初中九年级数学课件-二次函数y=ɑx2+bx+c的图象和性质

二次函数y=ɑx²+bx+c的图象和性质开口方向对称轴顶点坐标增减性最值知识回顾问题探究课堂小结（1）二次函数

的图象性质：向上当

时，y随x的增大而减小；当

时，y随x的增大而增大当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小向下当

时，当

时，知识回顾问题探究课堂小结（2）抛物线的平移规律：（h）左加右减，（k）上加下减。抛物线抛物线当h﹥0时，向“右”平移h个单位当h<0时，向“左”平移|h|个单位当k﹥0时，向“上”平移k个单位当k<0时，向“下”平移|k|个单位抛物线左右平移上下平移知识回顾问题探究课堂小结活动1探究一：从旧知识过渡到新知识。复习配方填空：（1）x2+4x+9=（x+）2+；（2）x2-5x+8=（x-）2+。25总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方。知识回顾问题探究课堂小结活动1探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。合作探究重点、难点知识★▲例1画函数

的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。分析：首先要用配方法将函数写成y＝a（x－h）2＋k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线。知识回顾问题探究课堂小结活动1探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。重点、难点知识★▲解：所以它的开口向上，对称轴是x=6，顶点坐标是（6，3）。同学们自己画图！归纳：一般式化为顶点式的思路：（1）二次项系数化为1；（2）加、减一次项系数一半的平方；（3）写成平方的形式。例1画函数

的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。合作探究知识回顾问题探究课堂小结活动2探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。小组讨论重点、难点知识★▲如果每次都采取“配方”，岂不是很麻烦？有更好的办法吗？例2求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标。解：把二次函数y=ax²+bx+c的右边配方，得知识回顾问题探究课堂小结活动2探究二：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴。重点、难点知识★▲点拨：1.运用配方法，可以将二次函数表达式的两种形式y=ax2+bx+c与y＝a（x－h）2＋k相互转化。将二次函数y=ax2+bx+c（一般式）转化为y＝a（x－h）2＋k（顶点式）的形式，即：则：2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a（x－h）2＋k中，小组讨论知识回顾问题探究课堂小结活动重点、难点知识★▲探究三：二次函数的图象及性质。师生共研，探究性质画出函数

的图象，并试着说出它的性质。解：列表：x…02468…y…1042410…描点、连线：知识回顾问题探究课堂小结活动重点、难点知识★▲探究三：二次函数的图象及性质。观察图象知：开口向上，对称轴是x＝4，顶点坐标是（4，2）。当x>4时，y随x的增大而增大；当x<4时，y随x的增大而减小。当x＝4时，函数y取最小值2。师生共研，探究性质画出函数

的图象，并试着说出它的性质。知识回顾问题探究课堂小结重点、难点知识★▲探究三：二次函数的图象及性质。思考、讨论下列问题：1.对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？2.观察二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，在对称轴的左右两侧，y随x的增大有什么变化规律？3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质吗？活动师生共研，探究性质。知识回顾问题探究课堂小结重点、难点知识★▲探究三：二次函数的图象及性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：a＞0（1）当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸。（2）对称轴是直线顶点坐标为（3）在对称轴的左侧，即相当于

时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即相当于

时，y随x的增大而增大；简记为“左减右增”。（4）抛物线有最低点，当

时，y有最小值，y最小值=活动师生共研，探究性质。知识回顾问题探究课堂小结重点、难点知识★▲探究三：二次函数的图象及性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：a<0（1）当a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸。（2）对称轴是直线顶点坐标为（3）在对称轴的左侧，即相当于

时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即相当于

时，y随x的增大而减小；简记为“左增右减”。（4）抛物线有最高点，当

时，y有最大值，y最大值=活动师生共研，探究性质知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动1基础型例题例1把下面的二次函数的一般式化成顶点式：【解题过程】解法一：用配方法：知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动1【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种是代入公式法。例1把下面的二次函数的一般式化成顶点式：基础型例题【解题过程】解法二：用公式法：知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动1基础型例题练习：若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝（x－2）2＋k，则b，k的值分别为（）A.0，5B.0，1C.－4，5D.－4，1解：∵y＝（x－2）2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1，故选D。D知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动1基础型例题例2已知：抛物线（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【解题过程】解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－8）。（2）令y＝0，得解得所以与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）。令x＝0，得y＝－6，所以与y轴的交点坐标为（0，－6）。（3）当x≥1时，y随x的增大而增大。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动1基础型例题练习：若点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1

y2（填“＞”、“＜”、“=”）。【解题过程】解：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，1＜2＜3，∴y1＜y2。＜【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动2提升型例题例3已知

那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（

）﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6【解题过程】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2。∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大。又∵∴当

时，y取最大值，C【思路点拨】确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动2提升型例题…－2－1012……04664…从上表可知，下列说法中正确的是

。（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数

的最大值为6；③抛物线的对称轴是④在对称轴左侧，y随x增大而增大。【思路点拨】题中给出表格，可根据所给数据，求出函数解析式，再据此即可作出判断；也可根据表格中的数据，抛物线的对称性，以及二次函数的图象性质，进行判断。练习：抛

物线

上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动2提升型例题【解题过程】解法一：略。（请同学们自己完成）解法二：根据表格中的数据，抛物线的对称性，观察抛物线的对称轴是③选项正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），①选项正确；∵抛物线过（0，6）、（1，6）两点，∴函数的最大值不可能为6，②选项错误；观察表格知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，④选项正确。故正确的是①③④。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动2提升型例题例4将抛物线y=ax²+bx+c向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y＝x²+2x+3，求a，b，c的值。【解题过程】解：∵y＝x²+2x+3=（x+1）²+2，∴把抛物线y＝（x+1）²+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线y＝（x+4）²+4，∴ax²+bx+c＝（x+4）²+4=x²+8x+20，∴a＝1，b＝8，c＝20。【思路点拨】此题应用了逆向思维。由抛物线y=ax²+bx+c变到抛物线y＝x²+2x+3，不易求a，b，c的值；但反过来由抛物线y＝x²+2x+3平移成抛物线y=ax²+bx+c就可轻松求解。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动2提升型例题练习：将抛物线

向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为【思路点拨】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用活动3探究型例题例5如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C。（1）求m的值；【解题过程】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得－32+2×3+m=0。解得，m=3。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动3（2）求点B的坐标；解：（2）二次函数解析式为y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0。解得x=3或x=－1。∴点B的坐标为（－1，0）。探究型例题例5如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C。【解题过程】知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动3【思路点拨】解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，底相同且面积相等的两个三角形高相等。探究型例题例5如图所示，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C。【解题过程】（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使求点D的坐标。解：（3）∵点D在第一象限，∴点C、D关于二次函数对称轴对称。∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），∴点D的坐标为（2，3）。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动3探究型例题练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用

表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？【解题过程】解：（1）因此钢缆的最低点到桥面的距离是1m。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动3【解题过程】解：（2）（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？探究型例题练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用

表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。知识回顾问题探究课堂小结探究四：二次函数的图象及性质的应用。活动3（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？【思路点拨】（1）将二次函数解析式配方，求得顶点坐标，从而获得钢缆的最低点到桥面的距离；（2）由左右两条抛物线关于y轴对称，得出另一条抛物线解析式，可知它们的顶点坐标，从而求得两条钢缆最低点之间的距离。探究型例题练习：两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用

表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。知识梳理知识回顾问题探究课堂小结归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：a＞0（1）当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸.（2）对称轴是直线顶点坐标为（3）在对称轴的左侧，即相当于

时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即相当于

时，y随x的增大而增大；简记为“左减右增”。（4）抛物线有最低点，当

时，y有最小值，y最小值=知识梳理知识回顾问题探究课堂小结归纳二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与性质：a<0（1）当a<0时，抛物线开口向下，并且向下无限延伸。（2）对称轴是直线顶点坐标为（3）在对称轴的左侧，即相当于

时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即相当于

时，y随x的增大而减小；简记为“左