2023年山东省济南市高考数学三模试卷

2023年山东省济南市高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,6},则图中阴

影部分代表的集合为（）

A.{1,2}B.{3,4}C.{4,5}D.{2,3,5}

2.已知复数z「Z2是关于X的方程M—2x+3=0的两根，则Z1Z2的值为（）

A.-3B.-2C.2D.3

3.若（1_2x）2023=α0+%χ+ct2%2+…+%）23χ2023,则1+袋+…+甥翁的值为（）

A.-1B.0C.ɪD.1

4.在平面直角坐标系XOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心

与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上点4（Lo）重

合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为从细绳的粗细忽略不计，

当＜p=2rαd时，点M与点。之间的距离为（）

5.已知函数/(X)=｛鼠JR:>若函数g(χ)=/(x)-b有四个不同的零点，则实数匕的

取值范围为()

A.(0,l]B.[0,1]C.(0,1)D.(l,+∞)

6.nn1n22n332n2

在数列｛nrι｝中，若M=2+2-×3+2-×3+2-×3+∙∙∙+2×3~+2×

3n-1+3n,则。2023=()

32°23_22023202320242024202420232024

A.]β.3x2-3C.3-2D,2×3-2

7.如图，正四面体ABCD的棱AB与平面α平行，且正四面体内的所有点在平面α内的射影构

成图形面积的最小值是¥，则该正四面体的棱长为（）

4

A.詈B.1C.y[~2D.2

8.在BC中，若I而+芯I=2,1元+瓦=3，则AABC面积的最大值为（）

33

--

A.84C.1D.W

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参

加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团

和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（）

45

⅛心

0

ɔ5

5⅛0

.5

0

τ∆

H5

H0

5

0

民

无

数学

英

文

辩

族

人

模

建

剧

场

论

舞

机

A.高一年级学生人数为120人

B.无人机社团的学生人数为17人

C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人

D.若甲、乙、丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法

10.抛物线y2=2px（p>0）的准线为焦点为F,且经过点Z（1,2）,点4关于直线/的对称点

为点设抛物线上一动点P到直线X=—2的距离为d,贝∣J（）

A.p=4

B.∣PM∣+d的最小值为2，万+1

C.直线4F与抛物线相交所得弦的长度为4

D.过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条

C.圆锥的外接球体积为必铲

D.∀r1,r2∈(0,1),竺吗!②≤V(中)

12.若尸(X)为函数/(X)的导函数，数列｛x｝满足Xn+l=%n-7⅛⅛.则称｛x｝为“牛顿数列”.

7lJ∖xn)jl

己知函数/(X)=∕-1,数列｛x71｝为“牛顿数列"，其中％=3,则()

A∙马+1=鬃(n∈N*)

B.数列｛x7l｝是单调递减数列

2,n

C.X1X2...xn≤2-1

D.关于n的不等式设"-1∣<壶的解有无限个

三'填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知正数%,y满足4x+2y=xy,则x+2y的最小值为.

14.已知随机变量X,丫，其中X〜B(6,"),Y〜N(μ,σ2),E(X)=E(Y),P(IH<2)=0.3,

则p(y>6)=.

15.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1),其主体建筑采用与地形吻合的矩

形设计，将数学符号“8”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科

技创新.如图2,为了测量科技馆最高点4与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测

得点4和点B的俯角分别为75。，30°,随后无人机沿水平方向飞行600米到点D,此时测得点4

和点B的俯角分别为45。和60%4B,C,D在同一铅垂面内)，则4B两点之间的距离为米

16.已知函数/(x)=(XeX+1)QnX+x)-XeX+1,g(χ)y=x+kex,当实数Xo满足∕Q⅛)N

0时，不等式gQ⅛+/x°+2)≤0恒成立，则实数k的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知等差数列｛an｝的前Ti项和为S71,且满足的+α3+α5=15,S7=49.

(I)求｛an｝的通项公式；

n

(2)若数列｛b71｝满足刈=an-3,求｛b｝的前n项和

18.(本小题12.0分)

如图，四边形ABCO与BOEF均为菱形，F4=FC,且NZλ4B=NOB尸=60。.

(1)求证：ZCl平面BDE尸；

(2)求直线4D与平面/BF所成角的正弦值.

19.(本小题12.0分)

已知f(x)=sm3x(<υ>0),其图象相邻对称轴间的距离为J若将其图象向左平移居个单位

得到函数y=g(x)的图象.

(1)求函数y=g(x)的解析式及图象的对称中心；

(2)在钝角AABC中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,若居求与+高的

取值范围.

20.(本小题12.0分)

某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.

(1)下表为某10位同学预赛成绩：

得分939495969798

人数223111

求该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数；

(2)决赛共有编号为A,B,C,D,E的5道题，学生甲按照4,B,C,D,E的顺序依次作答，

答对的概率依次为|,另,另，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比

赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：捻+A=l(α>b>0),圆M：M+y2=1与X轴的交点恰为C的焦点，且C上的

点到焦点距离的最大值为∕√∙

(1)求C的标准方程；

(2)不过原点的动直线/与C交于4B两点，平面上一点。满足3X=而，连接8。交C于点E(点

E在线段BD上且不与端点重合)，若沁=工试判断直线，与圆M的位置关系，并说明理由.

22.(本小题12.0分)

2x

已知函数/"(%)--aex+χ.

(1)讨论/Q)的极值点个数；

(2)若/(x)有两个极值点看,X2>直线y=kχ+b过点(XI,/(Xi)),(x2,∕(x2)).

(。证明:k>f(lnɪ);

(ii)证明：h<ɪ-α.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：∙∙∙4={L2,3},B={3,6},

：.A∖JB={1,2,3,6},

又全集U={1,2,3,4,5,6},

・•・图中阴影部分表示的集合CU(AUB)={4,5).

故选：C.

由题意可知图中阴影部分表示的集合QG4UB),再利用集合的基本运算求解.

本题主要考查Uezm图表达集合的关系和运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：复数zi，Z2是关于X的方程/一2%+3=0的两根，

则Z]Z2=3.

故选：D.

根据已知条件，结合韦达定理，即可求解.

本题主要考查复数的运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：令X=0,可得1=劭，

令X=可得0=劭+?+货+…+黑翁，

则^'+袋++°-αo=-1.

J乙Z

故选:A.

令％=0,求得的,令％求得O=Qo+:+,+…+翳得，由此可得答案.

本题考查二项式定理的运用，考查赋值法以及运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：展开过程中：BM=配=φ∙R=2,

BO=1,MO=√BM2+BO2=

故选：D.

根据扇形的弧长公式和展开过程中的长度关系即可求解.

本题考查弧长公式，属于基础题.

即实数b的取值范围是(0,1].

故选：A.

根据函数与方程的关系，转化为两个函数图象交点问题进行求解即可.

本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数与方程的关系，转化为函数/(X)与y=b有四个不同

的交点，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题.

6.【答案】C

【解析】解：依题意，nn1n22n332n2n1

⅛αn=2+2-×3+2~×3+2-X3+∙∙∙+2X3^+2×3^+

3n,

两边同时乘以去，

可得翁=ɪ-(2n+2n-1×3+2n-2×32+2n-3X33+•••+22X3n^2+2×3n-1+3n)

=⅛n+⅛n^1+⅛n^2+(∣)n^3+-+(∣)2+(∣)1+1

=l+(∣)1+(∣)2+∙∙∙+(∣Γ

=3-4’

n+1n+1

/.αn=3-2,

.C—o2024n2024

∙∙α2023^^ɔ一乙•

故选：C.

先对nn1n2n332n2n1两边同时乘以

α71=2+2-×3+2-X32+2^×3+∙∙∙+2X3-+2×3-+3”

化简计算之后运用等比数列的求和公式即可推导出数列｛即｝的通项公式，即可计算出。2023的结果.

本题主要考查数列求和公式的问题.考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运

用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，当CD1平面α,射影面的面积最小，此时构成的三角形底边为正四面体

的棱长，设正四面体的棱长为α,

高是直线CD到ZB的距离，距离为：J（?a）2_（；a）2=，a，

射影面积为：l.α∙^α=≤I,解得α=l.

224

故选：B.

当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是48的投影,

长度为棱长，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案.

本题考查平行投影及其有关计算，棱锥的结构特征的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：设点4、B为线段DE的三等分点，

因为I南+定I=2,∖^BC+^BA∖=3.

所以I屈+肥-/I=∖BC-2BA∖=∖BC-JD∖=

∣DC∣=2,∖BC-^BE∖=∖EC∖=3,

111

则SMBC=SSACDE=∣×∣×∣CO∣×∣CE∣×SinZDCE≤

11

∣×i×2×3=l,

当且仅当CD1CE时取等号，

即△ABC面积的最大值为1.

故选：C.

由平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式求解即可.

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12,占高一年级总人数的比例为10%,所

以高一年级的总人数为12÷10%=120,

英文剧场的人数为120X35%=42,辩论的人数=30,

无人机=数学建模=(120-42-30-12)÷2=18,占高一年级人数的比例是卷X100%=

15%,故A正确，B错误，

分层抽样20人，无人机应派出20X15%=3(人)，C正确，

甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有53=125种报名方法，。错误.

故选：AC.

根据图表所给出的数据,分别计算出5个社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求解.

本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的准线为，，焦点为F,

且经过点4(1,2),可得4=2p,可得p=2,所以4不正确；

抛物线方程为：y2=4χ,点4关于直线(的对称点为点

M(-3,2),如图，P到直线X=—2的距离为d,过P作PN垂直

直线X=-1于N,∣PM∣+d的最小值为：∣MF∣+1=

√22+42+l=2√5+l.所以8正确；

直线AF与抛物线相交所得弦的长度为2∣4F∣=4,所以C正

确；

过点M且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有3条，两条切线和一条平行对称轴的直线，所以

。不正确.

故选：BC.

求解P判断A的正误；利用抛物线的定义转化求解∣PM∣+d的最小值，判断B的正误；求解通径判

断C的正误；判断直线与抛物线的交点是一个时，直线的条数判断D∙

本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的母线长为2,底面圆的半径为

1,

圆锥的高√22-/=√-3,所以圆锥的表面积为S=ττ×l×2+π×l2=2π+π=3π,故选项

A正确；

设圆柱的高为九，如图，

则圆柱的体积为V(r)=兀日∙∕ι=∙∕3τ∏∙2(i—r),^^∕(r)=r2(l—r),∕,(r)=r(2—3r)

当0<r<∣,∕,(r)>0,f(r)单调递增，当,<7<1，/⑺<0,/(r)单调递减，

所以/(r)=(|)2Xg=/所以圆柱的体积的最大值为V(r)g=√3πX捺=窄,故B正确;

如图：

设圆锥外接球球。的半径为R,则由A4BC是正三角形可得Bol=1,AO1=G，

在AB。［。中，R2=(q_R)2+M,解得R=等，

所以圆锥的外接球体积为U感=gττR3=42^3=32√Z3τr,故选项C正确；

÷jτɔɔ(ɔ)327

因为U(r)=√^3πr2(l-r),所以=F∙2f)+E⅜τ?)=E(W+全帝,

大华）=门武华）2（1-空）=门瞰空）2_（中丹

所以Vs）+V（T2）-21/（鬻）=-r3+r2_r3_2（华）2+2（空）3]

√~3π,3

=—2-（rι-r2）[1-2（ri+万），

由于∣d+万）与1的关系无法判断，所以"誓空与VeI尹）大小关系不确定，故选项。错误.

故选：ABC.

根据圆锥的截面确定底面半径和母线，代入圆锥表面积公式计算可判断4利用相似找到圆柱的

底面半径和高的关系，求出圆柱体积的解析式，利用导数法求解最大值可判断B,找到外接球的

球心，利用勾股定理求出球的半径，求出体积即可判断C,作差变形，判断符号即可判断D∙

本题考查圆锥的几何性持，考查运算求解能力，属中档题.

12.【答案】BCD

2

【解析】解：Λ∕(x)=X-I,则f'(x)=2x,则出+1=Xrl—糊=Xn-要=g±1,故A错

Jkxn)ZXnZXn

误，

A由％1=3，%n+l=xn~⅞-1-ɪɪ>得％n+l一式n=一会」，

2

(xn-I)=Xn-2xn+1≥O,ʌ%„+1≥2xn,

、四+、Y

A1λxxZ⅛l-χj→=x1+i>1

•・.Xn>O,.∙.2芍ɪ≥1»n+l=n,n

f(×n)2xn2xn-

,=

*∙%ι3≥1,*,•巧ι+ι>1,BPxn>1,>1,—1>0,即％∏+ι—久ri=—ɑ—V0,

即%n+l<$，即数列｛%n｝是单调递减数列，故8正确，

22

C∙/l+1-I=警〉，$+1+1=笃也，由％=3,得“n-l>0,

NXn^xn

ii2lni2

∙,∙xrn+lπ+l=x(zι⅛+l-∙∙∙xrn+l⅛+l=^xn⅛+l

令斯=In霖，则限】=2即，

则｛αn｝是公比为2的等比数列，∙∙∙ɪi=3,ʌa1=ln∣^∣=-In2,

n1n1

则an=(-ln2)×2^,即In吟=(-Zn2)X2-9

Xn十ɪ

a7rl-l

即⅛⅛=22T艮%=L=I+-，

22-122-1

2Λ

下面用数学归纳法证明:X1X2-Xn≤2-1,

2

当Ti=I时，x1=3=2—1,命题成立，

假设当九=k时，成立，即…乱≤22”-l,

k

2k22t

则当兀=k+1时，X1X2∙∙∙χkχk+1≤(2-1)-勺口=2*+1.

22-1

fc+1k2k22t2fc2fc

22_1_(22+I)=(2)-2*-2=(2-2)+(2+1)>0,命题也成立.

x2k2c+1

：.X1X2∙∙∙Xkk+ι≤2+1<2/-1命题成立.

综上XlX2…Xn≤2?"-1成立.故C正确.

21

-21

D.∖xn-1∣=IɪiI<72023,•••22"T-1>0,.∙.22°24+1<2"^,即2"T>2024,n≥12(n∈

22-1Z

M),•••不等式的解有无限个，故。正确.

故选：BCD.

根据数列的递推关系，分别进行判断即可.

本题主要考递推数列的应用，求函数的导数，利用数列递推关系，利用数列和不等式的关系进行

推理是解决本题的关键，是中档题.

13.【答案】18

【解析】解：,,,正数X,y满足4x+2y=xy,

4,2.

-I—=1

yX

则％+2y=(x+2y)C+》=?+£+10≥2

当且仅当?=?且4x+2y=xy,即％=y=6时取等号.

Xy

故答案为：18.

将4x+2y=Xy,转化为:+；=1,再由X+2y=(x+y)⅛+?)展开后利用基本不等式可求出％+

2y的最小值.

本题考查基本不等式,应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧,应学会灵活运用.

14.【答案】0.2

【解析】解：X〜B(6,g),Y〜N(μ,σ2),E(X)=E(Y),

则〃=6Xg=2,

P(IH<2)=0.3,

则P(-2<y<2)=0.3,

故P(2<r<6)=P(-2<Y<2)=0.3,

所以P(y>6)=P(Y>2)-P(2<y<6)=0.5-0.3=0.2.

故答案为：0.2.

根据已知条件，结合二项分布的期望公式，求出“，再结合正态分布的对称性，即可求解.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

15.【答案】IOocK

【解析】解：由题意，4DCB=30°,ΛCDB=60°,所以NCBD=90。，

所以在RtΔCBD中，BD=^CD=300BC=?CD=30θO.

又乙DCA=75o,∆CDA=45°,所以4CAD=60°,

在AACD中，由正弦定理得-⅛m=-⅛,所以AC=罂Xf=200/7，

sιn45sιn60√32

在44BC中，4ACB=∆ACD-乙BCD=75°-30°=45°,

由余弦定理AB?=AC2+BC2-2AC-BC-coszΛCB=(200<6)2+(300<^3)2-2×200√^6X

300√3×ɪ=150000-

所以AB=100√^L5∙

故答案为：

根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.

本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题.

16.【答案】(-8,一刍

【解析】解：/(x)=(XeX+I)(ZnX+x)—xex+1=(eznx+x+I)UnX+x)—elnx+x+1>

令t(x)=Inx+x,易知函数t(x)=bιx+X在(0,+8)上单调递增，

WJ∕(t)=(et+l)t—et+1,有尸(t)=te，+1,iB∕ι(t)=tet+1,则九'(t)=(t+l)eJ

t<-l时，∕ι,(t)<0,t>-lift,h'(t)>O,

所以∕ι(t)=tec+1在(—1,+8)上单调递增，在(—8,—1)上单调递减，

所以∕ι(t)≥∕ι(-l)=-e-1+1>0,即y'=te，+1>0,

所以函数f(t)=(et+l)t-et+1单调递增，且f(0)=(e0+1)0—e0+1=0,

由题意∕Q⅛)≥0,所以f(t⅛)≥O,所以±o≥O,

不等式g(%o+Inx0÷2)≤0恒成立即g(%+2)≤0恒成立,

所以工≥2时，g(x)=%+kex<0恒成立，即k≤一去在％≥2上恒成立，

γ

记Tn(X)=-万(x≥2),则∕c≤m(χ)mi",

因为m'(x)=衰>0,所以m(x)=在［2,+8)上单调递增，

79

所以m(x)mE=m(2)=一丁，故k≤-

故答案为：(-8,-刍.

同构，对函数多次求导，研究函数的单调性，根据/(xo)≥0求得to≥0,从而把不等式恒成立问

题转化为k≤-宾在X≥2上恒成立，构造函数，利用导数求出函数最值即可求解.

本题考查了利用导数研究函数的恒成立问题，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{α,J的公差为d,

=

α1÷α3÷ɑsɜɑi+6d=15

S=7a+^d=49'

{71

≡Ct3d：7-

解峭二J

ʌαn=1÷2∙(n-1)=2n—1,nEN*.

nn

(2)由(1)可得，bn=an∙3=(2n-l)∙3,

123n

则%=b1+b2+∙∙∙+6n=l∙3+3∙3+5∙3+•••+(2n-1)∙3,

37；=l∙32+3∙33+∙∙∙+(2n-3)∙3n+(2n-1)∙3n+1,

两式相减，

可得一2"=l∙31+2∙32+2∙33+∙∙∙+2∙3n-(2n-1)∙3n+1

=3+2∙(32+33+∙∙∙+3n)-(2n-1)∙3n+1

o2-ς∏+l

n

=3+2∙~_3-(2n-1)∙3+i，

=-2(n-l)-3n+1-6,

.∙.7;=(π-l)∙3n+1+3.

【解析】(1)先设等差数列｛an｝的公差为d,再根据题干已知条件列出关于首项如与公差d的方程组,

解出的与d的值，即可计算出等差数列｛斯｝的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛b｝的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和与.

本题主要考查等差数列的基本运算，以及运用错位相减法求前几项和问题.考查了方程思想，转化

与化归思想，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档

题.

18.【答案】证明：(1)设AC与BD相交于点。，连接产。，

•••四边形ABCD为菱形，.∙.ACJ.BD,且。为AC中点，

∙.∙FA=FC,：.AC1FO,又FOeBD=0,

.∙.AC_L平面BDEF.

解：(2)连接0/，•••四边形BOEF为菱形，且40BF=60。，

.••△DBF为等边三角形,

•••。为BD中点，.∙.F。_LBC,又4CJ.F。，:F。_L平面ABCD.

•••0A,OB,0尸两两垂直，

工建立空间直角坐标系。-Xyz,如图所示，

设48=2,•••四边形ABCD为菱形，^DAB=60°,

ʌBD=2,AC=2√3∙

∙∙∙ΔDBF为等边三角形，.∙.OF=C∙

.∙.A(C0,0),B(0,1,0),D(O,-1,O),F(Ooq),

：.AD=(-√^,-l,0).AF=(-√^,0,5Λ3),AB=(-√^,l,0)∙

设平面4BF的法向量为五=(x,y,z),

则｛瓢二代二°，取…衙=QE).

设直线4。与平面ABF所成角为。，

则直线4D与平面/BF所成角的正弦值为：

Sino=Icos<而,元>|=制j=-∙

【解析Kl)设4C与BD相交于点。,连接FO,推导出AC1BD,AC1FO,由此能证明4C1平面BDEF.

(2)连接DF,推导出ADB尸为等边三角形，从而FOJ.BD,ACLFO,进而FoJ_平面48。£).由。A,

OB,OF两两垂直，建立空间直角坐标系。-町z,利用向量法能求出直线4。与平面ABF所成角的

正弦值.

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是

中档题.

19.【答案】解：(1)已知/(%)的图象相邻对称轴间的距离为全贝呼=兀.

由周期公式得，T=居=兀，ω>0,所以3=2,/(x)=sin2x,

g(x)=sin[2(x+ɪɪ)]=sin(2x+ɪ),令2x+ɪ=kπ,

所以X=-7?+⅛^>故函数y=g(%)的对称中心为(一萼+-γ,0)(⅛∈Z)；

(2)由题意得,/(∣)=sinB,g(^-=sin[2(^-^)+γ]=sin(½+≡),

所以SinB=Sin(4+今，所以B=A+]或4+B=](舍)，

所以C=>24,因为在钝角△力BC中，所以0<力<^O<C<≡

二「i、s//1∕7rr∏,∣2c,52sιnC,52cos2A,5

用「以OV4V;，贝∣J-H----=------1----=-------1----

4brCosASinBcosAcosACosA

2(2cos24-1)+5,3

λλ时

cosA=4cos4+

or-o3

令t=cos4φ(t')=4t÷-,t∈(-ɪ,1)，0‘(1)=4一记,

当苧<x<?,时d(t)<0;当好<X<1时，φ'(.t)>0,

可得(p(t)在(?,号)单调递减，在(y,1)单调递增.

所以当t=?,β∣M=泄，w(t)有最小值4C，

火[)=5√1,9(1)=7,所以/(t)<5/7,

故与+∑⅛e[4√7,5√^Σ).

【解析】(1)根据/(X)的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出3,再根据图像平移得到y=g(χ),

由对称中心公式求得结果；

(2)由居)=g©Y)得出4,B,C三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简系+熹，再利用

导数求函数单调区间得出结果.

本题考查三角函数的性质，考查了转化思想，属于中档题.

20.【答案】解：(1)因为IOXo.75=7.5,所以该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数

)是第8个数据，为96；

这组数据的平均数为击×(93×2+94×2+95×3+96+97+98)=95；

(2)根据题意知，随机变量X的可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=(1—1)x(1-》=：,

12l

××+XX-i

2--3---

4,

5

4C1111

"XXXX1=

?72-2-2-

036

r)∕vr、Z2、Il2,2“1、I2,21“1、2,2I1“2、，

P(X=5)=(l1--)×-×-×-+-×(l--)×-×-+-×-×(l--)×-+-×-×-×(l--)+

21124

3X2X2X3=9；

所以X的分布列为

X2345

1154

P

64369

数学期望为EX=2x!+3x；+4x^+5xg=^.

6436936

【解析】(1)由百分位数的定义求出结果，再计算数据的平均数；

(2)根据题意知X的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值.

本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题.

21.【答案】解：(1)由题意，圆M：/+y2=1与X轴的交点为(±1,0),可得c=ι,

椭圆C上的点到焦点距离的最大值为α+c=b2,

又因为a?=/??+©?,可得α=2,b=√-3>

所以椭圆C的方程为¥+4=1.

43

(2)如图所示，设力(XI,yj,B(x2ly2)>

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+m(m≠0),

y=fcx+m

联立了y2得(3+4%2)/+8kτnx+4τ∏2-12=0,

-÷­=1

8km4m2-12

所以％ι+x=-XlX2=

24∕C2+3,4∕C2+3

ZJ=(8fcm)2-4(4∕C2+3)(4m2-12)>0(*),

3m2-12/

yy—(kX+m)(fcx+nɪ)=k2xx+km(X+x)+nɪ2=

12I212l24k2+3'

E≡=而可得点4为。。的中点，可得—2%),且有黑=狭=踹=|,

所以无f=ξOD+ξOB=(ξX+∣x,ξyι+白2)，

ɔɔɔ1ɔ2ɔɔ

即点E的坐标为WXl+∣x2.ξyι+∣y2)-

2

将E点坐标代入椭圆3+4=I的方程可得抬%+|&)2+基力+∣y2)=1,

化简后得象［+当+寮苧+*+素竽+竽)=1，(*)

由于4B点坐标分别满足丘+城=1，名+道=1，

4343

代入(*)可得等+华=0,

4ɔ

所以3%IX2+4y1y