全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

1＞浙江省高中数学竞赛试题

2、河北省高中数学竞赛试题

3、全国高中数学联赛广东省预赛

4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题

5、浙江省高中数学竞赛试题

6、湖北省高中数学竞赛试题

7、全国高中数学联合竞赛一试试题

8、二0一—年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题

9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷

10、全国高中数学联赛山东省预赛试题

11、全国高中数学联赛江西省预赛试题

12、全国高中数学联赛山西省预赛

13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题

14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）

15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题

16、新知杯上海市高中数学竞赛试题

17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷

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浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括

号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1.已知则Jl—sin26»—Jl+sin26可化可为（）

42

A.2sin6B.-2sin0C.-2cos6D.2cos6

2.如果复数（a+2i）（l+i）的模为4,则实数a的值为（）

A.2B.2V2C.±2D.±20

3.设A,B为两个互不相同的集合，命题P：xeAcB,命题q：xeA或xeB,则p是q

的（）

A.充分且必要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件

V-

4.过椭圆万+y2=i的右焦点鸟作倾斜角为45弦AB,贝为（

2A/6472

----。正确答案为Co

3

l-5-xx>0

5.函数/'（X）=<,则该函数为（

5X-1x<0

单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数

单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数

6.设有一立体的三视图如下,则该立体体积为（

正视图侧视图俯视图（圆和正方形）

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5万3万71

A.4+——B.4+——C.4+—D.4+乃

222

7.某程序框图如右图所示，现将输出（x,y）值依

次记为：（%,乂）,（々,当），，（当，匕），；若程序运行中

输出的一个数组是（x,—10）,则数组中的x=（）

A.64B.32C.16D.8

8.在平面区域｛（x,刈X区1,|y区1｝上恒有"-2制<2,则动点P（a,b）所形成平面区域的面积

为（）

A.4B.8C.16D.32

7TTT

9.已知函数/（x）=sin（2x-一）一根在0,-上有两个零点，则m的取值范围为（）

62_

A.J｝，1）B1］C.即D.心

10.已知。则f+l。-4）x+4—2。>0的解为（）

A.x>3或x<2B.x>2或x<lC,工〉3或太<1D,1<x<3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11.函数/（x）=2sin、—Gcosx的最小正周期为。

12,已知等差数列｛%｝前15项的和几=30,则4+%+/=.

13,向量。=（l,sin。），b=（cosaG），0&R,则,—的取值范围为__。

14,直三棱柱ABC—A4G，底面A45c是正三角形，P,E分别为34，CC；上的动点（含端

点），D为BC边上的中点，且尸。_LPE。则直线AP,PE的夹角为__»

15.设x,y为实数，则max（x2+y2）=______________。

5x2+4y2=10x

16.马路上有编号为1,2,3,…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯,

但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有种。

（用组合数符号表示）

17.设无,y,z为整数，且x+y+z=3,x'+y3+z，=3,则x?+y2+z2=__o

18.设a42,求y=（x—2）可在［a,2］上的最大值和最小值。

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给定两个数歹!满足演）

19.I,{y“}=%=1,xn-_（n>i）,

2+X,T

X,=1+^~'（n>1）«证明对于任意的自然数n,都存在自然数/“，使得先=为“。

22

20.已知椭圆鼻+亳=1,过其左焦点耳作一条直线交椭圆于A,B两点，D（a,0）为耳右侧

一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过耳，求。的值。

浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括

号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1.已知［红，2］,则Jl—sin28—Jl+sin26可化简为（D）

42

A.2sin。B.-2sin。C.-2cos。D.2cos。

解答：因为［彳,万］,所以J1一为n28-Jl+sin2e=|cos8-sinq-|cose+sinq

=2co&。正确答案为D。

2.如果复数（a+2i）（l+i）的模为4,则实数a的值为（C）

B.2B.272C.±2D.±20

解答：由题意得0・小片+4=4=4=±2。正确答案为C。

3.设A,B为两个互不相同的集合，命题P：xeAcB,命题q：xeA或xeB,则p是q

的（B）

A.充分且必要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件

解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。

2

4.过椭圆、+y2=i的右焦点鸟作倾斜角为45弦AB,则|43|为（C）

2底4A/64啦46

亍

解答：椭圆的右焦点为（1,0）,则弦AB为y=x-1,代入椭圆方程得

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3x2-4x=0=>玉=0,x=^=>\AB\=^2(x,-x)24J2

22----。正确答案为Co

3

5.函数/（X）=<1—，一°,则该函数为（A）

5'—1x<0

B.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数

C,单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数

解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。

6.设有一乂体的三视图如下,则该立体体积为（A）

正视图侧视图俯视图（圆和正方形）

5万37c71

A.4+——B.4+——D.4+%

222

TT

解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（一），所以该几何体的体

2

Jr57r

积为2x2xl+3%——=4+"。正确答案为A。

22

7.某程序框图如右图所示，现将输出（x,y）值依

次记为：（5/）,。2，%），，（当，笫），；若程序运行中

输出的一个数组是（％-10）,则数组中的X=（B）

A.64B.32C.16D.8

答案经计算x=32。正确答案为Bo

8.在平面区域｛（x,y）||x|Kl,|y区1｝上恒有ax-2b,则动点

P（a,与所形成平面区域的面积为（A）

A.4B.8C.16D.32

解答：平面区域｛（x,y）||x|Wl,|y区1｝的四个边界点（一,——1),(——1,

I结束I

1),(1,—1),(1,1)满足以一2力y42,即有

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a+2h<2,a—2h<2,—a—2b<2,—a+2b<2

由此计算动点P(a,»所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。

TT7T

9.已知函数/(x)=sin(2x——)一根在0,—上有两个零点，则m的取值范围为(C)

62_

A.g，1)B[p1]C.D.你：

777T

解答：问题等价于函数/(x)=sin(2x--)与直线y=加在0,-上有两个交点，所以m的取值

62_

范围为1)。正确答案为C。

10.已知则x2+(a-4)x+4—2a>0的解为(C)

A.》〉3或％<2B,x>2或x<lC,x>3或x<lD,1<x<3

解答：不等式的左端看成a的一次函数，/(a)=(x-2)a+(x2—4x+4)

由/(—1)=x2—5x+6>0,/'(I)=J—3x+2>0=x<1或x>3。

正确答案为C。

二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分)

11.函数/(x)=2sin1-Gcosx的最小正周期为4%__。

解答：最小正周期为4万。

12.已知等差数列｛风｝前15项的和Su=30,则q+4+«15=6.

解答：由S[5=30=4+7d=2,而q+%+45=3(4+7d)=6。

13.向量。=(l,sin。)，Z?=(cos，,J5),9eR,则,一目的取值范围为」L3]—。

解答：,一0=J(1-cos8)2+(sin夕--2(cos6sin&)

=1-4sin,-e),其最大值为3,最小值为1,取值范围为[1,3]。

14,直三棱柱ABC—A4G，底面A48c是正三角形，P,E分别为34，Cg上的动点(含端

点)，D为BC边上的中点，且P"PE。则直线的夹角为_90_。

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解答：因为平面ABC，平面BCG4,ADXBC,所以ADL平面8CG4,所以

ADXPE,又PEJ_PD,PE_L平面APD,所以PE_LPD。即夹角为90。

15.设x,y为实数，贝ijmax(x2+y2)=___4________。

5X2+4>-2=10A-

解答：5^+4/=10^=>4/=10^-5^2>0=>0<^<2

4(x2+y2)=1Ox一/=25—(5-x)2W25-32=d+丫2w4

16.马路上有编号为1,2,3,2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，

但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有

种。(用组合数符号表示)

解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有Cj界种关灯方法。

17.设x,y,z为整数，且x+y+z=3,/+y3+z3=3,则+y2+z2=_3或57_。

解答：将z=3-x—y代入V+y3+z3=3得到

Q

孙=3(x+y)-9+——，因为都是整数，所以

x+y

x+y=1fx+y=4fx+y=2fx+y=8

JJJ，前两个A方程组无解；后两个A方程组解得

xy=2［盯=5〔盯=1〔肛=16

x=y=z4;x=y=4,z=。所以12+了2+22=3或57。

三、解答题(本大题共3小题，每小题17分，共计51分)

18.设。42,求y=(x—2)W在［。，2］上的最大值和最小值。

解答：当xWO,y=—(x—1了+1,当x>0,y=(x—一5分

由此可知>^=°。---------------------1°分

当lWa<2,%疝=〃—2a；当1—04。<1,珀”=-1；

2

^«<1-V2,yniin--a+2a<,---------------------17分

X

19.给定两个数列｛%„｝,｛笫｝满足玉；=%=1,xn=--~—(H>1)

2+ZT

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2

%="t("21)。证明对于任意的自然数n,都存在自然数使得y“=x,。

i+2y,i

解答：由已知得到：

J-=i+_Z_n_L+i=2（l+_L）n{J-+i}为等比数列，首项为2,公比为2,

X"J七％X.

所以Z—J一。

-!-+1=2"M==----------------5分

X”"2,,+1-1

又由已知，%+[=（加+1）=）史=（%+1）2n1+J_=（1+J_）2

i+2y,_iy”y„-!y„y„-,

由1+L=2nl+L=22"ny"=——!——，

%X.02"1

z-1

所以取j“=2〃_l即可。------------17分

20.已知椭圆1r+卓=1，过其左焦点耳作一条直线交椭圆于A,B两点，D(a,0)为耳右侧一

点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过耳,求a的值。

25

解答：［(-3,0),左准线方程为》=-三疑方程为3；=以％+3)仅为斜率)。

y=Z（x+3）

设AUpyJK%,%），由＜/2=＞（16+-泉5xj+1后0r+2&§c得

---F--=1

〔2516

150A2225^2-400256k2

M+%2=---------------------=--------------------------------------7=X%=42（X|+3）（X2+3）=_10分

16+25公1-16+25/16+25/

25、7,25、,~口（3。+25）乂口丁用（3。+25）为

设M（一二,％）,N（一二,％）。由M、A、D共线％=二------司理/=二---------二。

333（a-玉）3（67-x2）

又月用=（告,为），£、=（—学以），由已知得《加，［"=＞片加・6乂=0,得

22

256万（3a+25）2yy,an256k（3a+25）256岫1由

y3y4=------------，而）4=---------BP--------------------------------------------------------------------------——=------------,整理

99（«-%,）（a—x2）16+25%-9（a—xj（a—々）9

得（1+公）（164-400）=0=4=±5,或＞一3,所以4=5。-17分

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河北省高中数学竞赛试题

一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分)

1.已知数列｛4｝满足：an+l<%+2；%,乌=Lag=2011,则%的最大值为.

2.若均为正整数，且V-y5的值恰好是由一个2,一个0,两个1组成的四位数，则满足条

件的所有四位数是.

3.已知/+〃+c?=1,则ab+be+ac的值域为.

4.标号1,2,…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的

盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1,且2,3,--13号卡片各一张，称该盒是“超

级盒则出现超级盒的概率为(列出算式即可).

5.已知q=1,%=3,a“+2=("+3)。”+1—(〃+2)为，当机2〃时，a”,的值都能被9整除，则〃的

最小值为.

6.函数/(幻x=上+x七+]2+x土+2三+…无+2010”的图像的对称中心为__________.

x+lx+2x+3x+2011

7.6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种

数是.

8.已知。为坐标原点，3(4,0),C(5,0),过C作x轴的垂线，M是这垂线上的动点，以。为圆心,

为半径作圆，M7；,“6是圆的切线，则407；《垂心的轨迹方程是.

二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、

14小题各15分，共78分)

9.解不等式JxH--—---

10、如图，已知A,5是圆d+y2=4与次轴的两个交点，P为直线/：x=4上的动点。PA,PB

与圆d+y2=4的另一个交点分别为",N.

求证：直线过定点。

11>求证：〃223时，总有2<1H—f=-\—f=+,1•H—j^=<3成立。

应后77

3221

12、已知：/(x,y)=x++xy+xy—3(/+y+孙)+3(x+y),且x,y>；，求/(x,y)的

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最小值。

13、(1)在A4BC中，/5。4=90°,则有4。2+3。2=48,类比到三维空间中，你能得到什

么结论？请给出证明。

(2)在人隹中，N5C4=90°,若点C到AB的距离为〃，A4BC的内切圆半径为r,求立

h

的最小值。

(3)推广(2)的结论到三维空间，并证明之。

14.已知数列｛4，卜也,｝满足：4=2p,a“+|=!(4+—),/?„=""+'(〃eN*,〃>0).

2a„an-p

(1)求数列也｝的通项;

(2)证明：a""P=32"'+1;

%+i-P

(3)设S,是数列｛q｝的前〃项和，当〃22时，S“与(〃+芸)p的大小关系是否确定？请说

1O

明理由。

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2011年河北省高中数学竞赛试题参考答案

（时间：5月15日上午8：30-11：30）

一填空题（将知姆惨案填犯够你燃上本为快84题每J题9分，；粉72分）

1.已知数列｛a,J满足：驮产，q=1吗。3=2011，则%的最大值为

21.

解：显然｛4｝构成的点列（〃,％）排列在一下凸函数中，所以当点列分布在由点（1,1）与

（403,2011）决定的直线上时其值显大.故%=21.

2.若均为正整数，且W-V的值恰好是由一个2,一个0,两个1组成的四位数，则

满足条件的所有四位数是2101.

解：当xN6时，Xs-y5^65-5s>2110,.,.x«5.可验证，只有5,-4$=2101—

组解.

3.已知/+b*23+?=1,则ab+bc+ac的值域为［-g』］.

解：显然有々6+6。+。。4々2+/+。2=1.

222

口LL“、14-（6+C）­,4-64-C1

另一方面，ab+be+ac=a（b+c）+bei------------------+b•c=-------------------=—,

222

仅当a+6+c=0且〃+b2+c2=1时取“=”.故值域为［一;,1］.

4.标号1,2,…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三

个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1,且2,3,…，13号卡片各一张，

称该盒是“超级盒”.则出现超级盒的概率为（；）噌:（列出算式即可）.

解：先考虑一张空白卡片肯定要放入一个盒中，第二张也放入该盒的概率为1,4个1放入

3

f1Y

该盒的概率为［二J.以后的过程是从剩余的46张卡片当中取出12张，每个号码恰好取一

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个.所以超级盒出现的概率是竺二.

5.已知％=1,%=3M“+2=(〃+3M“一(〃+2月，当m2〃时，分的值都能被9整除,

则n的最小值为5

〃

解：由。“+2一凡+1=(+2M+1-(〃+2M=(〃+2Xa„+I-an)

=••♦=(〃+2)(〃+1)〃…4•3•(4—q)=(〃+2)!

故为=4+(。2-％)+(。3一/)+…+(。“一%)=1!+2!+…+〃！(«>1)

由丹=1,4=3,a3=9,q=33,as=153,此时153能被9整除.

当加＞5时，左！，而后N6时，A!能被9整除，于是当加25时，/能被9

k=6

整除，故〃的最小值是5.

xx+1x+2x+2010

6.函数/(x)=------1-----------1----------+-----------------的图像的对称中心为一

x+1x+2x+3x+2011

(T006,2011)

xx+1x+2x+2010

解：/(x)=------+---------F-------■+•••+--------------

x+1x+2x+3x+2011

1111、

=2011—(------H---------4---------+…H-------------)>

x+1x+2x+3x+2011

记g(x)=(L+JJ…+」).

x+1x+2x+3x+2011

1+…+―==)为奇函数・

g(x-1006)=(4-------------

x-1005x-1004x-1003x+1005

所以g(x)的图像关于(-1006,0)对称，则/(x)的图像关于(-1006,2011)点对称.

7.6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录幅

况的种数是.2100.

解：被录用3人的情况有：£=120种;

被录用4人的情况有：C：•C：•m=15X6X6=540种;

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「2「2

被录用5人的情况有：C：(C；团+W团)=900种;

6人全部被录取的情况有：3y・2，c；•1O=540种;

Ai.iJ

:.共有120+540+900+540=2100种.

8.已知O为坐标原点，5(4,0),C(5,0),过C作x轴的垂线，M是这垂线上的动点，以。

为圆心，03为半径作圆，町,河石是圆的切线，则AA/7；心垂心的轨迹方程是

>;.V；；士•ulnV/-

(x-y)2+/=(y)\(x>0).

口-..m+心£

解：以O为圆心，03为半径的圆的方程为

》2+丁2=16.连结01,0%.”为AA/T；石的

垂心，N为OM与北4的交点，易证四边形,

O^HT；是菱形，所以QN=goH.又OA/J_7；q,

OT}1肛，则0工2=QMOM.设点H的坐标为

(x,y),M(5,b),则代,今，代入0邛=CW.并有2=j,

得(x-半月+炉=(9尸，(x>0)为所求•

二解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11.12小题各12

分.13、14小题各15分.共78分)

9.解不等式X十口斗“必营

X

解：欲使不等式成立，必需满足条件：

X

X+[NOx'+l

,2N0jX-用

XX

=>x-1-

x3

x—N0NO

Xx2

第3页共8页

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Vx3+1->Jx3-1<1①.........................................（6分）

将①式左边分子有理化得：

9「丁.___________

33

I一——,<1。7x+1+Vx-1>2.②

Jx'+l+Jx，-1

由①变形为心-1-G+i>-I③...................................（10分）

/-：-1,5V10

由②、③两式同向相加得：Vx3-1>-.所以:，x>—（12分）

.242

10.如图：已知48是圆，+丁=4与x轴的两个交点，P为直线/:x=4上的动

点.尸4PB与圆/+歹2=4的另一个交点分别为M,N.

求证：直线MN过定点.

证明：设尸（4,%）,M（X”M）,N（X2,必）

原产卷'=3咚=3%....................（3分）

ZO

即：且」_A_

X[+2x2-2

两边平方得：*—；?二J一鼻

&+2）2（吃—2）2

整理为：9（2整=当

X]+22-x?

，,•C'…・：）•-41

即：2XJX2-5（^+X2）+8=0

.t；,.,*«••■>1।4«„J）_,,*.

设MV的方程y=Mx-m）,代入父+y2-4=0中得

（l+^2）x2-2k2mx+k2m2-4=0......（8分）

一―7-2kzmk2m2-4.„„

由韦达定理：x+x=-~~=—一万一，代入①

y21+公\+k

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全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

42(耐2_5雨+4)=0

当％#0,6=1或桁=4（舍）.当4=。时；直线MN即为直线ZB.

'TI*E

所以宜线过（1,0）点.....................•:.......................（12分）

<•—

111，

11.求证，〃N23时,.总有2<1+—7=+―7=+,••+<<3成立..

收后<二(；(--T_)=N-...：.门)

81NI

\fk^yfky/k^ky[k"4kyjk

处F"<2%g=2(高小晔):，

:.1H—7=H—■(=+•,,+—<1+2(1—^-)—3--ps<3

（6分）

应后77GG

再证1+3+3+—+」）？

(〃N23).

亚行V7

类似可得：1H7=-+"H7=>1+2(—T=r7==)..............(10分)

必后4rV2而T

：•只需1+2(——,-)>2>解得：w>23..........................(12分)

V2Vn+1

12.已知：/(%,丁)=;?+炉+工为+刈2-35+丁2+孙)+3(x+y),且x,yN；,求

/(xj)的域小值.

解：设xxy,两边同乘x-y得：

(X-y)/(x,y)=(X’-y4)-3(X3-/)+3(X2-/)....................(3分)

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令：g(x)=x4-3x3+3x2.....,,•

\\

.

则f(x,y)=婀-g")为g(x)=x4-3X3+3X2图像上两点的斜率.…“…•(8分)

X-V.1

,•V；-…u"网.(:1：

•{t)八

当x=y时，f(x,y)=4x3-9x2+6x.

i

所以只需求g(x)在xN,上的导函数6(x)=4x3-9x2+6x的最小值.(10分)

易求当时，〃(》)=49-9*2+6丫最小值为1.一—............；•(12分)

13.（1）在A42?。中，Z8C4=90°,则有4。2+/2=483类比到三维空间中，你能

得到什么结论？请给出证明.

«•I.

（2）在&43c中，NB。=90°,若点。到43的距离为〃，AJ8C的内切圆半径为r,

9

求:的最小值.J；,

h

（3）推广（2）的结论到三维空间，并证明之.

解：（1）结论：设四面体S-Z8c中，侧棱£4,S3,SC两两垂直（不妨称为空间直角四面

体），则S’MBC=S晨0c+S2AsM+S2As4c•............................（2分）

证明：&SA=a,SB=b,SC=c,过S作SZ>J.3c于O,连结ZO,由三垂线定理知:

ADLBC.

I1

22222

S2MBe=(-BCAD)=-(b+c)\SD+a)

..C-,v.J-->、,..!，、•;，「一\

2c2222222

=!(Z>2+c)-(-y2+a)=-(ab+bc+ca)

4b+c4

2

=S2HBe+S晨1tA+S^SAC,...........(5分)

..............................................-f=力颁，£』!」..$1

（2）设A43C的内切圆心为/,则C/+r2〃.（力为3c边上的高），而C/=0r.故

I

7N-7=—=&-1.且当MBC为等腰直角三角形时，得到最小值、历-1.

（10分）

hV2+1

（3）结论：在空间直角四面体S-Z5C中，若其内切球半径为r,点S到底面力3c

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距离为人，............................................(12分)

h

证明：设空间直角四面体S-4ffC的内切球球心为/,则S/+/2%.(方为底面月8c上

的高)，而夕=石「,，2一一=6-1.

hV3+1•

且当S4=S5=SC时，得到最小值Ji-l...........................(15分)

2

14.已知数列｛4｝、也,｝满足：4=20,4“=:(%+乙)力“=%^(〃€'・卬>0).

2a„a“-p

(1)求数列也,｝的通项；•

(2)证明：.-^-^-=3r，+1；

%-P

(3)设S”是数列｛4｝的前〃项和，当〃N2时，S”与(〃+高23)p的大小关系是否确定？

1O

请说明理由.

g+P

解：(1)Van+l=^-(an+—)A="(neN\p>0)

2anan-p

p2

Qn++2p2

•,也+1=3^=-工-----=b「>0(〃G”P>0)

%-Pa.+匕-2P，a-气P)

a”

Ig6n+1=2lg6„p>0,Abn=*l,/.lg6„*0,/.=2.

an-Plgb“

故数列｛lg%｝是以2为公比,首项为1g瓦=lg3的等比数列.

lgb„=2"-,-lg3.叫=3『............................................(5分)

(2)由6“=""+"(〃€%',0>())得:4=2|/=「+廿，

r

4—pbn-\3-1

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•巴二区=支_二1=n_二1=史乃1=3产+1.得证.............(8分)

..明-P江32-1-13--1

3J

(3)当〃N2时，4)+1_2=$%4±(。"一P)，故当〃=2时，

-513

S„=S2=ax+a2=2p+-p=-p,

5+令P=Q+令P蜷P，而9P-*=-9<。,即S"<(〃+令P.

1o10104+1ox

「

当〃N3时，a3-p<±(％-p),ap4^(a3-p),---,an-p<奈(。…—p),

•••S„-ax-a2-(n-2)p^—[S„.!-ax-(n-2)p],

a{-2p,a2=^-,:AQSn一(〃-2)p4sll-an-2p-(n-2)p

—乙

2

613"1+1n/23、

•••Sn(〃-2)+可语

23

综上，当〃N2时，Sn<(n+—)p.....................................................(15分)

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全国高中数学联赛广东省预赛

(考试时间：9月3日上午10:00—11:20)

一