江西省宜春市上高县2023-2024学年高三年级上册12月月考数学试题（含答案）

2024届高三数学月考试卷

一、单选题（每题5分，共40分）

1，已知集合&=｛（、'加一9=°｝,3=｛（%y）|y=e;其中e为自然对数的底数

,则Ac8子集的

个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

z(3+4i)=|2V6-i|

V7

2.已知复数Z满足II，贝l]z=()

34.43.

A.—+—1B.—+—1

5555

34.43.

C.-----1D.---------1

5555

3.已知名厂是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（

A.若aua,bu)3且aUb,则2

B.若aua,buaaaHB，bH0,则戊〃夕

c.若a_L/?且aP=a,aVb,则

D.若aua,bu/3,a//13,b//a且a/异面，则a//0

4.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打

压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域

取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的

研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的

研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）

参考数据：lgl.09°0.0374,lg2x0.3010,lg3®0.4771.

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

5.设点G是.ABC的重心，若NA=120°，ABAC=-1＞则AG的最小值是（）

32D.B

A.B.----

4333

71,VxeR,总有成立，且|石一到的

6.已知函数/（x）=sin（0x—9）3>0,|同<2

1

最小值为兀.若COSl；一9=COS（p,则〃龙）的图象的一条对称轴方程是（）Ax=~B.X=--

36

7171

C.x=—D.x=一

36

22

7.已知耳，工分别为双曲线二-谷=l（a>0,6>0）的左、右焦点，过工与双曲线的一条渐近线平行的直线交

ab

双曲线于点尸，若［P郊=3归阊，则双曲线的离心率为（）

A.3B.75C.73D.2

8.已知/（X）=辰］,关于X的方程/2（X）+"（X）+2=0（/eR）有四个不同的实数根，则，的取值范围为

(

(2e2+nf2e2+l)'2/+1、2e2+P

A.—00,-------------B-.---------,+ooC.,-2D.2,

、e?、eJ、e71e>

二、多选题（每题5分，共20分）

9.下列命题是真命题的有（）

A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为

30

B.某一组样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在区间［114.5,124.5］

内的频率为0.4

C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60,68,人数之比为1：3,则甲、乙两队全部队员体重的平均数为

67

D.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5

10.一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）

A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有T件次品?和都是次品

C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”

7T

11.已知，ABC三个内角A,B,C的对应边分别为mb,c,且NC=—,c=2.（）

3

A.ABC面积的最大值为6

B.AC•AB的最大值为2+上叵

3

c.——的取值范围为（—2,+8）

cosA

2

D.bcosA+acosB=y/2

12.如图，在正方体ABC。—中，点E,尸满足AE=xA5+”1£),Ak=zA〃，且苍％ZG(0,1).

记所与AA所成角为a,历与平面A3CD所成角为夕，则（）

A.若％=J，三棱锥E-3CF的体积为定值

2

B.若z=g,存在x=y,使得EF//平面BDRBi

JT

C.Vx,y,ze（0,1）,a+j0=—

D.若x=y=z=g,则在侧面3CG5］内必存在一点p,使得PE工PF

三、填空题（共20分）

13.已知平面向量a==(-2,l),c=(八,2),若atb,b〃C,贝1!772+〃=,

14.(l+x)3+(l+x)4+---+(l+X)8的展开式中V的系数是.

函数/（x）=sinawcos<ur+cos2cox在|工“单调递减，则①的取值范围为.

15.已知。>0,

2

16.设〃龙）是定义在R上的单调函数，若VxeR,/（/（x）-2*）=n,则不等式/（“<7的解集为

四、解答题（共70分）

17.在448C中，角4B,C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC=/2a-qa>$8.

“，求角8的大小；"/设a=2,c=3,求sin化八+8J的值.

3

18.在中，角ABC的对边分别为。，"c,二ABC的面积为S,已知---=<22COSB+abcosA.(1)求

tanB

q

角3；(2)若6=3,△ABC的周长为/,求丁的最大值.

19.已知数列｛4｝的前〃项的和S”=卫/，数列出｝的前几项的和T“满足44+4=8%〃cN*.⑴分

别求数列｛4｝和也｝的通项公式；⑵求数列｛。也｝前九项的和Q.

20.如图所示，在四棱锥S-A5CD中，底面A3CD是边长为2的正方形，5A，平面ABCD,二面角

TT

S-OC-A的大小为一，E、F、G分别是S4、SB、BC的中点.

4

(1)求证：S。//平面所G

,4BM

(2)在线段上是否存在一点使得点A到平面ER以的距离为一，若存在，求出——的值；若不存

5MC

在，请说明理由.

21.某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展、百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，

启动建设了一所高标准、现代化、智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的

简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对

得10分，答错得。分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优

秀者得15分，非优秀者得5分.

4

（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（65,15?）,80分及以上为达标，估计进入面试

环节的人数（结果四舍五入保留整数）；

（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为二，第三题被评为优秀的概率为:，每道题正确与否、优秀与

否互不影响，求该应聘者的面试成绩y的分布列及其数学期望.

附：若随机变量x则

P（〃一b<X鼓山+cr）»0.6827,P（〃一2cr<X〃+2c）«0.9545,-3a<X„jU+3cr）«0.9973.

22.已知函数〃u=glx）-bx-（a,b€.R）

（1）当a：1，时，求曲线v=—g/x）在x=1处的切线方程；

（2）当b=o时，若对任意的力“，0工，三C恒成立，求实数。的取值范围；

（3）当a=0，b>0时，若方程〃g仅有两个不同的实数解勺，x2（xl求证：^x2>2-

答案解析

一、单选题（每题5分，共40分）

1.已知集合'=｛（2）底—1=3=｛（乂，）卜=1,其中e为自然对数的底数｝,则AC8子集的

个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断直线%-丁+1=。为曲线y=e’的切线，再结合集合含义，得出AC8只有一个元素，从而

求解.

【详解】由题知，V=e',在点（0,1）处的切线斜率为e°=l，则在（0,1）处的切线方程为x—y+l=。.

5

因为直线>=尤+1与曲线y=e'相切于点（0,1）,有且只有这一个公共点，故AcB中有且只有一个元素,

所以AC8的子集个数为2个.

故选:B.

z（3+4i）=|2回i|

2.已知复数Z满足V7II，贝厂=（）

34.

A.—+—1B.

5555

34.43.

C.----iD.——i

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算法则和模的定义即可求出复数z,再根据共辗复数定义即可得结果.

5（3-4i）_34.

【详解】由z（3+4i）=|2#—i|,得z=J（2女--------------=-----]

（3+4i）（3-4i）55

-34

所以Z=g+gi,

故选：A.

3.已知戊,万是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（）

A.若aua,bu。aa〃力，则a〃/

B.若且。///3,b〃/，则a〃/

C.若a_L/?且。P=a,a工b,则匕_1_£

D.若aua,buB，a///3,b//a且a力异面，则a//0

【答案】D

【解析】

分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案.

【详解】对于A,若aua,"u/7且。〃力，也有可能a与夕相交，如下图，故A错误;

m

6

对于B,若aua,bua豆aHB，bH0,也有可能e与夕相交，如下图，故B错误;

对于C,若且a/3=a,aLb,也有可能Z>ua,如下图,

故C错误;

对于D,若aua,bu仇aHB，bIIa且a,b异面,则e〃夕，故D正确.

故选：D.

4.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打

压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域

取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的

研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的

研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是()

参考数据：lgl.09x0.0374,lg2x0.3010,lg3»0.4771.

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可.

【详解】设2020年后第九年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元,

由120x(1+9%)”>200得(1.09)”>|,

lg5-lg31-Ig2-lg3

两边同取常用对数，得〃〉。5.93

lgl.09lgl.09

7

所以“26,所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.

故选：C.

5.设点G是一ABC的重心，若NA=120°，ABAC=-b则的最小值是()

32rV2

A.一B.一D

433-T

【答案】C

【解析】

一1-

【分析】设。是BC的中点，连接A。，进而得AG=§(A3+AC),再结合已知得|AB|.|AC|=2,最后结

合向量模的计算公式与基本不等式求解即可.

【详解】解：设。是的中点，连接AD.因为G是4ABe的重心,

211

所以AG=§AD=§(AB+3Z>+AC+CD)=](AB+AC)

因为NA=120,ABAC=-\,

所以||=2，

IIIIcosA

所以AG=gAB+=gJABI2+|AC|2+2ABAC=1^AB|2+|AC|2-2

>|^2|AB|.|AC|-2=当当且仅当|AB|=|AC|时取等号

6.已知函数/(%)=5皿0%-9)10〉0,|同<1],\/%€11,总有/(%)</(力</(%2)成立，且归—引的

最小值为兀.若cos]|_-e)=cos9，则/(%)的图象的一条对称轴方程是()

8

71717171

Ax=——B.X-----C.x——D.x=—

3636

【答案】A

【解析】

71

【分析】根据四-九21的最小值为兀，可得周期，进而根据cosej=cos。求解9=看，即可根据整体法求

3

解对称轴方程.

【详解】由于对VxeR,总有/a)W〃x)W/(X2)成立，且卜一目的最小值为兀,

12兀

所以一丁=兀07=2兀=一=。=1,

2co

(兀)7T7C

又cosI-I=cos(p,则耳一夕=±*+2kJi,ZeZ,所以§一夕=0+2防i,keZ,

所以夕二工一女兀欢eZ,由于［同<二,所以9=

626

故/(x)=sin

兀71Z兀

令x—=—+E,左wZ,所以%=---bE,左eZ,

623

2兀

故/(x)=sin对称轴方程x=——+防1,左£Z,

3

TT

取上=—1时，％=--,

故选：A

22

7.已知可，工分别为双曲线5-与=l(a>0,6>0)的左、右焦点，过工与双曲线的一条渐近线平行的直线交

ab

双曲线于点尸，若归国=3归月|,则双曲线的离心率为()

A.3B.&C.石D.2

【答案】C

【解析】

b

【分析】设过居与双曲线的一条渐近线丁=一%平行的直线交双曲线于点P,运用双曲线的定义和条件可得

a

\PF^3a,\PF2\=a,|£^|=2c,再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值.

b

【详解】设过B与双曲线的一条渐近线丁二—九平行的直线交双曲线于点尸，

a

9

由双曲线的定义可得|P£ITPR1=2a,

由|尸耳|=3|尸6|,可得|PfJ=3a,\PF2\=a,\FlF2\=2c,

h

由tanN£KP=—可得

a

在三角形尸耳心中，由余弦定理可得:

2

IPFt|=|PF21+]4叶F-2|尸夫I耳氏IcosN耳招」,

BP<9a2=a2+4c2-2ax2cx-,化简可得c?=3/,

C

所以双曲线的离心率e=£=Q.

a

故选：C.

8.已知F(x)=ke],关于X的方程/2(X)+"(X)+2=0(teR)有四个不同的实数根，贝V的取值范围为

()

f2e2+l^f2e2+l)f2e2+lQ(2e2+l)

A.—00,--------------B.-----------,+ooC.--------,-2D.2,------

e

1eJke)ke)I)

【答案】A

【解析】

【分析】求导得到导函数，确定单调区间，画出函数图像，令/(x)=〃2,得到+有两个不同的

根叫m2e(g,+oo],得到*+/+2<0,解得答案.

【详解】令y=%e",/=(x+l)ex,

当x>—1时，♦♦♦、'>()♦,函数单调递增；当％<—1时，/<0,函数单调递减;

故当芯二一1时，函数的最小值为一。一1二一，，

e

=辰"图像是由y=xex的图像X下方的部分向上翻折形成，如图所示：

10

当机=0时，等式为2=0,矛盾，舍去；

若叫=!，此时对应两个不同根，若要凑四个根，则如=!，不满足题意，舍去；

ee

则加2+碗+2=0有两个不同的根叫机2即「+：+2<0,/<-2e+1,

故选：A.

二、多选题（每题5分，共20分）

9.下列命题是真命题的有（）

A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为

30

B.某一组样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在区间［114.5,124.5］

内的频率为04

C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60,68,人数之比为1：3,则甲、乙两队全部队员体重的平均数为

67

D.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5

【答案】BD

【解析】

【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间［114.5,124.5］内的个数除以总数计算概率，即可判

断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即

可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.

3

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9十一--=18,故选项A错误；

3+1+2

对于选项B：样本数据落在区间［114.5,124.5］内的有120,122,116,120共4个，所以样本数据落在区间

［114.5,124.5］内的频率为2=0.4,故选项B正确；

11

对于选项C：甲、乙两队的人数之比为1:3,则甲队队员在所有队员中所占权重为'=一,乙队队员在所

1+34

33-13

有队员中所占权重为——=—,则甲、乙两队全部队员体重的平均数为x=—x60+—x68=66,故选项C

1+3444

错误；

对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,由10x85%=8.5,则该组数据

的85%分位数是第9个数，该数为5,故选项D正确.

10.一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()

A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有T件次品?和都是次品

C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”

【答案】AD

【解析】

【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.

【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；

B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；

C：“至少有1件正品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”},“至少有1件次品”的基本

事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”},它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是

互斥事件；

D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；

故选：AD

TT

11.已知.ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且NC=-,c=2.()

3

A.ABC面积的最大值为指

B.AC•AB的最大值为2+生叵

3

rneR

C.的取值范围为(—2,+8)

cosA

D.bcosA+acosB=V2

【答案】AB

【解析】

【分析】由余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算判断A；由正弦定理，向量数量积的定义，三角恒等

变换结合正弦函数的性质求解判断B；利用三角恒等变换结合正切函数的性质计算判断C；利用余弦定理计算

12

判断D.

7T

【详解】对于A,由NC=§,c=2,得4=a2+b2—ab»2ab—ab=ab，当且仅当。=6=2时取等号,

即ab的最大值为4,

则一ABC面积S=ga6sinC＜；x4x#=Q,即面积的最大值为也，A正确；

对于B,由正弦定理得—^=，=生8,则b=tgsin2,B=--A,

sin5sinC333

AC-AB=becosA=—sinBcosA=—cosAsin(——A)

333

8A/31,4G

=----coscosA+—sinA)=4cosAd———sinAcosA

3

=2(1+cos2A)+2fsin2A=~~~(；sin2A+cos2A)+2=~~~sin(2A+g)+2,

Lt5、cA27r,.__.4兀7T..7T5兀.t,—.兀兀

显然0<A<—,有0<2A<—,一<2AH—<—,则当2AH—=一,

3333332

即人=工时，a。取得最大值为拽+2,B正确；

123

j-r-cos(--A)cos—cosA+sin-sinA/r,..2TD

对于C,cosD%13L33.13,3tan，4,由4£(/0R,彳),

cosAcosAcosA22J

得tanAe(-oo,-u(0,+oo),因此的取值范围为(一8,-2)。》(-±+8),C错误;

cosA2

72,2_22,2_r2

对于D,由余弦定理得bcosA+acosB=b----------+a-~——-------=c=2,D错误.

2bc2ac

故选：AB

12.如图，在正方体ABCD—中，点瓦厂满足==且x,y,z£（0,l）.

记所与44］所成角为/跖与平面A5CZ）所成角为夕，则（）

13

A.若》=』，三棱锥E-3CF的体积为定值

2

B.若z=g,存在x=y,使得EF//平面BDRBi

jr

C.Vx,y,ze（0,1）,a+j0=—

D.若x=y=z=e，则在侧面BCCdi内必存在一点P,使得尸E人尸尸

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正方体的结构特征，由三棱锥的体积计算判断A；取点E,借助面面平行推理判断B；利用线

线角、线面角的意义判断C；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断D作答.

【详解】对于A,当了=」时，取A5中点S,CD中点T,连接ST,

2

根据平面向量基本定理知，则E在ST上，则ST/ABC,

57（/平面8。5，5Cu平面5b,则ST//平面BCT,

则E到平面8"的距离为定值，又ABCF的面积为定值，

因此四面体厂-AEB的体积为定值，A正确；

对于B,当z=1•时，取x=y=:,则尸为4〃的中点，取AD的中点G,

令ACBD=O,则E为AO的中点，连接EG,/G,

显然FGHDD,,FG<Z平面BD”,DDXu平面BDD{B{,则/G//平面BDDXB1,

而EG//DO,同理EG//平面瓦，又EGcFG=G,EG,FGu平面EFG,

14

因此平面EFG//平面5。。百，又叱u平面E尸G,所以EF//平面BDD禺,B正确;

对于C,过产作BG//A&交A。于G,连接EG,由A4，平面A3CD,

得尸G,平面A3CD,

而EGu平面ABCD,看FG工EG,

显然NEEG是ER与平面ABCD所成的角，即Z?=NREG,

由RG//A4,得NEFG是E尸与AM所成的角，即cr=NEFG,所以a+^=NEfG+NEEG=5,C正

确；

对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，当x=y=z=1■时，

£(1,1,0),尸(1,0,2),点尸在侧面BCQB］内,

设尸(后〉/。),为*。^。,©,PE=(l-x0-l-z0),PF=(l-x0-2,2-z0),

222

则PE-PF=(1-XO)+2+ZO(ZO-2)=(1-XO)+(ZO-1)+1>1>O,

三、填空题(共20分)

13.已知平面向量a==(-2,l),c=(八,2),若a工b,b〃C,贝！h篦+〃=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示，列式计算，求出办〃的值，即可求得答案.

【详解】由a=(l,m),b=(-2,l),c=(n,2),tz±Z?,Z?//c,

得-2+切=0,-2*2—7?=0,解得m=2,”=T,

所以m+n=—2,

15

故答案为：-2

14.（1+力3+0+力4+…+0+'8的展开式中%3的系数是.

【答案】126

【解析】

【分析】根据通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是G；,表示出v的系数，然后利用组

合数的性质进行求解.

【详解】（1+力3+（1+力4…+（1+力8的展开式中?的系数为

Cl+Cl+Cf+Cl++Cf=Ct+Cl+Cf+Cl+C^+Cl=C^=126.

15.已知（y>0,函数/（x）=sinoxcosa>x+cos2公r在［；兀J单调递减，则0的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】运用降次公式及辅助角公式化简函数〃x）=*sin（20x+：）+g，结合《之兀-/、换元法及复

合函数单调性求解即可.

1.八1+cos2a)xe.兀、i五,兀、口

【详解】因为/(%)=sincoxcos(^x+cos2cox=—sin2cox+---------=2sin（2®x+-）+5在（万，兀）上

22

单调递减，

ttT、兀rtr兀、兀

所以一2兀——，即一2一，

22co2

又G>0,所以0<。<2,

C兀

令A"2s+一,

4

7C兀兀

因为一<1<兀，0<〃><2,所以①兀+—</<20兀+—，

244

所以问题转化为丁=Y2sin/+L在（刃兀+吗,2①兀+工）（0<口<2）上单调递减,

2244

16

7T7T

所以问题转化为y=sint在(师+—,2。兀+—)(0<<»<2)上单调递减，

-44

又殳〈师+纭〈电，—<2a)7i+—<^^-,y=sinf单调递减区间(殳+2E,羽+2E),keZ,

44444422

所以(0兀+：,2(w兀+：)0,

0<«<2?

7T7T15

所以《am+—>—?,解得一Wo4一.

4248

。，兀/3兀

2am+—<—

42

j_5

故选:

458

16.设〃龙)是定义在R上的单调函数，若VxeR,/(/(x)-2")=11,则不等式/(x)<7的解集为

【答案】(-8,2)

【解析】

【分析】根据题意，设/(x)—2'=冽，得至u/(x)=2'+m,结合/(根)=2恒+根=11,求得加的值，得到

/(x)=2*+3,把不等式转化为2,+3<7,即可求解.

【详解】由VxeR,/(/(x)—2x)=n,可得了⑴一2,必为定值，

设/(x)—2*=〃z,即/(x)=2*+〃z,

由/(切)=2'"+根=11,解得机=3,所以/(x)=2*+3,

则不等式/(X)<7,即2工+3<7,可得2*<4,解得x<2,

所以不等式/(“<7的解集为(—8,2).

故答案为：(-8,2).

四、解答题(共70分)

17./本小题me分j

17

在△ABC中，角4，6，C所对的边分别是a，b，c，已知bcwC，(2a-

求角B的大小；化)设a=2,(■二3，求》“〃*8,的值.

【答案】解：(1，:bcosC=/2a1c)co5B,

bcosC*ccosB=2aco$B,

由正弦定理得sinBcosC♦sinCcosB：2夕心

smf3+0=sm4：2s”?』ros8，

cosB二

又♦.♦Be(0f可，

・・・8=；.

“I)由。=2，c=3，可得了=02+〃-2。"。$8二7,可得b:C，

因为所以以相

rzn^7

又acc,则/!W(0fros.4-

可得$fn24^2stnAcosA=2xns2A-2cos1A-1-

所以siW24♦叫:sin2AcosB*cosiAsinB

727ZK

4s

18.在ABC中，角A8,C的对边分别为。，"G-ABC的面积为S,已知----=a2cosB+abcosA.

tanB

(1)求角3；

S

(2)若b=3,△ABC的周长为/,求了的最大值.

7T

【答案】19.-

3

18小

4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；

(2)由余弦定理及三角形的面积公式得5=告包+c-3)，再由基本不等式进行求解即可.

18

【小问1详解】

4s2

因为-----=acosB+abcosA,

tanB

匚匚…4x—acsinBcosB

所以22Al入一

---------------------二acosD+abcosA

sinB

即2ccosB=acosB-\-bcosA,

由正弦定理，得2sinCeosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因为A+5=4—C,

所以2sinCeosB=sinC,

因为所以sinCwO,所以cos3=g,

又3e(O,»),所以3=：.

【小问2详解】

由余弦定理，得〃=+c2—2accosB，^99=a2+c2—ac

所以9=(a+c)2—3〃c,即ac|(a+-9

因为S=—acsinB=^-ac，/=a+c+3,

24

所以9=—=师"+c)』

I4(a+c+3)12(〃+c+3)

所以9=Yl(a+c—3)，

112['

又acW（当且仅当。=c时取等号）,

4

所以9=（a+c）2-3ac>小十”（当且仅当a=c=3时取等号）,

所以Q+C<6（当且仅当a=c=3时取等号），

所以S9（a+c—3）W史■义估―3）=亚（当且仅当a=c=3时取等号）,

112v'12v'4

19

即9的最大值为走.

I4

2

19.已知数列｛4｝的前几项的和数列也｝的前几项的和T,满足44+4=死，〃eN*.

（1）分别求数列｛。“｝和也｝的通项公式；

（2）求数列｛%"｝前九项的和Q.

【答案】⑴4=n；4=2。

（2）（n-l）-2H+1

【解析】

sm二

【分析】（1）由4=।即可求得｛&｝的通项公式，由。“与7；的关系即可求得仙“｝的通项公式.

A”-3"一12力»

（2）根据错位相减法即可得出结果.

【小问1详解】

121

当时，a=S-Sn_x=ZL±ZL_^-）+^~）=n.

当〃=1时，/=S[=1,满足上式，

故数列｛a,｝的通项公式为a”=n.

当"22时，由44+4=82，得4北_1+4=82_1，

两式相减得4（7；,-T“_[）=8（么-优t）

即4年=8（2-%）,

所以仇=22_1，

又当”=1时，4伪+4=8伪，解得伪=1,

所以数列｛〃｝是首项为1,公比为2的等比数列，

二b"=2”T.

【小问2详解】

由（1）知：="-2"T,

20

.•.c„=1+2-2'+3-22+4-23++〃2T①

2C=l-2+2-22+3-23+4-24++n-T②

①-②得：

-C„=l+21+22+23++2n-1-n-2"

1-2"

=—=(1—“)2”—1.

1-2

.•<=(〃-1)2"+1.

20.如图所示