浙江省湖州、衢州、丽水2024届高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

浙江省湖州、衢州、丽水2024届高二数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线（为参数）上与点的距离等于的点的坐标是A． B．C．或 D．或2．下列四个不等式：①；②；③；④，其中恒成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击相互独立，且命中概率都是。则打光子弹的概率是（）A． B． C． D．4．设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A． B． C． D．5．已知双曲线的两个焦点分别为，过右焦点作实轴的垂线交双曲线于，两点，若是直角三角形，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．6．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A． B．C． D．7．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为A． B． C． D．8．某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有(

)A．96B．36C．24D．129．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）468101212356A． B． C． D．10．已知向量，若，则实数（）A． B． C． D．11．已知命题，，命题q：若恒成立，则，那么()A．“”是假命题 B．“”是真命题C．“”为真命题 D．“”为真命题12．已知集合，，则为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．求函数的单调增区间是__________．14．不等式的解集是__________．15．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的表面积为________．16．已知向量，其中，若与共线，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，点为椭圆上一点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知两条互相垂直的直线，经过椭圆的右焦点，与椭圆交于四点，求四边形面积的的取值范围.18．（12分）已知与之间的数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）完成下面的残差表：并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）.附：，，，.19．（12分）对任意正整数，，定义函数满足如下三个条件：①；②；③．（1）求和的值；（2）求的解析式．20．（12分）已知在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大．（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项．21．（12分）把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为________．22．（10分）已知抛物线的焦点为，圆与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.（1）求抛物线的方程（2）设圆与抛物线交于、两点，点为抛物线上介于、两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于、两点，在圆上是否存在点，使得直线、均为抛物线的切线，若存在求点坐标（用、表示）；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

直接利用两点间的距离公式求出t的值，再求出点的坐标.【题目详解】由，得，则，则所求点的坐标为或.故选D【题目点拨】本题主要考查直线的参数方程和两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、C【解题分析】

依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①，当时等号成立，正确②，时不成立，错误③，时等号成立.正确④，时等号成立，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.3、B【解题分析】

打光所有子弹，分中0次、中一次、中2次。【题目详解】5次中0次：5次中一次：5次中两次：前4次中一次，最后一次必中则打光子弹的概率是++=,选B【题目点拨】本题需理解打光所有子弹的含义：可能引爆，也可能未引爆。4、B【解题分析】

先由题意得到方程在上仅有一个实根；令，得到函数与直线在上仅有一个交点；用导数的方法判断单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果.【题目详解】因为函数，有且仅有一个零点；所以方程在上仅有一个实根；即方程在上仅有一个实根；令，则函数与直线在上仅有一个交点；因为，由得，因为，所以；由得，因为，所以；所以，函数在上单调递减，在上单调递增；因此作出函数的大致图像如下：因为函数与直线在上仅有一个交点，所以，记得.故选B【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.5、B【解题分析】分析：由题意结合双曲线的结合性质整理计算即可求得最终结果.详解：由双曲线的对称性可知：，则为等腰直角三角形，故，由双曲线的通径公式可得：，据此可知：，即，整理可得：，结合解方程可得双曲线的离心率为：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6、D【解题分析】

根据题目条件，构造函数，求出的导数，利用“任意的满足”得出的单调性，即可得出答案。【题目详解】由题意知，构造函数，则。当时，当时，恒成立在单调递增，则，化简得，无法判断A选项是否成立；，化简得，故B选项不成立；，化简得，故C选项不成立；，化简得，故D选项成立；综上所述，故选D。【题目点拨】本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。7、A【解题分析】分析：先求出基本事件的总数，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数，由此即可求出.详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，基本事件的总数，恰好取到1件次品包含的基本事件个数，恰好取到1件次品的概率.故选：A.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.8、C【解题分析】

先安排第一节的课表种，再安排第二节的课表有2种，第三节的课表也有2种，最后一节只有1种安排方案，所以可求.【题目详解】先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有种；周二的第二节不和第一节相同，也不和周一的第二节相同，共有2种安排方案，第三节和第四节的顺序是确定的；周三的第二节也有2种安排方案，剩余位置的安排方案只有1种，根据计数原理可得种，故选C.【题目点拨】本题主要考查分步计数原理的应用，侧重考查逻辑推理的核心素养.9、A【解题分析】分析：求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（，共2个，求出概率即可．详解：故，解得：，

则

故5个点中落在回归直线下方的有，共2个，

故所求概率是，

故选A．点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．10、B【解题分析】

由题得，解方程即得解.【题目详解】因为，所以.故选B【题目点拨】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、D【解题分析】

分别判断命题的真假性，然后再判断每个选项的真假【题目详解】，即不存在，命题是假命题若恒成立，⑴时，，即符合条件⑵时，则解得，则命题为真命题故是真命题故选【题目点拨】本题考查了含有“或”“且”“非”命题的真假判定，只需将命题的真假进行判定出来即可，需要解答一元二次不等式，属于基础题．12、A【解题分析】

利用集合的交集运算进行求解即可【题目详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A【题目点拨】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间．【题目详解】解：由，得令，可得故函数的单调递增区间是故答案为或.【题目点拨】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题．14、【解题分析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．详解：原不等式可以化为，所以，故或者，不等式的解集为，填．点睛：一般地，对于不等式，（1）如果，则原不等式等价于；（2）如果，则原不等式等价于.15、【解题分析】

在平面的投影为的外心，即中点，设球半径为，则，解得答案.【题目详解】，故在平面的投影为的外心，即中点，故球心在直线上，，，设球半径为，则，解得，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16、【解题分析】

根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.【题目详解】∵，，其中，且与共线∴，即∴，当且仅当即时取等号∴的最小值为.【题目点拨】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题意可得，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l1，l2的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．【题目详解】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1故椭圆C的方程为；（2）当直线l1的方程为x＝1时，此时直线l2与x轴重合，此时|AB|＝3，|MN|＝4，∴四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|＝1．设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线l1：x＝ky+1，直线l2：xy+1，由x＝ky+1和椭圆1，可得（3k2+4）y2+1ky﹣9＝0，判别式显然大于0，y1+y2，y1y2，则|AB|••，把上式中的k换为，可得|MN|则有四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|••，令1+k2＝t，则3+4k2＝4t﹣1，3k2+4＝3t+1，则S，∴t＞1，∴01，∴y＝﹣（）2，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴y∈（12，]，∴S∈[，1）故四边形PMQN面积的取值范围是【题目点拨】本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于难题．18、（1）；（2）良好.【解题分析】

（1）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据公式计算并填写残差表；由公式计算相关指数，结合题意得出统计结论．【题目详解】（1）由已知图表可得，，，，则，，故.（2）∵，∴，，，，，则残差表如下表所示，∵，∴，∴该线性回归方程的回归效果良好.【题目点拨】本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题．19、（1），（2）【解题分析】

（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由依次推出，再由，，依次推出即可.【题目详解】解：（1）因，令代入得:，令，代入得:，又，令代入得：．令，代入得：．（2）由条件②可得，，……．将上述个等式相加得：．由条件③可得：，，……．将上述个等式相加得：．【题目点拨】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.20、（1）-16；（2）.【解题分析】

（1）根据第5项的二项式系数最大可得的值.由二项式定理展开通项，即可求得含的项的系数；（2）由二项式定理展开通项，即可求得有理项.【题目详解】∵只有第5项的二项式系数最大，∴二项式的幂指数是偶数，那么其展开式的中间一项的二项式的系数最大，∴，解得．（1）．其展开式的通项．令，得．∴含的项的系数为；（2）由，得，由，得（舍），由，得，由，得．∴展开式中的有理项为：．【题目点拨】本题考查了二项式定理展开的应用，有理项的求法，属于基础题.21、【解题分析】

根据与长度有关的几何概型的计算公式，即可求出结果.【题目详解】“把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米”，则能剪断的区域长度为：，