2023-2024学年北京宏志中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年北京宏志中学高一数学理上学期期末试卷含解

析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知某几何体的三视图如左下图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是

由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何

体的体积为（）

正（主》视图'侧（左）视图”

俯视图•

参考答案:

2.阅读程序框图，执行相应的程序，若输入x=4,则输出y的值为（)

A.1B._3C.5D.13

-2-4-4-~8

参考答案:

C

3.（5分）在AABC中，AB=2,BC=1.5,ZABC=120°（如图），若将AABC绕直线BC旋转

一周，则所形成的旋转体的体积是（）

参考答案：

A

考点：组合几何体的面积、体积问题.

专题：计算题；空间位置关系与距离.

分析：大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案.

解答：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,

所以0A=J5,OB=1

-n-(73)2,(OC-OB)—

所以旋转体的体积：3=2

点评：本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题.

4.△ABC的内角AB,4的对边分别为a,b,c,已知asinA-Z?sinB=4csinC,cosA=—

1*

4,贝ijc=

A.6B.5C.4D.3

参考答案：

A

【分析】

利用余弦定理推论得出a,b,c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得由余弦定理推论可得

短

12K2bc故选A.

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.

5.设函数f(x)=2x+l的定义域为[1,5],则函数f(2x-3)的定义域为()

A.[1,5]B.[3,11]C.[3,7]D.[2,4]

参考答案:

D

【考点】33：函数的定义域及其求法.

【分析】由题意知1W2X-3W5,求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域.

【解答】解：•••函数f(x)的定义域为[1,5],

.♦.1W2X-3W5,解得2WxW4,

...所求函数f(2x-3)的定义域是[2,4].

故选D.

6.二次函数y=ax?+bx与指数函数y=(I)*的图象只可能是()

参考答案:

A

【考点】指数函数的图象与性质；二次函数的图象.

【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B、D选项，再根据a-b的值的正负，结合二次

函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案.

【解答】解：根据指数函数度占可知a,b同号且不相等

b

则二次函数yuax'+bx的对称轴2a<0可排除B与D

卜

选项C,a-b>0,a<0,a>l,则指数函数单调递增，故C不正确

故选：A

7.与一463。终边相同的角可以表示为(左ez)

Ai360T+463*B*360*M(B-

C*360*+257D*3«r-257

参考答案：

C

【分析】

将一463。变形为h3&r+a(aH(rJ609X*sZ)的形式即可选出答案.

【详解】因为3=，2X360T»W,所以与一463。终边相同的角可以表示为

1360-+257,故选c.

【点睛】本题考查了与一个角终边相同的角的表示方法，属于基础题.

8.已知集合”=(+3<xS5},AT={x|-5<X<1},则(gAf)c"等于

()

A或x>5)B.{x|-5<x<-3}

c{x|-5<x^-3}D.{"|x<l或

参考答案：

c

略

J

/W=logl(x-2x-3)

9.函数，的单调递减区间是()

A.(—oo?+co)B.(—8,1)C.(3,+oo)D.(l,+oo)

参考答案：

C

【分析】

先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递减区间.

【详解】由/一*3=任*1)任-3)>0,解得x<-l或x>3.当x<-l时，

，=丁一》3为减函数，而/任)的底数为分，所以Si)为增区间.当工>3时，

，=/_益―为增函数，而的底数为,所以

3为减区间.故本小题选C.

【点睛】本小题主要考查对数函数的定义域的求法，考查复合函数单调性的判断，属于基

础题.

10.已知tana=3,贝ij2sin1a+4smacosa-9cos2a的值为

()

J_|

A30B.3

21

C.ioD.3

参考答案：

c

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知等差数列，=3.，=2Ld=Z则n=.

参考答案：

10

试题分析：根据公式，，=，+(mT)d,将“工””」一代入，计算得n=io.

考点：等差数列的通项公式.

12.已知幕函数的图象过点口2点)，则〃9)=.

参考答案：

__3

设幕函数为〃x)-L,由于图象过点(X2应)，得7-2'回，.•/=3

...加=9二后

13.已知平行四边形痴。。，则冠CD+ACDB+ADBC=

参考答案：

o

14.函数的最小正周期为

参考答案:

71

【分析】

_2”

利用y=d3（®K'.）的最小正周期H,即可得出结论.

/（x）-3coB（2x+y1—=JT

【详解】函数I的最小正周期为2

故答案为次.

【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.的最小正周期

-2n

为同

15.已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，给出下列四个结论：

①/@=o；

②若/（X）在【0，+8）上有最小值-1,则/仁）在上有最大值1；

③若/（X）在□，+8）上为增函数，则/（X）在（-叱-1］上为减函数；

④若X>。时，/（X）=xa-2x,则X<0时，/（X）=-Xa-2x.

其中正确结论的序号为;

参考答案：

①②④

16.若关于x的方程49+2ax+1=0至少有一个负根，则a的取值范围是一

参考答案：

同"<OxSiai1J।

略

17.函数f（x）=2'+a?2r是偶函数，则a的值为

参考答案：

1

【考点】函数奇偶性的判断.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可.

【解答】解：(x)=2*+a?2r是偶函数,

f(-x)=f(x),

即f(-x)=2-JI+a?2x=2x+a?2x,

则(27-2")=a(2-x-2x),

即a=l,

故答案为：1

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分14分)设直线,1J=2x与直线交于F点.

(1)当直线用过F点，且与直线4：1-2)，=0垂直时，求直线附的方程；

(2)当直线加过P点，且坐标原点°到直线力的距离为1时，求直线制的方程.

参考答案：

y^2x

解：由1x+y=3,解得点

尸(12)...............2分

,_119

”及一工一

(1)因为小J_/。，所以直线耀的斜率2,...............4

分

又直线那过点尸(⑵，故直线冽的方程为：了-2=-2卜—1),

即2x+，-4=0................6分

(2)因为直线耀过点当直线，"的斜率存在时，可设直线制的方程为

y-2=k(x-]),即

H-y"+2=0.........ks5

u…7分

所以坐标原点°到直线耀的距离JX+1，解得4,............9分

33

-x-V--+2=0o<一勺八

因此直线棋的方程为：44,即"-4>+>=U..............10分

当直线冽的斜率不存在时，直线加的方程为X=l,验证可知符合题意.……13分

综上所述，所求直线加的方程为1=1或3*_4了+1=0...................14分

略

19.(满分10分)设了③1是定义在I-1』上的函数，且对任意a,当

4-“0时，者"有a-b.解不等式.习

参考答案：

一[八*">0

因为对任意a,叱[-1同，当a-bwO时，都有a-b,

所以函数/(X)在[T』上是增函数,

xa-3<x-l

'-l£?-3£l

所以

解得xe[&.2)

20.如图所示，四边形。4PB中，OA^OBrPA^PB^W,ZPM^ZLPBO

/

一6设NRM=a,&«»的面积为S.

(1)用。表示。4和0B；

(2)求儿《»面积s的最大值.

参考答案：

"。当陪上初a«g型出

(1)ana^cosa,2；4a+cosa,2(2)4

【分析】

APOP

(1)在△AO尸中，由正弦定理得sina-siiL〃"O,zYBOP中，由正弦定理得

BPOP

.(n_[sinZTWO-,一八x

12),用a表示AP和BP,由条件可得3,由正

弦定理可得。4和。8;(2)用OA,0B表示出△A08面积S,令尸sina+cosa,构造关

于，的函数，求出最值.

APOP

【详解】(1)在A4QP中，由正弦定理得甚GsmZPAO

BPOP

.(<SMLZ7®(7

ml—a,I

在ABOP中，由正弦定理得12J

AP10-JP

因为〃=+口=1。，所以sinacosa,

1<tota10cosa

〃=_1』_^=10_--=-.

则ana\cosa,sis<Z4cosasinaicosa.

ZPAO-

因为四边形Qd达内角和为2”,可得3,

APOA

在AM尸中，由正弦定理得疝《。OBZAPO,

HPOBBPOB

在AB。尸中，由正弦定理得—/><?尸疝nNAR?即matiskZJtPO,

10

A。

(2)4鬣泗的面积2analoosaanaicosa

50sinai-I-cosa-—IC1

xma瓦«a»Q-

I22)[22

(sina.cosa)

—瓦■a•n一an〃da

=50x^---------------彳

(sina+cosa)

f=^an|a*-

设"Gna+ma,IV'」

S=50料_勺(----f----=SJ0l-.

则2

「aJ2sd(2-⑹/op/

当时，即4时，S有最大值44

50-25—

所以三角形。4月面积的最大值为'―4一.

【点睛】本题考查正弦定理和面积公式的应用，考查换元法求最值问题，考查转化思想和

计算能力，属中档题.

21.设a,bGR且aW2,函数l+2x在区间(-b,b)上是奇函数.

(I)求ab的取值集合；

(II)讨论函数f(x)在(-b,b)上的单调性.

参考答案：

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【分析】(I)根据奇函数的定义，由f(-X)+f(x)=0结合对数的运算性质，可得a

的值，根据函数的解析式，分析使式子有意义的x的范围，进而可得b的取值范围，进而

得到ab的取值集合；

(II)任取Xi,x?e(-b,b),且xi<xz,分析出f(xz)与f(xi)的大小，进而根据

函数单调性的定义，判断出函数f(X)在(-b,b)上的单调性

f(x)=lgl+ax

【解答】解：(I)函数%+2x在区间(-b,b)内是奇函数

，对任意x£(-b,b)者B有f(-x)+f(x)=0,

22

]gLax1+ax

S1S

1-2X+I+2X=—4X2=O

即1-4x2

即aljdx，此式对任意x©(-b,b)都成立

：.a=4

又：aW2,/.a=-2

1+ax