2024年高考数学一轮复习：解三角形（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习：解三角形学生版

一、单项选择题

1.（2023•重庆模拟）在厶工台。中，sin/=曽，/C=3，8=45。，则8c等于（）

A.2电B./C.2sD.2s

2.（2023•南昌模拟）△NBC的内角4B,C所对的边分别为“，h,c,若6=3,c=2,AABC

的面积为2sin8,则cos/等于（）

3.在△/BC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若asin/+6（sinB+Ssin/）=csinC,

则C等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.（2023•郑州模拟）2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名

单.某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场/地测得纪念塔

顶。的仰角为45。，乙同学在二七广场8地测得纪念塔顶。的仰角为30。，塔底为C（N,B,

C在同一水平面上，OC丄平面/8C）,测得/8=63m,乙4c8=30。，则纪念塔的高CO为

（）

A.40mB.63m

C.40smD.63^/5m

5.（2022-南宁模拟）在△48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,b2+c2^a2+

be,则△/8C外接圆的面积是（）

A.-B.—C.27tD.4兀

33

6.设△/8C的内角4B,C的对边分别是a,b,c,tanA=~,且8为钝角.贝Usin/+sinC

b

的取值范围是（）

B停a

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I^+-|r\A+-\

7.（2022•洛阳模拟）已知在△45C中，45=5,4。=4,则当函数,/（4）=sinlJ+V3cosl6J

一cos24取得最大值时，6c等于（）

A.4B诉C.如D.2标

8.（2022・吉安模拟）在△/8C中，/8=8C,点。是边N8的中点，△Z8C的面积为t，则线

段8的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,+8）

>+勺DP¥]

二、多项选择题

9.（2022・福州模拟）下列对△/SC解的个数的判断中正确的是（）

A.a=7,6=14,力=30。，有一解

B.。=30,6=25,4=150。，有一解

C.a=S，b—\[6,A—60°,有一解

D.a=6,6=9,A=45°,有两解

若宀一加+i-c2=0,则

10.在△NBC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,

asinAbsinB

AABC的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

11.（2023•宁波模拟）已知△/BC三个内角B,C的对边分别为a,b,c,且Sccos/+〃sin

C=0,若角/的角平分线交8c于。点，且4。=1,则下列结论正确的是（）

A.A=—B.A=~

33

C.6+c的最小值为2D.b+c的最小值为4

12.（2023•南昌模拟）已知。是△Z8C的外心，若提•鳶•历+瑞太•訪=2加历2,且2sin8

+sinC=3，则实数，"可取的值为（）

334

A.-B,-C.-D.1

455

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三、填空题

13.已知锐角△N8C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=3,Stan/tan8

=3+tanN+tanB,则a2+b2的取值范围为.

14.AASC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若cos2C=sin2/+cos28—sin/sinC,且

6=6,则5=,△N8C外接圆的面积为.

15.（2023•临汾模拟）在△NBC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足5/+3/>2=

3c2,贝ijtan/的最大值为.

16.（2023・晋中模拟）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建

造一个观景台P,已知射线4C且夹角为120。的公路（长度均超过4千米），在两条公路

AB,4C上分别设立游客上、下点用，N,从观景台尸到M,N建造两条观光线路尸M,PN,

测得4V/=5千米，/N=3千米.若NMPN=60。,则两条观光线路PAf与尸N之和的最大值

为千米.

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2024年高考数学一轮复习：解三角形教师版

一、单项选择题

1.（2023•重庆模拟）在厶工台。中，sin4=晋,AC=3,8=45。，则BC等于（）

A.23B./C.2sD.2也

答案D

解析由正弦定理知，-,

smAsinB

Jx毡

...8c='Csm'=——

sinByJ2

2

2.（2023・南昌模拟）厶力台。的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若6=3,c=2,/XABC

的面积为2sinB,则cosA等于（）

1谓「币3

AA.-B-C.—Dn-

3344

答案D

解析因为6=3,c=2,厶力鸟。的面积为2sin&所以S/、/8c=%csin8=2sin&

所以。=2,由余弦定理得cos/="^~

2bc4

3.在△力5C中，角A,B,。所对的边分别是a,b,c,若asinN+Z?（sinB+3sinZ）=csinC,

则。等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案D

解析因为asinA+b（sinB+yfisinA）=csinC,

所以由正弦定理得〃2+b（b+3〃）=c2,

化简得a2+b2—c2=—y[3ab,

所以由余弦定理得cos。=4±-=二^弛=—金，

2ab2ab2

因为CG（0,兀），

所以C=150°.

4.（2023・郑州模拟）2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名

单.某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场力地测得纪念塔

顶。的仰角为45。，乙同学在二七广场8地测得纪念塔顶。的仰角为30。，塔底为C（4B,

C在同一水平面上，0c丄平面/8C）,测得/8=63m,ZACB=3Q°,则纪念塔的高CD为

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A.40mB.63m

C.40>\/5mD.63A/5m

答案B

解析如图所示，ZDAC=45°,/CBD=30。,N4cB=30。，设塔高CD为厶因为DC丄平

面48C,所以。C丄。，DCA.CB,

B

所以NC=/,BC=血,又AB^MAC+BC-ZACBCCOSNACB,

即632=於+3产一2xSrXfX*,

2

解得£=63m.

5.（2022・南宁模拟）在△A8C中，角B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,b2+c2^a2+

be,则△/BC外接圆的面积是（）

A兀4兀—crv

A.-B.—C.2元D.A4兀

33

答案B

222221

解析因为b+c=a+bc,所以b+c—a=bc9

由余弦定理得c°s”=妇/W’

所以sin"学

设△Z8C外接圆的半径为凡由正弦定理得2/?=亠=建

sinA3

所以T

所以△/8C外接圆的面积是兀戸=也.

3

6.设△N8C的内角4B,C的对边分别是a,b,c,tan/=Z且8为钝角.W'JsinJ+sinC

b

的取值范围是（）

A.伶12,-81.B停3

p2

C.1817(0用

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答案A

解析由tan4=旦以及正弦定理得劭L1=2=®2,所以sin8=cos4即sin8=sin(2+“

bcos/bsinB

又8为钝角，所以北第q,

故土,

r矶

。=兀一(4+8)=：—2Z>0=404丄

于是sinJ+sinC=sinJ+sin(W=sin4+cos2A=-2sin2/i+sinX+1=—21

疝公B+

9

因为力£(0，J所以0〈sin，v學，

由此也＜—zG'n44)2+~^~»即sin4+sinC的取值范围是[2，8_.

288

7.(2022•洛阳模拟)已知在△N8C中，/8=5,ZC=4,则当函数9)=sin1T+Scos[+Z

—cos2/取得最大值时，BC等于()

A.4B诉C.A/41D.2标

答案B

(2cos2^-1)=-2cos24+2cos4+1,

当C0S4=1,即4=%时，/(4)max=W，

232

.,.BC2=52+42-2X5X4X-=2l,.，.8C=诉.

2

8.(2022•吉安模拟)在中，N8=8C,点。是边48的中点，△ZBC的面积为土则线

段CD的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+0°)

C.^+TD(0用

答案c

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解析设AB=BC=t,CD=m,所以S△麻=贝访3=；,BPr2sinB=1,①

在△88中，由余弦定理得〃72=f2+@2_2f,cos8,

2

即Feos5=与2一团2,②

4

由①②得方管一叫+华,

O1

即加4-40m2/2+16"+”丝=0,

81

令产=x>0,设8（》）=9工2—40川2》+16,"4+丄产，则方程g（x）=0在（0,+8）上有解，所以

81

仔0〃?]00/叫

gl9J=919J2-40/n2X等+痴+臂支解得一吟即心*

二、多项选择题

9.（2022•福州模拟）下列对厶/夕。解的个数的判断中正确的是（）

A.a=7,6=14,/=30。，有一解

B.a=30,b=25,4=150°,有一解

C.a—yfi,b=&,A—60°,有一解

D.a—6,b—9,A=45°,有两解

答案AB

解析选项A,6sin/=14sin30。=7=°,则三角形有一解，判断正确;

选项B,bsin/=25sin150°=",则。>6>bsin/,则三角形有一解，判断正确；

2

选项C,bsin/=*sin60。=出住，贝！|4<6sinN,则三角形无解，判断错误；

2

选项D,bsinZ=9sin45°=幺2,JH'Ja<bsinA,则三角形无解，判断错误.

2

10.在△A&C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若。2+.—62+°2&2.=0,则

asinAbsinB

△ABC的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

答案AD

解析M+U-%a2T2-2=0,变形得层+»—62="+c2—

asinAbsinBasinAbsinB

结合余弦定理得厶

asinAbsinB

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因为cWO,所以sinBcos5=sinAcosA,

即sin2/=sinIB.

因为48W(O,7t),

所以2/=28或2/+28=兀，即/=8或/+8=匹，

2

所以△4BC为等腰三角形或直角三角形.

II.(2023•宁波模拟)已知△ZBC三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且3ccosZ+“sin

C=0,若角/的角平分线交BC于。点，且力。=1,则下列结论正确的是()

A.A=—B.A=-

33

C.b+c的最小值为2D.6+c的最小值为4

答案AD

解析由\[3ccosA+asinC=0及正弦定理，

得由sinCeosJ+sin/sinC=0,

因为CG(0,?t),sinCr0,所以mcos/l+sin/=0,即tan/=-3,

因为/W(0,兀)，所以/=与，故A正确；

SdABC=S^ABD+S^ACD，

所以—hesin—=-c'1sin-+—/>,1sin-,

232323

所以bc=b+c9即丄+1=1,

bc

所以8+c=(b+c)(+c]=2+2+C，2+21/—x—=4,

cb\]cb

当且仅当6=c=2时，等号成立，

所以6+c的最小值为4,故D正确.

12.（2023・南昌模拟）已知。是△A8C的外心，若駡•鳶・历+需农・历=2加元2,且2sin8

+sinC=3，则实数〃?可取的值为（）

334

A.-B.-C.-D.1

455

答案AB

解析设△Z8C的外接圆半径为心因为。是△/8C的外心，故可得M。|=凡

且恭.訪=；|前2=$2,而历=轲?|2=步，

故吗方•訪+四太•訪=2，"訪2,

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即^AB[\AC\+^AB[\AC\=2mR2,

也即bc=2mR2,则〃?=粗三，

2R2

又2sin8+sinC=3,

由正弦定理可得2b+c=237?,则上=06匿,

L,6bc-----6----------——3

故加=-----------—AlW[77~=一，

4Z>2+c2+4/)c唯+6+42A/---+44

cb\lcb

当且仅当也=C,即c=2b时，〃[取得最大值3,

cb4

故结合选项知m可取的值为3或3.

45

三、填空题

13.已知锐角厶力夕。的内角4,B,。的对边分别为〃，b,c,且满足c=3，^3tanB

=\[3+tanA+tanB,则京+乂的取值范围为.

答案(5,6]

解析方法一由韵tanZtan8=d5+tanZ+tan8,

得tan4+tanB=出(tan力tan8—1),

则tanN+tanS=—e

1—tanJtanB

即tan(4+8)=一3，

/.tanC=韵.

又0<C<­,

2

：.A+B=—,

3

又・・・044v匹，0<^<-,

22

62

由正弦定理，得|=*=六=噂=2,

sinAsmBsmC

2

a2+b2=(2sinA)2+(2sinB)2

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・・・5〈屏+〃<6,即小+加的取值范围为(5,6].

方法二由/tanNtanB=3+tan力+tan8,

得tan/+tanB=\[3(tanAtanB—1),

M.tanJ+tanBr

则-----------二f,

1—tan4tanB

即tan6+8)=—3,

・・tanC="\/5.

又0<C<-,

2

3

设z=£一%B=-+a.

33

••八/兀/兀

.0<----a<—,0<—+a<—,

3232

得，—=亠~=，—=芈=2

由正弦定理,

sinAsin3sinC'

2

a2+b2=(2sin/>+(2sinB)2

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fl--X2cos—cos2oil

=4l23J

=4+2cos2a.

,・7C.it

・—<«<-,

66

；・一匹<2av匹,

33

-^<cos1,

2

5<a2+/?2^6,

即解+加的取值范围为（5,6].

14.的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,若cos2C=sin24+cos2B—sin/sinC,且

6=6,则8=,△49C外接圆的面积为.

答案J12兀

3

解析由cos2C=sin2^+cos2i5—sin/sinC,

可得1—sin2C=sin2z+1—sin25—sin/lsinC,

即sin2J+sin2C—sin2^=sinJsinC,

由余弦定理可得cos

2ac2

又因为8W（0,兀），可得

所以A/BC外接圆的半径R=—^=2\b,

2smB

所以△力8C外接圆的面积为兀R2=12兀

15.（2023・临汾模拟）在△48C中，角A,B,C所对的边分别为°,b,c,且满足54+3加=

3c2,则tanZ的最大值为________.

答案7

（

解析'：5a2+3b2=3c2,：.a2=33/?~

5