数学人教A版高中必修二（2019新编）8-3简单几何体的表面积与体积（学案）

第03讲简单几何体的表面积与体积目标导航目标导航课程标准课标解读掌握柱体、锥体、台体、球的表面积及体积公式，能利用简单几何体的表面积公式与体积公式进行相关的面积与体积的运算.会求简单组合体的表面积和体积，能通过直观图解决球的截面问题，球与几何体的切与接的问题.3.会利用常见几何体的面积与体积公式进行简单几何体的长度与角度的简单运算.通过本节课的学习，掌握求简单几何体与组合体的面积与体积的方法，能利用相关的公式求简单几何体的长度与角度.知识精讲知识精讲知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积．2．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个平行四边形、三角形、梯形所组成的．侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）．由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和．（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积．可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：，，．3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形．如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为ch(c为底面周长，h为侧棱长)．（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形．如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为ch′(c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高)．（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形．如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为(c+c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高)．二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）侧面展开图底面面积S底=πr2S底=πr2S上底=πr′2，S下底=πr2侧面面积S侧=2πrlS侧=πrlS侧=πl(r′+r)表面积S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=π(r′2+r2+r′l+rl)三、柱体、椎体、台体的体积1．柱体、椎体、台体的高（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．圆柱的母线即圆柱的高．（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．（3）棱台（圆台）的高是指两个底面之间的距离．2．柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)锥体V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥=πr2h(r为底面半径，h为高)台体(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)四、组合体的表面积与体积求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减．五、球的体积与表面积1．球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．事实上，如果球的半径为R，那么它的体积．2．球的表面积设球的半径为R，它的表面积由半径R唯一确定，即它的表面积S是以R为自变量的函数．事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积．六、球的截面1．球的截面在解决球的相关计算问题中的作用（1）当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；（2）当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆．2．球的截面的性质（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:．三、球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．【即学即练1】一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积.【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，，所以，所以圆柱的体积为.故选：C.【即学即练2】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【分析】根据圆台的侧面积公式可得答案.【解析】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则圆台的侧面积为，解得故选：C【即学即练3】已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．【解析】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，全面积为，而侧面积为，所以全面积与侧面积之比这．故选：A．【即学即练4】已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，棱台的侧棱长为，求它的侧面积．【答案】.【分析】作出正三棱台，过点B作BM⊥B1C1于点M.，计算出侧面梯形的高，由此能求出该三棱台的侧面积．【解析】如图，作出正三棱台，过点B作BM⊥B1C1于点M.，易知在Rt△BB1M中，B1M＝1，BB1＝，故BM＝＝，所以侧面积为3××(2＋4)×＝.【即学即练5】圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.【答案】eq\f(16,9)π【解析】因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，设圆锥的底面圆的半径为r，因为扇形的弧长为eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圆的面积为eq\f(4,9)π.所以圆锥的表面积为eq\f(16,9)π.【即学即练6】已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解析】如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)，即R－r＝3×eq\f(\r(3),3)，∴R－r＝eq\r(3).又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3，∴V圆台＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.所以圆台的体积为21π.能力拓展能力拓展考法01柱体的表面积和体积（1）圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积公式求解即可.（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面的面积之和来求，公式法即利用平行四边形面积公式进行求解.【典例1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为，高为，再结合体积公式计算即可.【解析】因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,所以该三棱柱底面棱长为，高为，所以该正三棱柱的体积为：故选：C【典例2】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为.故选:B.【典例3】若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）A．12 B．48 C．64 D．72【答案】D【分析】由六棱柱的底面是边长为3的正六边形，求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高为4，代入棱柱侧面积公式，可得答案．【解析】六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高，棱柱的侧面积，故选：D【典例4】用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．【答案】或【分析】分别以长方体的长为圆柱的高和以宽为圆柱的高两种情况，再结合圆柱体积公式即可求解.【解析】当长方体的长作圆柱的高时，有；当长方体的宽作圆柱的高时，有.故圆柱的体积为：或【典例5】斜三棱柱中，侧面的面积为S，且它与侧棱的距离为h，求此三棱柱的体积.【答案】【分析】解法一：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，然后以为底面求解；解法二：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥求解.【解析】解法一：如图所示：以侧面为公共面补上一个三棱柱，使两个三棱柱拼成一个平行六面体，以为底面，则到平面的距离即为平行六面体的高.，故.解法二：如图所示：连接、，则截面将此三棱柱分割成一个三棱锥和一个四棱锥.，又平面，.故.考法02锥体的表面积和体积【典例6】如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为35.4m，高为27.9m的等腰三角形．试求：(1)展览馆的高度；(2)外墙的面积；(3)该四棱锥的体积．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据勾股定理计算棱锥的高；（2）每个侧面均为等腰三角形，从而可得出侧面积；（3）代入棱锥的体积公式计算体积．【解析】（1）设正四棱锥为，连接交与点，连接，则即为正四棱锥为的高，设的中点为，连接，，，，，即展览馆的高度为；(2)，展览馆的外墙面积为；(3)四棱锥的体积．【典例7】求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．【答案】【分析】利用底边边长和高计算正三棱锥的斜高可得全面积.【解析】因为底面的边长为2，故底面中心到底面边的距离为，故斜高为，故全面积为.【典例8】如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．【答案】（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．【分析】（1）根据圆锥的母线长和结构特征求出圆锥的高和底面半径，即可求出侧面积；（2）根据圆锥体积公式可求.【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，，∴，即圆锥的高h=1，圆锥的底面半径r=1．（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．考法03台体的表面积和体积（1）求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用.①高、侧棱、上下底面外接圆半径所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．（2）求解圆台的表面积和体积时，注意轴截面是等腰梯形的运用，求圆台的表面积关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略,利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要途径.【典例9】圆台的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.【答案】圆台上底面半径为a，下底面半径为，两底面面积之和为.【分析】如图将圆台还原为圆锥，根据所给数据在中和中解三角形即可得解.【解析】设圆台上底面半径为r，则下底面半径为.将圆台还原为圆锥，如图，则有.在中，，∴.在中，，∴.又，即，∴.∴.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为，两底面面积之和为.【典例10】如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长.【答案】【分析】根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解.【解析】依题意，，则，设上底面的边长为，则，如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且，于是得，在中，，因四边形的面积为，则，即，解得，所以上底面的边长为.【典例11】若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（）A． B． C． D．14【答案】C【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.【解析】.故选：C.考法04组合体的表面积和体积（1）求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积或体积得出.需要注意，组合体的表面积，并不是简单几何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面.（2）组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是“挖去”，则是体积之差）.【典例12】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）.【答案】36【分析】结合图形可知该几何体水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积，因此表面积等于几何体的侧面积＋底面积的两倍，从而可以求出结果.【解析】易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36，∴该几何体的表面积为36.【典例13】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．【答案】剩下部分体积为，表面积为.【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积.【解析】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为.圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以剩下几何体的体积为.剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，即.【典例14】如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且△，△均为等边三角形，，，求该多面体的体积.【答案】【分析】过A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，，过E作于O，连接，结合已知求，，，进而求，最后应用棱锥、棱柱的体积公式求组合体的体积即可.【解析】如图，分别过A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，，易得，过点E作于点O，连接，易得，，∴，∴.【典例15】如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，由此有求出该几何体的体积．【解析】一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，该几何体的体积由两部分组成：底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，则该几何体的体积为：．故选：D考法05球的体积与表面积确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.【典例16】已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.【解析】设球的半径为，因，则的面积，而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，所以球的表面积为.故选：D【典例17】若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的（）A．倍 B．倍C．倍 D．倍【答案】C【解析】设球的半径为，则球的表面积为，球的体积为，膨胀后球的表面积为，球的半径为，膨胀后球的体积为，膨胀后球的体积变成了原来的倍，故选C.【名师点睛】本题是基础题，考查的是球的体积的计算，考查了计算能力.求解时，设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到体积比.【典例18】长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A． B．56πC．14π D．16π【答案】C【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.【解析】设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由题意得，得∴长方体的体对角线长为，∴其外接球的半径为∴．故选：C考法06球的截面问题当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.【典例19】一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是()A.eq\f(100π,3)cm3B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3D.eq\f(416\r(13π),3)cm3【答案】C【解析】根据球的截面性质，有R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3)．【典例20】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设球O的半径为R，则，故．故选B.【技巧点拨】（1）解题时，利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积.（2）对于球的截面问题，注意：①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：.考法07球与几何体的切、接问题解决几何体的内切球问题：（1）找过切点和球心的截面；（2）体积法.解决几何体的外接球问题：（1）由球心和几何体抽象得出新几何体；（2）找过球心的截面.【典例21】设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)πD．32eq\r(3)π【答案】C【解析】设正方体边长为a，由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【典例22】轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.【解析】如图所示，作出轴截面，因为△ABC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).设OE＝R，则AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f(2\r(3),3).所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq\f(32\r(3)π,27).所以球的体积等于eq\f(32\r(3)π,27).【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．求解本题时，由三视图可知此空间几何体为三棱柱的切割体，相对于原三棱柱，只缺失了一个顶点，所以此几何体的外接球即为三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球可转化为长方体外接球，进而求出体积.【典例23】表面积为16π的球的内接轴截面为正方形的圆柱的体积为（）A． B．C．16π D．8π【答案】A【解析】【分析】根据球的表面积求出球的半径，然后结合截面图得到圆柱的半径与球的半径的关系式即可求出圆柱的底面半径，从而求圆柱的体积.【详解】由题意可知，4πR2＝16π，所以R＝2，即球的半径R＝2．设圆柱的底面圆半径为r，则，即，所以r＝，∴V圆柱＝πr2·2r＝2π·2＝4π．故选：A.【典例24】已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径为1，结合面，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.【详解】设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设球心O在的投影为D，则DA=1，因为面，，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为.故选：D分层提分分层提分题组A基础过关练1．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.【详解】半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，所以底面圆的半径为，圆锥的高为,所以圆锥的体积为.故选：A.2.正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设，，，可得正四棱台的斜高为，所以棱台的侧面积为．故选：．3.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积．【详解】正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为因此，该正四棱锥的体积为．故选：A．4.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，故个漏斗的容积为，故选：A5.如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（）A．1∶1 B．1∶C．1∶ D．1∶2【答案】C【解析】【分析】首先设正方体的边长为，再计算正方体的表面积和三棱锥D1­AB1C的表面积，即可得到答案.【详解】设正方体的边长为，则表面积，因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积，所以.故选：C6.若一个正方体内接于表面积为4π的球，则正方体的表面积等于（）A．4 B．8 C．8 D．8【答案】B【解析】【分析】根据球的表面积，可求出球的半径，进而由正方体的体对角线等于其外接球的直径，可求出该正方体的棱长，进而求出该正方体的表面积即可.【详解】设正方体棱长为，球半径为，则，解得，正方体的体对角线为，所以，解得.所以该正方体的表面积为.故选：B.7.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（）A．8 B．4C．2 D．2【答案】C【解析】【分析】根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.【详解】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x，8x，斜高为5x，则棱台的高h==4x，由棱台的体积公式得：，解得，棱台的高为h=4x=2.故选：C8.已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180°，则这个圆台的侧面积为（）A．600π B．300πC．900π D．450π【答案】A【解析】【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解得，所以圆台的侧面积.故选：A9.底面为正方形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为，侧棱长为，则这个球的表面积为（）A．32π B．36π C．48π D．72π【答案】A【解析】【分析】设底面中心为E，根据题意PE⊥平面ABCD，则根据球的性质可知，球心O在线段PE上，进而利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积.【详解】如图，设底面中心为E，根据题意PE⊥平面ABCD，则根据球的性质可知，球心O在线段PE上，因为该棱锥的底面边长为，侧棱长为，所以，则，利用勾股定理：，设外接球的半径为，故，解得.所以.故选：A.10.若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则圆台的上、下底面的面积之和为（）A．9π B．36πC．45π D．81π【答案】C【解析】【分析】设圆台的两底面半径分别为,利用圆台侧面积公式求得，利用勾股定理求得，进而求得，然后利用圆的面积公式求得上下底面积的和.【详解】设圆台的两底面半径分别为,则侧面积，∴；又∵圆台的高为4，母线长为5，∴,即,∴,∴,∴，∴圆台的上下底面积的和为，故选：C11.如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点O1为A1C1，B1D1的交点，点O2为AC，BD的交点，连接O1O2，点O为O1O2的中点．过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】D【解析】【分析】当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大.根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积．【详解】由题意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为a，高为h因为过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，可知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大.所以，解得，于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为2a2+4ah＝2+12＝14故选：D12.等体积的球和正方体的表面积分别为与的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【解析】【分析】设球体的半径为r，正方体的棱长为a，由体积相等可得，再根据面积公式及作商法比较与的大小.【详解】若球体的半径为r，则，若正方体的棱长为a，则，∵球和正方体的体积相等，∴，则，故，而，∴，即.故选：A13.．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出过球心的截面，利用勾股定理可求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.【详解】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，在中，，，球的半径，球的体积．故选：B.14.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆锥体表面积与底面半径、母线长的关系，以及圆锥的侧面展开扇形圆心角与底面周长的关系，求侧面展开—扇形的圆心角.【详解】若圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥表面积为，而底面积，∴，则，若该圆锥的侧面展开—扇形的圆心角为，则，∴.故选：C15.正方体的内切球和外接球的体积之比为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】本题可设正方体的棱长为，然后求出内切球的体积，最后求出外接球的体积，即可得出结果.【详解】设正方体的棱长为，因为正方体的内切球的直径即正方体的棱长，所以内切球的半径，体积，因为正方体的外接球的直径即正方体的体对角线，所以外接球的半径，体积，则内切球和外接球的体积之比为，故选：A.16.有一个无盖正三棱柱铁质容器，棱长均为6，将容器注满水.现在容器上口放置一个铁球，若球体没入水中部分的深度恰为四分之一直径，则球的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先想象组合体，并画出正三棱柱上底面截球的平面图形，分析长度关系，求球的体积.【详解】图1是正三棱柱上底面解球的示意图，此时内切圆的半径，图2是正三棱柱上底面截球的弦心距的示意图，此时是内切圆的直径，，则，即，解得：,球的体积.故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是空间想象，根据实际问题转化为分析如上两个图形.17.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（）A．(60+4)π B．(60+8)πC．(56+8)π D．(56+4)π【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可.【详解】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如图所示：因为，所以圆台下底面面积，又因为，，所以，，所以圆台的侧面积.圆锥的侧面积.所以几何体的表面积为.故选：A18.已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积.【详解】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.题组B能力提升练1.（多选题）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．【详解】设圆柱底面半径为，若高是，则，，，若高是，则，，．故选：AB．2.（多选题）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为【答案】ABD【解析】【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，，故,故AB正确.而正三棱锥的体积为，侧面积为，故C错误，D正确.故选：ABD.3.(多选题)正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】【分析】首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到，再分类讨论求解三棱锥体积即可。【详解】设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，由题知：，解得.当外接球球心在线段上时，如图所示：，，所以.当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：，，所以.故选：AB4.（多选题）在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比不可能是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】设出正方体的棱长,分别求出正方体的表面积和三棱锥的表面积，即可求解.【详解】设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为.三棱锥为各棱长均为的正四面体，其中一个面的面积为，则三棱锥的表面积为所以三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为.故选：ABD.5.（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆锥的表面积最小【答案】CD【解析】【分析】分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．【详解】对于A，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆柱的侧面积为，故A错误；对于B，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥的侧面积为，故B错误；对于C，圆柱的侧面积为，球面面积为，圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；对于D，圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，球的表面积为，圆锥的表面积最小，故D正确．故选：CD6.（多选题）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（）A．侧面积之比为 B．侧面积之比为C．体积之比为 D．体积之比为【答案】BD【解析】【分析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果.【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.故选：BD.7.（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A．沙漏中的细沙体积为B．沙漏的体积是C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒【答案】AC【解析】A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积B.沙漏的体积；C.设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，所以；D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为：秒.故选：AC.【点睛】该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.8.（多选题）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到的最短距离为D．沿长方体的表面从A到的最短距离为【答案】BC【解析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.【详解】长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.故选：BC.【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力.9.某工厂现将一棱长均为4的三棱柱毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】圆柱体体积最大时，圆柱的上下底面分别在三棱柱的上下底面上，且圆柱与三棱柱的侧面均相切.根据等边三角形求出其内切圆的半径，从而得出答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的上下底面分别在三棱柱的上下底面上，且圆柱与三棱柱的侧面均相切.设圆柱的底面半径为，由题意可知圆柱底面圆即为三棱柱的底面等边三角形的内切圆.如图所示：设为圆柱底面圆与三棱柱的底面等边三角形的一个切点，则为中点.所以，即圆柱体体积最大值为：故答案为：．10.一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.【详解】如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为故答案为：.11.．将长和宽分别为6和3的矩形，卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的表面积为___________.【答案】18+或18+【解析】【分析】由给定条件确定卷成圆柱的底面圆周长和高，分情况计算作答.【详解】以矩形长为6的边作高，宽为3的边卷成底面圆周，则底面圆半径，底面圆面积为，于是得圆柱的表面积为；以矩形宽为3的边作高，长为6的边卷成底面圆周，则底面圆半径，底面圆面积为，于是得圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为18+或18+.故答案为：18+或18+12.已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V＝________cm3.【答案】1+【解析】【分析】根据给定展开图确定原几何体的形状，再由对应几何体的体积公式计算作答.【详解】依题意，原几何体是由一个正方体上面接一个正四棱锥组成，其中正方体的棱长为1cm，正方体的体积为1cm3，正四棱锥的底面边长和侧棱长均为1cm，则其高为(cm)，体积为(cm3)，所以该空间几何体的体积为cm3.故答案为：1+13.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.【答案】17：7或7：17【解析】【分析】如图，正方体被截面所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果【详解】设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为E，F分别是棱，的中点，所以棱台的体积为，所以另一部分的体积为，所以正方体被截面分成两部分的体积之比为17：7或7：17，故答案为：17：7或7：1714.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】设球体半径为可得，根据棱锥的体积求，进而求半球的表面积.【详解】如图，连接，交点为，设球的半径为，由题意知：．则，四棱锥的体积为，解得，∴该半球的表面积为．故答案为：15.如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为___________．【答案】【解析】【分析】过点O作，与交于点E，连接，根据三棱锥侧面积、底面积的求法及已知条件，列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积.【详解】如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为，侧面积、底面积分别为，过点O作，与交于点E，连接，则．由，即，可得.由，则，即．．则．，则．∴表面积．故答案为：16.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得平面平面，且三棱锥和三棱锥高之比也为，又，利用体积公式即可得解.【详解】如题干图，，可证ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′.所以平面平面三棱锥和三棱锥高之比也为，由等角定理得∠CAB=∠C′A′B′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′，由，可得，所以=.故答案为：C培优拔尖练1.三个球的半径的比是1∶2∶3.求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍.【答案】证明见解析【解析】【分析】设出最小球半径r，表示另外两球半径并计算体积即可得解.【详解】设最小球半径为r，则另外两球的半径分别为2r，3r，因此，半径为r的球体积，半径为2r的球体积，半径为3r的球体积，于是得，即有，所以最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍.2.已知三棱柱的侧面均为矩形，求证：该三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．【答案】详见解析【解析】【分析】根据三棱柱的侧面均为矩形，得到三棱柱是直三棱柱，表示出个侧面的面积，由三角形的两边之和大于第三边证明.【详解】如图所示：因为三棱柱的侧面均为矩形，所以三棱柱是直三棱柱，则，因为，且，所以，故该三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．3.一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm，画出它的直观图（比例尺为），并计算该棱锥的体积．【答案】直观图见解析，【解析】【分析】由题意画出图形，求出底面正六边形的面积，再由棱锥体积公式得答案．【详解】如图，因为比例尺为，所以先画出底面边长为2cm的正六边形ABCDEF的直观图，则，连接AD与BE，相交于点O，则点O即是底面ABCD的中心，过点O作底面的垂线PO，长度为5cm，连接PA、PB、PC、PD、PE、PF，则作出底面边长为6cm，高为15cm的正六棱锥的直观图，且比例为.在正六棱锥中，底面边长，高，连接，，则是边长为2的正三角形，，．，又比例尺为，所以原正六棱锥的体积为．4.要电镀螺杆（尺寸如图，单位：mm），如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的螺杆需要锌多少克（精确到0.lg）？【答案】【解析】【分析】由圆柱侧面积公式及六棱柱表面积公式可求出螺杆的全面积，再结合条件即求.【详解】由题知螺杆的上部为一个圆柱，下部为一个正六棱柱，圆柱的侧面积为：，正六棱柱的侧面积为：，正六棱柱的底面面积为：，∴螺杆的全面积为：，∴100个这样的螺杆全面积为：，∴电镀100个这样的螺杆需要锌.5.在球内有相距14的两个平行截面，它们的面积分别是和，求球的表面积.【答案】【解析】【分析】分两个平行平面在球心同侧和异侧两种情况，进而结合球体中截面的性质解得答案.【详解】设球半径为R，①当两个平行截面在球心同侧时，有.而此方程无解，故两个平行截面不可能在球心的同侧.②当两个平行截面在球心异侧时，有，解得.所以球的表面积.6.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，求该四棱锥外接球的表面积．【答案】【解析】【分析】根据题意可知该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，则球心在上，根据已知条件求出的长，设外接球的半径为，在根据勾股定理列方程求出，再由球的表面积公式即可计算外接球的表面积【详解】因为四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，，则点为的中点，如图，则球心在上，因为正方形边长为，所以，所以，因为，所以，设四棱锥外接球的半径为，则，在中，，即，解得：，所以该四棱锥外接球的表面积为.7.球与棱长为的正四面体的每一个面都相切，求此球的体积．【答案】．【解析】【分析】在四面体中取面△的中心，连接、，易知可求，进而求正四面体的体积，若内切球半径为，由求，进而求球的体积．【详解】如图，在四面体中，取底面△的中心，连接，，则．又，则．∴正四面体的体积．设内切球球心为，半径为，连接，，，．∴，可得，∴球的体积．8.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;（3）哪个方案更经济些?【答案】（1）(m3)，96π(m3)；（2）32π(m2)，60π(m2)；（3）方案二比方案一更加经济.【解析】【分析】（1）按照圆锥体积公式S·h求得