2024届洛阳市偃师区高三数学上学期期末考试卷附答案解析

届洛阳市偃师区高三数学上学期期末考试卷2024.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．23．已知平面单位向量，，满足，则（

）A．0 B．1 C． D．4．已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．设函数的定义域为D，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（

）A．0 B．2023 C．4046 D．40476．函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数为偶函数，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．87．等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．98．已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为－1的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（

）A．6 B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（

）A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2C．若，则 D．若，则有最小值10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．的图象关于直线对称C．D．在上的值域为11．已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（

）A．异面直线与可能垂直B．直线与平面可能垂直C．与平面所成角的正弦值的范围为D．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为12．已知，，若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量，若与垂直，则实数.14．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是．15．已知函数（，）有且仅有两个零点，则实数的取值范围是．16．已知数列中，，，，数列的前n项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知角，（，）的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点，分别在角，的终边上.(1)设函数，，求函数的值域；(2)若点在角的终边上，且线段的长度为，求的面积.18．已知数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，，.(1)求，；(2)若数列满足，求数列的前n项和.19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.(1)证明：F为PD的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.条件①：三角形BCF的面积为；条件②：三棱锥的体积为1.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.20．过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．(1)若，求；(2)若，求点到直线的距离的最小值．21．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n次；方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为．(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．①若，求P关于k的函数关系式；②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：．22．已知函数，为的导函数．(1)当时，讨论函数的单调性(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．1．C【分析】先求出集合，再逐个分析判断即可.【详解】由，得，解得，所以，因为，，所以，所以，所以，，，，所以ABD错误，C正确，故选：C．2．C【分析】设，，根据复数模的计算公式得到方程，解得即可.【详解】设，，则，因为，所以，则，解得，所以复数的虚部为.故选：C3．C【分析】根据可得，替换，利用数量积的运算即可求解.【详解】如图，设，，因为，所以平行四边形为菱形，则为正三角形，所以，且反向，所以，所以，因为，所以，故选:C.4．C【分析】根据函数的定义域求得集合，利用分离常数法、基本不等式求得的取值范围.【详解】函数的定义域为，即，所以，所以的定义域，由于，，所以在区间上恒成立，由于，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围是.故选：C5．D【分析】根据题中定义可知的图象关于点对称，然后根据对称性即可求解.【详解】的定义域为R.因为，所以的图象关于点对称.所以.故选：D6．B【分析】首先利用辅助角公式化简函数，并得到，根据函数的性质求得，并代入后，利用基本不等式，即可求解.【详解】，其中，函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数为偶函数，则当时，，，即，则，，，，即，因为，所以，，所以，当，即时，等号成立，所以的最小值为4.故选：B7．A【分析】根据等比数列通项公式得到，之后代入题中式子求得，利用裂项相消法求和，之后求得所满足的条件，最后确定出的最小值.【详解】由题意得，所以，所以，令，整理得，解得，故选：A.8．D【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.【详解】由过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，可得椭圆过点，代入方程得.设则，两式作差得，即，因为恰好是的中点，所以，又因为直线AB斜率为-1，所以，将它们代入上式得，则联立方程解得.所以椭圆上一点到的距离的最大值为.故选：D9．BC【分析】利用基本不等式及二次函数性质求各项对应代数式的最值，注意取值条件，即可判断各项正误.【详解】A：，由，当且仅当时等号成立，错；B：，当且仅当时等号成立，即，可得，所以有最大值2，对；C：，则，又，，则，可得，所以，对；D：由题设，即，当且仅当时等号成立，所以，错.故选：BC10．AC【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D.【详解】由图像可知，，，故A正确；从而，又由，，因为，所以，从而，故C正确；因为，所以不是的对称轴，故B错误；当时，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，故，即，从而，即在上的值域为，故D错误.故选：AC.11．AC【分析】对A，在平面内作，交于点，由平面得，所以平面，则；对B，不可能平行，故与不可能垂直；对C，则与平面所成角的正弦值的范围等同于与所成角的余弦值的范围，求解判断即可；对D，由题意知为的中点，可证得，由平面得，所以平面，所以，同理，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多边形．【详解】对A，在平面内作，交于点，在正四棱柱中，因为平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以．故A正确；对B，不可能平行，故与不可能垂直，故B错误；

对C，如图：

连接，，平面，则与平面所成角的正弦值的范围等同于与所成角的余弦值的范围，在直角三角形中，，当点由点向移动时，逐渐增大，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，则，，则，，故C正确，对D，如图：

由题意知为的中点，连接，，，，，，在直角三角形中，，同理，由题意知，所以，所以，在正四棱柱中，因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，平面，，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多边形，其周长为，故D错误.故选：AC．12．BC【分析】对于A，由题意，作图，根据对称性以及公共点所在区间，可得答案；对于B，由题意，作图，可得函数在处相切，可得方程，结合三角恒等式，可得答案；对于C，根据函数与方程的关系，两函数作差构造新函数，利用导数研究其零点个数，可得答案；对于D，利用三角函数的值域与周期性，可得答案.【详解】对于A，当时，如下图，

则，，所以，又图像关于对称，结合图像有，即有，故A错误；对于B，当时，如下图，

易知在，且，与图像相切，由当时，，则，，故，从而，所以，故B正确；对于C，令，显然有，即是方程的一个根，又易知，是偶函数且，因为，所以时，没有零点，令，则，当时，，又过原点，当时，是在原点的切线，如图，

所以时，，故C正确；对于D，当时，由，与的图像在轴右侧的前个周期中，每个周期均有个公共点，共有个公共点，故D错误.故选：BC.【点睛】关键点晴：对于选项A和D，处理的关键在于，借助函数的图像，结合图像的对称性和周期性解决问题；对于选项B和D，通过构造函数，利用导数来解决问题.13．【分析】根据平面向量垂直的坐标运算即可求出结果.【详解】因为与垂直，所以，即，，解得.故答案为：.14．【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.【详解】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时取等，故答案为：.15．【分析】利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．【详解】令，得，由题意方程在上有且仅有两个实根，由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.16．【分析】先根据累积法求得，再用裂项相消法求得，最后根据不等式恒成立可求解.【详解】由得，则有，化简得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，则有.故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）先由任意角三角函数的定义结合的取值范围确定的大小，再求的值域（2）先由任意角三角函数的定义结合的取值范围确定的大小，从而求出的大小，再利用余弦定理，求出的长度，确定出点在上的位置之后，即可求的面积【详解】（1）∵的终边过点，∴，.∵，∴.则，∵，∴，∴，∴，即的值域是.（2）∵的终边过点，∴，.∵，∴，∴.由余弦定理可得，，∴，解得.∵，∴为的中点，∴则的面积18．(1)，(2)【分析】（1）利用求得，通过计算的首项和公比，由此求得.（2）结合错位相减法、分组求和法求得.【详解】（1）当时，，又，满足，∴.，，设等比数列的公比为，则，由于，所以解得，，.∴.（2）由（1），得.令，的前n项和为，则.，∴，∴.令，是等差数列，的前n项和为，则，∴.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的判定证面，再由线面平行的性质可证，进而有△中为中位线，即可证结论；（2）由线面垂直的性质、判定证两两垂直，且面，构建空间直角坐标系，根据所选条件求得，进而求直线方向向量和面的法向量，利用线面角夹角的向量求法求其正弦值.【详解】（1）由底面ABCD是矩形，则，而面，面，所以面，又E是PC的中点，面ABE与线段PD交于点F，即面面，而面，则，故，△中为中位线，故F为PD的中点；（2）由底面ABCD，面，则，又，由，面，则面，由面，故，即△为直角三角形，且；由面，则面面，同理有面面；又面，故，又，所以两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，选①，则，故，而，选②，由，而，所以；此时，，，则，又是面的一个法向量，若直线BE与平面PAD所成角为，所以.20．(1)24(2)【分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程可得关于的一元二次方程，从而可得，，进而可得点的坐标，即可得到的坐标表示，同理可得，求解即可；（2）结合（1），根据抛物线的定义得，，进而可得，即可得到圆的半径，从而可得到圆的方程，同理也可得到圆的方程，两圆方程相减即可得到直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求解．【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为，且其在抛物线内部，设直线的方程为，由，得，设，两点的坐标分别为，则是上述方程的两个实数根，所以所以点的坐标为，，同理可得的坐标为，，于是，又，所以．（2）结合（1），由抛物线的定义得，，所以，所以圆的半径，所以圆的方程为化简得，同理可得圆的方程为，于是圆与圆的公共弦所在直线的方程为，又，则直线的方程为，所以点到直线的距离，故当时，取最小值．【点睛】关键点点睛：解答小问（2）的关键是根据抛物线的定义求得，，进而可得，从而得到圆的半径，可得到圆的方程，同理可得到圆的方程，再根据点到直线的距离公式求解．21．(1)(2)答案见解析【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解；（2）①由已知得，的所有可能取值为1，，求出相应的概率，再由可求得P关于k的函数关系式；②由得（且），构造函数，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果.【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件，事件分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，所以，所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为，（2）①由已知得，的所有可能取值为1，，所