小学数学5年级培优奥数讲义 第09讲-数阵（含解析）

第09讲数阵

学习目标

'学会掌握数阵图形的基本分析方法；

:会运用数阵图的几类解法。

*知所

一、数阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方

演变而来的数字图。

二、数阵图的分类

封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

三、数阵图的解法

(1)辐射型数阵图

方法一：尝试法,即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能

填最大数、

最小数或中间数；

方法二：公式法,线和x线数=数字和+重叠数x重叠次数；重叠次数=线数-1

(2)封闭型数阵图

公式：线和X线数=数字和+重叠数之和

(3)复合型数阵图

综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。

典例分析

考点一：辐射型数阵图

例1、把1〜5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、将1〜7这七个自然数填入左下图的七个。内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

考点二：封闭型数阵图

例1、将1~6六个自然数分别填入下图的。内，使三角形每边上的三数之和都等于11.

例2、将1〜8这八个自然数分别填入下图中的八个O内，使四边形每条边上的三个数之和都

等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上。应如何填？

例3、把1~9这9个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4个圆内数之和

都是23。

考点三：复合型数阵

例1:将1〜7这七个数分别填入下图的。里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个

数之和都相等。

例2：将1〜10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23,应怎样

填？

＞课堂狙击

1、将1〜9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。（至少找出

两种本质上不同的填法）

2、将1〜11这十一个数分别填入下图的。里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

3、在右图的六个O内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20,而且每个三角

形（共5个）顶点上的数字之和都相等。

O一o—o

4、把1〜8这八个数字分别填入下图(1)中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和

都相等，给出一种具体的填法.

5、将1一一10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

6、把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如

图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

(a)(b)

＞课后反击

1、将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

2、如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们

的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？

3、把1〜5这五个数填入下页左上图中的。里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。

4、将1一一7分别填入下图的7个。内，使每条线段上三个。内数的和相等。

5、将1一一9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的

和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？

重点回顾.

一、数阵图的分类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

二、数阵图的解法

不名师点拨

9)辐射型数阵图

方法一：尝试法,即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能

填最大数、

最小数或中间数；

方法二：公式法,线和义线数=数字和+重叠数X重叠次数；重叠次数=线数-1

(2)封闭型数阵图

公式：线和X线数=数字和+重叠数之和

软学霸经验笳

»£本节课我学到

我需要努力的地方是

第09讲数阵

教学目标

、学会掌握数阵图形的基本分析方法;

:会运用数阵图的几类解法。

七、知识梳理

数阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方

演变而来的数字图。

二、数阵图的分类

封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

三、数阵图的解法

⑴辐射型数阵图

方法一：尝试法,即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能

填最大数、

最小数或中间数；

方法二：公式法,线和义线数=数字和+重叠数X重叠次数；重叠次数=线数-1

⑵封闭型数阵图

公式：线和X线数=数字和+重叠数之和

(3)复合型数阵图

综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。

典例分析

考点一：辐射型数阵图

例1、把1〜5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【解析】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重

叠数也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重

叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所

以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好

填了(见右上图)。

例2、将1〜7这七个自然数填入左下图的七个。内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间

的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+...+7)+重叠数x2=10x3。由此得出重叠数为

[10x3-(l+2+...+7)]-2=lo剩下的六个数中，两两之和等于9的有2,7；3,6；4,5。可得右

上图的填法。

如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等“，其他不

变，那么仿照例3,重叠数可能等于几？怎样填？

考点二：封闭型数阵图

例1、将上6六个自然数分别填入下图的。内，使三角形每边上的三数之和都等于11.

【解析】此图是封闭3-3图，因为每条边上的和都为11,那么三条边上的数字之和为11x3=33,

而1+2+...+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12,在1~6中选3个和为12的数，且

其中任意两个的和不等于11,这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。

例2、将1〜8这八个自然数分别填入下图中的八个。内，使四边形每条边上的三个数之和都

等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上。应如何填?

答案：见右图

例3、把1~9这9个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4个圆内数之和都是

23。

分析。答：线和X线数=数字和+重叠数之和

线和（已知）=23,线数为3,数字和

=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,可求得垂直数之和

A+B+C=69-45=24.24=7+8+9,本题三个顶点处的填法唯一，

a+b=23-7-8=8,c+d=23-8-9=6,e+f=23-7-9=7将6,7,8分拆，存（B

在以下两种分法，因此本题有两种情况。如下图：

6=1+5,7=3+4,8=2+66=2+4,7=1+6,8=3+5

考点三：复合型数阵

例1：将1〜7这七个数分别填入下图的。里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个

数之和都相等。

【解析】所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上

的所有数之和为(1+2+...+7)x2+中心数=56+中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之

和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边

及每个圆周上的三数之和等于(56+4)+5=12。中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。

我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4,每边其余两数之和是12-4=8,两数之和是

8的有1,7；2,6；3,5o于是得到左下图的填法。

对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置，便得到本题的解(见右上图)。

例2：将1〜10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23,应怎样

填？

解：共有六解:

＞课堂狙击

1、将1〜9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。（至少找出

两种本质上不同的填法）

3.

答案:和为26和为27

2、将1〜11这十一个数分别填入下图的。里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

【解析】中心数是重叠数，并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于[(1+2+…+11)

十重叠数X4]+5=(66+重叠数x4)+5。为使上式能整除，重叠数只能是1,6或11。显然，重

叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11,每条直线上的三数之和是22。填

法见右上图。

3、在右图的六个。内各填入一个质数(可取相同的质数)，使它们的和等于20,而且每个三角

形(共5个)顶点上的数字之和都相等。

【解析】因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个O,又因为每

个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20+2=10。10分为三

个质数之和只能是2+3+5,由此得到右图的填法。

4、把1〜8这八个数字分别填入下图(1)中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和

都相等，给出一种具体的填法.

答案：不唯

5、将1一一10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六

个数的和是30。

【解析】设中间两个圆中的数为a、b,则两个大圆的总和J3

是1+2+3+........+10+a+b=30X2,即55+a+b=60,a+b=5。在1——10这十个数中1+

4=5,2+3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是(2,6,8,9)和(3,5,7,10)；当a和b

是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为(1,5,9,10)和(4,6,7,8)。

6、把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三

个数的和都是21。

(a)(b)

【解析】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A+B+C+D

+E=35,A+E+B+C+E+D=21X2=42o

把两式相比较可知，E=42—35=7,即中间填7。然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格，

如图bo

>课后反击

1、将1一一6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

【解析】设中间三个圆内的数是a、b>co因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两

次，根据题意可知：l+2+3+4+5+6+(a+b+c)除以3没有余数。1+2+3+4+5+6=21,

21+3=7没有余数，那么a+b+c的和除以3也应该没有余数。在1一一6六个数中，只有4

+5+6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。(1+2+3+4+5+6+4

+5+6)4-3=12,所以有有图的填法。

2、如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们

的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？

【解析】设每个小三角形三个顶点处。内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的数在求和

时都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是4X=20+2X,解方程得X=10。由此可

知，每个小三角形顶点处的三个质数的和是10,这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数

的积是2X2X3X3X5X5=900。如图(b)。

3、把1〜5这五个数填入下页左上图中的。里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。

O

—

o

【解析】两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两

条直线上的三个数之和都等于[(l+2+3+4+5)+5]-2=10o因此，两条直线上另两个数(非“重叠

数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1,2,3,4中，只有1+4=2+3=5。故有右上图的

填法。

4、将1一一7分别填入下图的7个。内，使每条线段上三个。内数的和相等。

2

o"飞⑤25⑥

【解析】首先要确定中心圆内的数，设中心0内的数是a,那么，三条线段上的总和是1+2

+3+4+5+6+7+2a=28+2a,由于三条线段上的和相等，所以(28+2a)除以3应该没有余