中考数学压轴题之无刻度直尺作图技巧分类详解

第第页中考数学压轴题之无刻度直尺作图、网格点作图技巧详解仅用无刻度直尺作图和网格点作图问题已成为各地中考热门考点，近年来在江西、武汉、天津等地中考中均以压轴题出现，其难度一般会超过单纯的证明题或计算题。这类题型主要考察同学们对几何图形性质的熟悉程度，还有同学们平时方法和技巧的掌握。常见的考察点有：特殊点问题、特殊角问题、垂直问题、平行问题、角平分线问题、与圆有关的问题等。无刻度直尺的作用只有一个：将已知的两点连线。我们要充分利用格点的作用：取点、平行等。下面对各类常见题型的技巧进行了分类总结。特殊点问题在下面网格图中用无刻度直尺作出线段AB的中点。分析与解：利用“8”字型平行线分线段成比例、平行四边形对角线互相平分等性质，图中不同颜色的线均可将AB平分。在下面网格图中用无刻度直尺作出线段AB的中点，其中A为格点，B为任意点。分析与解：如图，取格点C，连接CB并延长交网格线于E,取AC、AE与网线的交点D、F（即中点），连接DF交AB于G，则G即为所求作点。这儿我们利用了中位线和平行线分线段成比例等性质。在下面网格图中，在线段AB上找一点C，使。方法1方法2方法3分析与解：方法1和方法2都利用了网格线平行的性质，通过“8”字型模型，构造1：2的相似比例，从而将线段AB分为1：2两段。方法3利用了重心的性质，AB和EF为的两条中线，所以C为的重心。特殊角问题在下面网格图中找格点C，使。分析与解：利用“12345”模型，即若均为锐角，且，则。如下图，利用无刻度直尺在线段上找一点Q，使。分析与解：，典型定弦定角问题。注意到，所以点Q在以M为圆心，MA长为半径的圆上，故。问题转化为在上找一点使,而,利用“8”字相似模型，可将线段分为2：3两段。具体作法如上右图。平行问题如下图，利用无刻度直尺作出过点且平行于的直线。分析与解：由点到，我们可以看作将点向右平移3个单位，向上平移一个单位，对进行同样的操作将点向右平移3个单位，向上平移一个单位得到点,直线即为所作。如下图，在网格图中均为格点，点是的交点。利用无刻度直尺作出过点且平行于的直线。分析与解：由点到，我们可以看作将点向右平移4个单位，向上平移一个单位，对其他点进行同样的操作得到点,直线即为所作。垂直问题如下图，在网格图中均为格点，为网格边的中点，为格点的中心，利用无刻度直尺分别过点作垂直于的直线。分析与解：由点到，我们可以看作将点向右平移5个单位，向下平移2个单位，将向下平移5个单位，向左平移2个单位，可得。同理：将向上平移5个单位，向右平移2个单位，可得；将向上平移5个单位，向右平移2个单位，可得。如下图，在网格图中均为格点，点是的交点。利用无刻度直尺作出过点且垂直于的直线。分析与解：由点到，我们可以看作将点向右平移1个单位，向下平移3个单位，故只需将向上平移1个单位，向右平移3个单位，可得。对整体进行同样的操作得到点,直线即为所作。如下图，在网格图中利用无刻度直尺作出过点且垂直于的直线。分析与解：由点到，我们可以看作将点向右平移1个单位，向下平移5个单位，将点向上平移1个单位，向右平移5个单位得到点,直线即为所作。角平分线问题如下图，在网格图中均为格点，点是的交点。利用无刻度直尺作出的角平分线。分析与解：的角平分线不易直接作出，我们可以利用三角形的三条角平分线交于一点的性质，先作出三角形的另外两条角平分线。为的角平分线，易知,可通过“12345”模型作出的角平分线。从而为内心，直线即为所作。如下图，在网格图中均为格点。利用无刻度直尺作出的角平分线。分析与解：易知，角平分线不易直接作出，我们可以利用等腰三角形三线合一性质，通过构造等腰三角形，找出底边的中线，从而作出角平分线。如上图，先取格点，使得,再作出的中点，从而即为所作。对称点如下图，在网格图中均为格点。利用无刻度直尺作出点关于的对称点。分析与解：将点向下平移5个单位，向右平移1个单位得到点,直线。再利用中位线的性质，找格点,使得，且为的中点。与的交点即为所求。与圆有关的作图如下图，在网格图中圆心与点均为格点，利用无刻度直尺作出的角平分线。分析与解：取的中点，连接并延长交⊙于,连接。即为所求。(2021年天津中考数学填空压轴题）在每个小正方形边长为1的在网格中，的顶点均落在格点上，点在网格线。线段的长等于；以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足。请用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）解：（1）（2）如图，取与网格线的交点，连接并延长，与半圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，连接交于点，连接并延长，与相交与点，则点即为所求。(2022年天津中考数学填空压轴题）在每个小正方形边长为1的在网格中，圆上的点及的一边上的点均在格点上。线段的长等于；若点分别在射线上，满足且，请用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的解：（1）（2）连接，与网格线相交于点；取格点，连接与射线相交于点；连接与⊙相交于点；连接并延长，与⊙相交于点；连接并延长，与射线相交于点，则点即为所求。如下图，在网格图中均为格点，⊙经过三点，利用无刻度直尺找出⊙的圆心，并作弦，使得。