQB\S\DO(1)，使EQOB\S\DO(1)＝OA\S\DO(1)；过点EQB\S\DO(1)作EQA\S\DO(2)B\S\DO(1)⊥x轴，交l于点EQA\S\DO(2)，在x轴正方向上取点EQB\S\DO(2)，使EQB\S\DO(1)B\S\DO(2)＝B\S\DO(1)A\S\DO(2)；过点EQB\S\DO(2)作EQA\S\DO(3)B\S\DO(2)⊥x轴，交l于点EQA\S\DO(3)，在x轴正方向上取点EQB\S\DO(3)，使EQB\S\DO(2)B\S\DO(3)＝B\S\DO(2)A\S\DO(3)；…记EQ△OA\S\DO(1)B\S\DO(1)面积为EQS\S\DO(1)，EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)面积为EQS\S\DO(2)，EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)面积为EQS\S\DO(3)，…则EQS\S\DO(2017)等于 （）A．EQ2\S\UP6(4030) B．EQ2\S\UP6(4031) C．EQ2\S\UP6(4032) D．EQ2\S\UP6(4033)同类题型1.2如图，已知直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点EQA\S\DO(1)；过点EQA\S\DO(1)作y轴的垂线交直线l于点EQB\S\DO(1)，过点EQB\S\DO(1)作直线l的垂线交y轴于点EQA\S\DO(2)；…；按此作法继续下去，则点EQA\S\DO(4)的坐标为 （）A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）同类题型1.3如图，在平面直角坐标系中，直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作EQAB\S\DO(1)⊥AB交x轴于点EQB\S\DO(1)，过点EQB\S\DO(1)作EQB\S\DO(1)A\S\DO(1)⊥x轴交直线l于点EQA\S\DO(2)…依次作下去，则点EQB\S\DO(n)的横坐标为____________． 例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离EQy\S\DO(1)、EQy\S\DO(2)（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．同类题型2.1甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距A．0个 B．1个 C．2个 D．3个同类题型2.2甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙迟EQ\F(7,4)h到达B地；（4）乙车行驶EQ\F(9,4)小时或EQ\F(19,4)小时，两车恰好相距50km．正确的个数是 （）A．1 B．2 C．3 D．4同类题型2.3甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是 （）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．如图，已知动点P在函数EQy＝\F(1,2x)（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝－x＋1交于点E，F，则AF﹒BE的值为 （）A．4 B．2 C．1 D．EQ\F(1,2)同类题型3.1如图，在反比例函数EQy＝\F(3,2x)的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数EQy＝\F(k,x)的图象上运动，若tan∠CAB＝2，则k的值为 （）A．－3 B．－6 C．－9 D．－12同类题型3.2如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°，若函数EQy＝\F(6,x)（x＞0）的图象经过点D，则△OAB与△BCD的面积之差为（）A．12 B．6 C．3 D．2同类题型3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数EQy＝\F(1,x)和EQy＝\F(9,x)在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交EQy＝\F(1,x)的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是___________．例4．如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数EQy＝\F(k,x)的图象交于点A（3，6）与点B，且与y轴交于点C，若点P是反比例函数EQy＝\F(k,x)图象上的一个动点，作直线AP与x轴、y轴分别交于点M、N，连结BN、CM．若EQS\S\DO(△ACM)＝S\S\DO(△ABN)，则EQ\F(AP,AN)的值为__________．同类题型4.1当EQ\F(1,2)≤x≤2时，函数y＝－2x＋b的图象上至少有一点在函数EQy＝\F(1,x)的图象下方，则b的取值范围为 （）A．EQb＞2\R(,2) B．EQb＜\F(9,2) C．b＜3 D．EQ2\R(,2)＜b＜\F(9,2)同类题型4.2方程EQx\S\UP6(2)＋3x－1＝0的根可视为函数y＝x＋3的图象与函数EQy＝\F(1,x)的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程EQx\S\UP6(2)＋2x－1＝0的实数根EQx\S\DO(0)所在的范围是 （）A．EQ－1＜x\S\DO(0)＜0 B．EQ0＜x\S\DO(0)＜1 C．EQ1＜x\S\DO(0)＜2 D．EQ2＜x\S\DO(0)＜3例5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线EQy＝－x\S\UP6(2)＋2mx－m\S\UP6(2)－m＋1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，则m＝__________．同类题型5.1已知抛物线EQy＝\F(1,4)x\S\UP6(2)＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为EQ（\R(,3)，3），P是抛物线EQy＝\F(1,4)x\S\UP6(2)＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 （）A．3 B．4 C．5 D．6同类题型5.2抛物线EQy＝ax\S\UP6(2)＋bx＋3（a≠0）经过点A（－1，0），EQB（\F(3,2)，0），且与y轴相交于点C．设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为__________cm．参考答案例1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x－\F(\R(,3),3)与x轴交于点EQB\S\DO(1)，以EQOB\S\DO(1)为边长作等边三角形EQA\S\DO(1)OB\S\DO(1)，过点EQA\S\DO(1)作EQA\S\DO(1)B\S\DO(2)平行于x轴，交直线l于点EQB\S\DO(2)，以EQA\S\DO(1)B\S\DO(2)为边长作等边三角形EQA\S\DO(2)A\S\DO(1)B\S\DO(2)，过点EQA\S\DO(2)作EQA\S\DO(2)B\S\DO(3)平行于x轴，交直线l于点EQB\S\DO(3)，以EQA\S\DO(2)B\S\DO(3)为边长作等边三角形EQA\S\DO(3)A\S\DO(2)B\S\DO(3)，…，则点EQA\S\DO(2017)的横坐标是____________．解：由直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x－\F(\R(,3),3)与x轴交于点EQB\S\DO(1)，可得EQB\S\DO(1)（1，0），D（0，EQ－\F(\R(,3),3)），∴EQOB\S\DO(1)＝1，EQ∠OB\S\DO(1)D＝30°，如图所示，过EQA\S\DO(1)作EQA\S\DO(1)A⊥OB\S\DO(1)于A，则EQOA＝\F(1,2)OB\S\DO(1)＝\F(1,2)，即EQA\S\DO(1)的横坐标为EQ\F(1,2)＝\F(2\S\UP6(1)－1,2)，由题可得EQ∠A\S\DO(1)B\S\DO(2)B\S\DO(1)＝∠OB\S\DO(1)D＝30°，EQ∠B\S\DO(2)A\S\DO(1)B\S\DO(1)＝∠A\S\DO(1)B\S\DO(1)O＝60°，∴EQ∠A\S\DO(1)B\S\DO(1)B\S\DO(2)＝90°，∴EQA\S\DO(1)B\S\DO(2)＝2A\S\DO(1)B\S\DO(1)＝2，过EQA\S\DO(2)作EQA\S\DO(2)B⊥A\S\DO(1)B\S\DO(2)于B，则EQA\S\DO(1)B＝\F(1,2)A\S\DO(1)B\S\DO(2)＝1，即EQA\S\DO(2)的横坐标为EQ\F(1,2)＋1＝\F(3,2)＝\F(2\S\UP6(2)－1,2)，过EQA\S\DO(3)作EQA\S\DO(3)C⊥A\S\DO(2)B\S\DO(3)于C，同理可得，EQA\S\DO(2)B\S\DO(3)＝2A\S\DO(2)B\S\DO(2)＝4，EQA\S\DO(2)C＝\F(1,2)A\S\DO(2)B\S\DO(3)＝2，即EQA\S\DO(3)的横坐标为EQ\F(1,2)＋1＋2＝\F(7,2)＝\F(2\S\UP6(3)－1,2)，同理可得，EQA\S\DO(4)的横坐标为EQ\F(1,2)＋1＋2＋4＝\F(15,2)＝\F(2\S\UP6(4)－1,2)，由此可得，EQA\S\DO(n)的横坐标为EQ\F(2\S\UP6(n)－1,2)，∴点EQA\S\DO(2017)的横坐标是EQ\F(2\S\UP6(2017)－1,2)．同类题型1.1如图，直线l：y＝x＋1交y轴于点EQA\S\DO(1)，在x轴正方向上取点EQB\S\DO(1)，使EQOB\S\DO(1)＝OA\S\DO(1)；过点EQB\S\DO(1)作EQA\S\DO(2)B\S\DO(1)⊥x轴，交l于点EQA\S\DO(2)，在x轴正方向上取点EQB\S\DO(2)，使EQB\S\DO(1)B\S\DO(2)＝B\S\DO(1)A\S\DO(2)；过点EQB\S\DO(2)作EQA\S\DO(3)B\S\DO(2)⊥x轴，交l于点EQA\S\DO(3)，在x轴正方向上取点EQB\S\DO(3)，使EQB\S\DO(2)B\S\DO(3)＝B\S\DO(2)A\S\DO(3)；…记EQ△OA\S\DO(1)B\S\DO(1)面积为EQS\S\DO(1)，EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)面积为EQS\S\DO(2)，EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)面积为EQS\S\DO(3)，…则EQS\S\DO(2017)等于（）A．EQ2\S\UP6(4030) B．EQ2\S\UP6(4031) C．EQ2\S\UP6(4032) D．EQ2\S\UP6(4033)解：∵EQOB\S\DO(1)＝OA\S\DO(1)；过点EQB\S\DO(1)作EQA\S\DO(2)B\S\DO(1)⊥x轴，EQB\S\DO(1)B\S\DO(2)＝B\S\DO(1)A\S\DO(2)；A\S\DO(3)B\S\DO(2)⊥x轴，EQB\S\DO(2)B\S\DO(3)＝B\S\DO(2)A\S\DO(3)；…∴EQ△△OA\S\DO(1)B\S\DO(1)，EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)，EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)是等腰直角三角形，∵y＝x＋1交y轴于点EQA\S\DO(1)，∴EQA\S\DO(1)（0，1），∴EQB\S\DO(1)（1，0），∴EQOB\S\DO(1)＝OA\S\DO(1)＝1，∴EQS\S\DO(1)＝\F(1,2)×1×1＝\F(1,2)×1\S\UP6(2)，同理EQS\S\DO(2)＝\F(1,2)×2×2＝\F(1,2)×2\S\UP6(2)，EQS\S\DO(3)＝\F(1,2)×4×4＝\F(1,2)×4\S\UP6(2)；…∴EQS\S\DO(n)＝\F(1,2)×2\S\UP6(2n－2)＝2\S\UP6(2n－3)，∴EQS\S\DO(2017)＝2\S\UP6(2×2017－3)＝2\S\UP6(4031)，选B．同类题型1.2如图，已知直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点EQA\S\DO(1)；过点EQA\S\DO(1)作y轴的垂线交直线l于点EQB\S\DO(1)，过点EQB\S\DO(1)作直线l的垂线交y轴于点EQA\S\DO(2)；…；按此作法继续下去，则点EQA\S\DO(4)的坐标为（）A．（0，128） B．（0，256） C．（0，512） D．（0，1024）解：∵直线l的解析式为EQ；y＝\F(\R(,3),3)x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴OB＝2，∴EQAB＝\R(,3)，∵EQA\S\DO(1)B⊥l，∴EQ∠ABA\S\DO(1)＝60°，∴EQA\S\DO(1)O＝4，∴EQA\S\DO(1)（0，4），同理可得EQA\S\DO(2)（0，16），…∴EQA\S\DO(4)纵坐标为EQ4\S\UP6(4)＝256，∴EQA\S\DO(4)（0，256）．选B．同类题型1.3如图，在平面直角坐标系中，直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作EQAB\S\DO(1)⊥AB交x轴于点EQB\S\DO(1)，过点EQB\S\DO(1)作EQB\S\DO(1)A\S\DO(1)⊥x轴交直线l于点EQA\S\DO(2)…依次作下去，则点EQB\S\DO(n)的横坐标为____________．解：由直线l：EQy＝\F(\R(,3),3)x＋1交x轴于点B，交y轴于点A，可得A（0，1），EQB（－\R(,3)，0），∴EQtan∠ABO＝\F(\R(,3),3)，即∠ABO＝30°，∴BA＝2AO＝2，又∵EQAB\S\DO(1)⊥AB交x轴于点EQB\S\DO(1)，AO＝1，∴EQAB\S\DO(1)＝\F(2,3)\R(,3)，∴EQRt△BAB\S\DO(1)中，EQBB\S\DO(1)＝\F(4,3)\R(,3)；由题可得EQBA\S\DO(1)＝\F(8,3)，∴EQA\S\DO(1)B\S\DO(2)＝\F(8,9)\R(,3)，∴EQRt△BA\S\DO(1)B\S\DO(2)中，EQBB\S\DO(2)＝\F(16,9)\R(,3)；由题可得EQBA\S\DO(2)＝\F(32,9)，∴EQA\S\DO(2)B\S\DO(3)＝\F(32,27)\R(,3)，∴EQRt△BA\S\DO(2)B\S\DO(3)中，EQBB\S\DO(3)＝\F(64,27)\R(,3)，…以此类推，EQBB\S\DO(n)＝(\F(4,3))\S\UP6(n)\R(,3)，又∵EQBO＝\R(,3)，∴EQOB\S\DO(n)＝(\F(4,3))\S\UP6(n)\R(,3)－\R(,3)，∴点EQB\S\DO(n)的横坐标为EQ(\F(4,3))\S\UP6(n)\R(,3)－\R(,3)．例2．高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离EQy\S\DO(1)、EQy\S\DO(2)（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．解：①450＋240＝690（千米）．故A、C之间的路程为690千米是正确的；②450÷5－240÷4＝90－60＝30（千米/小时）．故乙车比甲车每小时快30千米是正确的；③690÷（450÷5＋240÷4）＝690÷（90＋60）＝690÷150＝4.6（小时）．故4.6小时两车相遇，原来的说法是错误的；④（450－240）÷（450÷5－240÷4）＝210÷（90－60）＝210÷30＝7（小时），450÷5×7－450＝630－450＝180（千米）．故点E的坐标为（7，180）是正确的，故其中正确的有①②④．同类题型2.1甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a＝40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t＝3时，两车相距A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解：①由函数图象，得a＝120÷3＝40故①正确，②由题意，得5.5－3－120÷（40×2），＝2.5－1.5，＝1．∴甲车维修的时间为1小时；故②正确，③如图：∵甲车维修的时间是1小时，∴B（4，120）．∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达．∴E（5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3＝80，∴乙返回的时间为：240÷80＝3，∴F（8，0）．设BC的解析式为EQy\S\DO(1)＝k\S\DO(1)t＋b\S\DO(1)，EF的解析式为EQy\S\DO(2)＝k\S\DO(2)t＋b\S\DO(2)，由图象，得EQ\B\lc\{(\a\al(120＝4k\S\DO(1)＋b\S\DO(1),240＝5.5k\S\DO(1)＋b\S\DO(，)))，EQ\B\lc\{(\a\al(240＝5k\S\DO(2)＋b\S\DO(2),0＝8k\S\DO(2)＋b\S\DO(2)))解得EQ\B\lc\{(\a\al(k\S\DO(1)＝80,b\S\DO(1)＝－200))，EQ\B\lc\{(\a\al(k\S\DO(2)＝－80,b\S\DO(2)＝640))，∴EQy\S\DO(1)＝80t－200，EQy\S\DO(2)＝－80t＋640，当EQy\S\DO(1)＝y\S\DO(2)时，80t－200＝－80t＋640，t＝5.25．∴两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，故弄③正确，④当t＝3时，甲车行的路程为：120km，乙车行的路程为：80×（3－2）＝80km，∴两车相距的路程为：120－80＝40千米，故④正确，选A．同类题型2.2甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a＝40，m＝1；（2）乙的速度是80km/h（3）甲比乙迟EQ\F(7,4)h到达B地；（4）乙车行驶EQ\F(9,4)小时或EQ\F(19,4)小时，两车恰好相距50km．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：（1）由题意，得m＝1.5－0.5＝1．120÷（3.5－0.5）＝40（km/h），则a＝40，故（1）正确；（2）120÷（3.5－2）＝80km/h（3）设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得EQ\B\lc\{(\a\al(40＝1.5k+b,120＝3.5k+b))解得：EQ\B\lc\{(\a\al(k＝40,b＝-20))∴y＝40x－20，根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，把y＝260代入y＝40x－20得，x＝7，∵乙车的行驶速度：80km/h∴乙车的行驶260km需要260÷80＝3.25h，∴EQ7-（2+3.25）=\F(7,4)h，∴甲比乙迟EQ\F(7,4)h到达B地，故（3）正确；（4）当1.5＜x≤7时，y＝40x－20．设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k'x＋b'，由题意得EQ\B\lc\{(\a\al(0＝2k′+b′,120＝3.5k′+b′))解得：EQ\B\lc\{(\a\al(k′＝80,b′＝-160))∴y＝80x－160．当40x－20－50＝80x－160时，解得：EQx=\F(9,4)．当40x－20＋50＝80x－160时，解得：EQx=\F(19,4)．∴EQ\F(9,4)－2＝\F(1,4)，EQ\F(19,4)－2＝\F(11,4)．所以乙车行驶小时EQ\F(1,4)或EQ\F(11,4)小时，两车恰好相距50km，故（4）错误．选C．同类题型2.3甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a＝750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则甲的速度是：900÷600＝1.5米/秒，故①正确；②甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750米，故②正确；③CD段的长是900－750＝150米，时间是：560－500＝60秒，则乙速度是：150÷60＝2.5米/秒；甲跑150米用的时间是：150÷1.5＝100秒，则甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是：750÷2.5＝300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500－300－100＝100秒，故③正确；④甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y＝1.5x，乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则AB段的函数解析式是：y＝2.5（x－100），根据题意得：1.5x＝2.5（x－100），解得：x＝250秒．∴乙的路程是：2.5×（250－100）＝375（米）．∴甲出发250秒和乙第一次相遇，此时乙跑了375米，故④正确．选D．例3．如图，已知动点P在函数EQy＝\F(1,2x)（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝－x＋1交于点E，F，则AF﹒BE的值为（）A．4 B．2 C．1 D．EQ\F(1,2)解：作FG⊥x轴，∵P的坐标为（a，EQ\F(1,2a)），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，EQ\F(1,2a)），M点的坐标为（a，0），∴EQBN＝1－\F(1,2a)，在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴EQNF＝BN＝1－\F(1,2a)，∴F点的坐标为EQ（1－\F(1,2a)，EQ\F(1,2a)），同理可得出E点的坐标为（a，1－a），∴EQAF\S\UP6(2)＝（1－1＋\F(1,2a)）\S\UP6(2)＋（\F(1,2a)）\S\UP6(2)＝\F(1,2a\S\UP6(2))，EQBE\S\UP6(2)＝（a）\S\UP6(2)＋（－a）\S\UP6(2)＝2a\S\UP6(2)，∴EQAF\S\UP6(2)﹒BE\S\UP6(2)＝\F(1,2a\S\UP6(2))﹒2a\S\UP6(2)＝1，即AF﹒BE＝1．选C．同类题型3.1如图，在反比例函数EQy＝\F(3,2x)的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数EQy＝\F(k,x)的图象上运动，若tan∠CAB＝2，则k的值为（）A．－3 B．－6 C．－9 D．－12解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数EQy＝\F(3,2x)的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．又∵AC＝BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴EQ\F(AE,CF)＝\F(OE,OF)＝\F(AO,CO)，∵EQtan∠CAB＝\F(OC,OA)＝2，∴CF＝2AE，OF＝2OE．又∵EQAE﹒OE＝\F(3,2)，CF﹒OF＝|k|，∴k＝±6．∵点C在第二象限，∴k＝－6，选B．同类题型3.2如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°，若函数EQy=\F(6,x)（x＞0）的图象经过点D，则△OAB与△BCD的面积之差为（）A．12 B．6 C．3 D．2解：∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∴OA＝AB，CD＝BC．设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a＋b，a－b），∵反比例函数EQy＝\F(6,x)在第一象限的图象经过点D，∴EQ（a＋b）（a－b）＝a\S\UP6(2)－b\S\UP6(2)＝6，∴△OAB与△BCD的面积之差EQ＝\F(1,2)a\S\UP6(2)－\F(1,2)b\S\UP6(2)＝\F(1,2)×6＝3．选C．同类题型3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数EQy＝\F(1,x)和EQy＝\F(9,x)在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交EQy＝\F(1,x)的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是___________．解：∵点B是y＝kx和EQy＝\F(9,x)的交点，EQy＝kx＝\F(9,x)，解得：EQx＝\F(3,\R(,k))，EQy＝3\R(,k)，∴点B坐标为EQ（\F(3,\R(,k))，EQ3EQ\R(,k)），点A是y＝kx和EQy＝\F(1,x)的交点，EQy＝kx＝\F(1,x)，解得：EQx＝\F(1,\R(,k))，EQy＝\R(,k)，∴点A坐标为EQ（\F(1,\R(,k))，EQ\R(,k)），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为EQ\F(3,\R(,k))，纵坐标为EQ\F(1,\F(3,\R(,k)))＝\F(\R(,k),3)，∴点C坐标为EQ（\F(3,\R(,k))，EQ\F(\R(,k),3)），∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则EQ\R(,(\F(3,\R(,k))－\F(1,\R(,k)))\S\UP6(2)＋(3\R(,k)－\R(,k))\S\UP6(2))＝3\R(,k)－\F(\R(,k),3)，解得：EQk＝\F(3\R(,7),7)；②AC＝BC，则EQ\R(,(\F(3,\R(,k))－\F(1,\R(,k)))\S\UP6(2)＋(\R(,k)－\F(\R(,k),3))\S\UP6(2))＝3\R(,k)－\F(\R(,k),3)，解得：EQk＝\F(\R(,15),5)；故答案为EQk＝\F(3\R(,7),7)或EQ\F(\R(,15),5)．例4．如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数EQy＝\F(k,x)的图象交于点A（3，6）与点B，且与y轴交于点C，若点P是反比例函数EQy＝\F(k,x)图象上的一个动点，作直线AP与x轴、y轴分别交于点M、N，连结BN、CM．若EQS\S\DO(△ACM)＝S\S\DO(△ABN)，则EQ\F(AP,AN)的值为__________．解：把A（3，6）代入到一次函数y＝x＋b与反比例函数EQy＝\F(k,x)中，得：b＝3，k＝18，∴EQy＝\F(18,x)，y＝x＋3，∴C（0，3），则EQ\B\lc\{(\a\al(y＝\F(18,x),y＝x＋3))，解得：EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(1)＝3,y\S\DO(1)＝6))，EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(2)＝－6,y\S\DO(2)＝－3))，∴B（－6，－3），分两种情况：①点P在第一象限时，如图1，∵EQS\S\DO(△ACM)＝S\S\DO(△ABN)，EQS\S\DO(△MNC)－S\S\DO(△ACN)＝S\S\DO(△ACN)＋S\S\DO(△BCN)，EQS\S\DO(△MNC)＝2S\S\DO(△ACN)＋S\S\DO(△BCN)，EQ\F(1,2)NC﹒OM＝2×\F(1,2)NC×3＋\F(1,2)NC×6，OM＝6＋6＝12，∴M（12，0），直线AM的解析式为：EQy＝－\F(2,3)x＋8，∴N（0，8），则EQ\B\lc\{(\a\al(y＝\F(18,x),y＝－\F(2,3)x＋8))，EQ\F(18,x)＝－\F(2,3)x＋8，解得：x＝3或9，∴P（9，2），∴EQAN＝\R(,3\S\UP6(2)＋2\S\UP6(2))＝\R(,13)，EQAP＝\R(,6\S\UP6(2)＋4\S\UP6(2))＝2\R(,13)，∴EQ\F(AP,AN)＝\F(2\R(,13),\R(,13))＝2；②当点P在第三象限上时，如图2，∵EQS\S\DO(△ACM)＝S\S\DO(△ABN)，∴EQS\S\DO(△ACN)＋S\S\DO(△MNC)＝S\S\DO(△ACN)＋S\S\DO(△BCN)，EQS\S\DO(△MNC)＝S\S\DO(△BCN)，EQ\F(1,2)NC﹒OM＝\F(1,2)NC×6，∴OM＝6，∴M（－6，0），直线AM的解析式为：EQy＝\F(2,3)x＋4，∴N（0，4），则EQ\B\lc\{(\a\al(y＝\F(18,x),y＝\F(2,3)x＋4))，EQ\F(18,x)＝\F(2,3)x＋4，解得：x＝3或－9，∴P（－9，－2），∴EQAN＝\R(,13)，EQAP＝\R(,12\S\UP6(2)＋8\S\UP6(2))＝4\R(,13)，∴EQ\F(AP,AN)＝\F(4\R(,13),\R(,13))＝4，综上所述，则EQ\F(AP,AN)的值为2或4．同类题型4.1当EQ\F(1,2)≤x≤2时，函数y＝－2x＋b的图象上至少有一点在函数EQy＝\F(1,x)的图象下方，则b的取值范围为（）A．EQb＞2\R(,2) B．EQb＜\F(9,2) C．b＜3 D．EQ2\R(,2)＜b＜\F(9,2)解：在函数EQy＝\F(1,x)中，令x＝2，则EQy＝\F(1,2)；令EQx＝\F(1,2)，则y＝2；若直线y＝－2x＋b经过（2，EQ\F(1,2)），则EQ\F(1,2)＝－4＋b，即EQb＝\F(9,2)；若直线y＝－2x＋b经过EQ（\F(1,2)，2），则2＝－1＋b，即b＝3，∵直线EQy＝－2x＋\F(9,2)在直线y＝－2x＋3的上方，∴当函数y＝－2x＋b的图象上至少有一点在函数EQy＝\F(1,x)的图象下方时，直线y＝－2x＋b在直线EQy＝－2x＋\F(9,2)的下方，∴b的取值范围为EQb＜\F(9,2)．选B．同类题型4.2方程EQx\S\UP6(2)＋3x－1＝0的根可视为函数y＝x＋3的图象与函数EQy＝\F(1,x)的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程EQx\S\UP6(2)＋2x－1＝0的实数根EQx\S\DO(0)所在的范围是（）A．EQ－1＜x\S\DO(0)＜0 B．EQ0＜x\S\DO(0)＜1 C．EQ1＜x\S\DO(0)＜2 D．EQ2＜x\S\DO(0)＜3解：方程EQx\S\UP6(2)＋2x－1＝0的实数根可以看作函数y＝x＋2和EQy＝\F(1,x)的交点．函数大体图象如图所示：A．由图可得，第三象限内图象交点的横坐标小于－2，故EQ－1＜x\S\DO(0)＜0错误；B．当x＝1时，EQy\S\DO(1)＝1＋2＝3，EQy\S\DO(2)＝\F(1,1)＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故EQ0＜x\S\DO(0)＜1正确；C．当x＝1时，EQy\S\DO(1)＝1＋2＝3，EQy\S\DO(2)＝\F(1,1)＝1，而3＞1，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于1，故EQ1＜x\S\DO(0)＜2错误；D．当x＝2时，EQy\S\DO(1)＝2＋2＝4，EQy\S\DO(2)＝\F(1,2)，而EQ4＞\F(1,2)，根据函数的增减性可知，第一象限内的交点的横坐标小于2，故EQ2＜x\S\DO(0)＜3错误．选B．例5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线EQy＝－x\S\UP6(2)＋2mx－m\S\UP6(2)－m＋1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH＝∠AHO，则m＝__________．解：（1）∵EQy＝－x\S\UP6(2)＋2mx－m\S\UP6(2)－m＋1＝－（x－m）\S\UP6(2)－m＋1，∴顶点D（m，1－m）．∵顶点D在第二象限，∴m＜0．当点A在y轴的正半轴上，如图（1）作AG⊥DH于点G，∵A（0，EQ－m\S\UP6(2)－m＋1），D（m，－m＋1），∴H（m，0），G（m，EQ－m\S\UP6(2)－m＋1）∵∠ADH＝∠AHO，∴tan∠ADH＝tan∠AHO，∴EQ\F(AG,DG)＝\F(AO,HO)．∴EQ\F(－m,1－m－(－m\S\UP6(2)－m＋1))＝\F(－m\S\UP6(2)－m＋1,－m)．整理得：EQm\S\UP6(2)＋m＝0．∴m＝－1或m＝0（舍）．当点A在y轴的负半轴上，如图（2）．作AG⊥DH于点G，∵A（0，EQ－m\S\UP6(2)－m＋1），D（m，－m＋1），∴H（m，0），G（m，