2024届上海市静安区数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2024届上海市静安区数学高二下期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若角是第三象限角，且，则（）A． B． C． D．2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复（）A．1 B． C．i D．3．椭圆的左右焦点分别是，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．4．已知m＞0，n＞0，向量则的最小值是（

）A． B．2 C． D．5．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．16．设且，则“”是“”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件7．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有()A．24种 B．16种 C．12种 D．10种8．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+19．命题“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使10．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（）A． B． C． D．11．函数在区间上的最大值是2，则常数（）A．-2 B．0 C．2 D．412．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为5，则这组数据的众数为______.14．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为____________.15．已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影为________．16．若函数与函数的图像有两个不同的交点，则实数b的取值范围是________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）化简：；（2）已知：，求的表达式；（3），请用数学归纳法证明不等式.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19．（12分）已知函数.（1）求的值；（2）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值.20．（12分）已知函数.（1）的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的最小值.21．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.22．（10分）函数(为实数).(1)若，求证：函数在上是增函数；(2)求函数在上的最小值及相应的的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由单位圆中的三角函数线可得：终边关于轴对称的角与角的正弦值相等，所以，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得.【题目详解】角与角终边关于轴对称，且是第三象限角，所以为第四象限角，因为，所以，又，解得：，故选A.【题目点拨】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.2、C【解题分析】

利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式．【题目详解】解：复数，故选：．【题目点拨】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，属于基础题．3、A【解题分析】

由题得，再利用椭圆定义得的长度，利用勾股定理求解即可【题目详解】由题得，且又由勾股定理得，解得故选：A【题目点拨】本题考查椭圆的定义及几何意义，准确求得是关键，是基础题4、C【解题分析】分析：利用向量的数量积为0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m＞0，n＞0，向量，可得，则，当且仅当时，表达式取得最小值.故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．5、A【解题分析】

根据的定积分的计算法则计算即可．【题目详解】0πsinxdx＝（-cos故选：A．【题目点拨】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．6、C【解题分析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.7、C【解题分析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C.8、C【解题分析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4+n22时，当n=k+【题目详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9、A【解题分析】

根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【题目详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使”的否定是“，使”.故选A【题目点拨】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型.10、B【解题分析】由题意，恰有2天准时到站的概率为，故选择B。11、C【解题分析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是，则值可求．详解：令，解得：或，

令，解得：

∴在递增，在递减，，

故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．12、C【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【题目详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故答案为C【题目点拨】本题主要考查正弦定理和线面位置关系，考查了几何体外接球的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键求外接球的半径．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解题分析】这组数据按从小到大的顺序排列其中中间的两个数为4，，这组数据的中位数为∴x＝6，故这组数据的众数为6，填6.14、【解题分析】每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为.故答案为：.15、【解题分析】

由题知，，再根据投影的概念代入计算即可.【题目详解】，，所以向量在向量方向上的投影为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了向量模的坐标计算，投影的概念与计算.16、【解题分析】

作出函数的图象和直线，由图形观察可知它们有两交点的情形。【题目详解】作出函数的图象和直线，如图，当直线过点时，，当直线与函数图象相切时，，，，（舍去），∴函数与函数的图像有两个不同的交点时。故答案为：【题目点拨】本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题时用数形结合思想，即作出函数图象（半个椭圆）及直线当平移直线时观察它与函数图象的交点情况．本题解题时要特别注意函数图象只是椭圆的上半部分，不能误认为是整个椭圆，那就会得出错误结论．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解题分析】

（1）利用组合数公式化简后可得出结果；（2）由（1）得出，令可得，化简得出，代入函数的解析式，利用二项式定理进行化简得出，于此可得出的表达式；（3）先由（2）中的结论，结合组合数的性质得出，然后再用数学归纳法证明出不等式成立即可.【题目详解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，，因此，；（3），所以，，即，①，②①②得，，下面用数学归纳法证明.（i）当时，则有，结论成立；（ii）假设当时，，那么当时，，所以当时，结论也成立.根据（i）（ii）恒成立.【题目点拨】本题考查组合数的性质与计算、以及二项式定理的逆向应用，同时也考查了利用数学归纳法证明数列不等式，证明时要适当利用放缩法进行证明，考查推理能力，综合性较强，属于难题.18、（1）．（2）．【解题分析】

（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【题目详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，Y＝450×2＝900元，当温度在[20，25）℃时，需求量为300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，当温度低于20℃时，需求量为200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，当温度大于等于20时，Y＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：90﹣（2+16）＝72，∴估计Y大于零的概率P．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19、（1）1,（2）最小值，最大值.【解题分析】分析：（1）由降幂公式化简表达式，得，利用辅助角公式化简三角函数式，最后代入求解。（2）根据三角函数平移变换，得到平移后解析式为，利用整体思想求得取值范围；进而得到的最大值与最小值。详解：（1），则.（2）函数平移后得到的函数，由题可知，.当即时，取最小值，当即时，取最大值.点睛：本题综合考查了二倍角公式、降幂公式在三角函数化简中的应用，三角函数平移变换及在某区间内最值的求法，知识点综合性强，属于简单题。20、（1），；（2）【解题分析】

（1）由题意利用正弦函数的周期性、单调性，求得的最小正周期及单调递增区间．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，的最小值．【题目详解】解：（1）最小正周期为.令，得，…所以的单调递增区间为.（2）因为，所以，所以，所以，所以的最小值为.【题目点拨】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21、（1）；（2）．【解题分析】

(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2)设,即h(x)>0恒成立，对函数求导，分，，三种情况得到函数单调性，进而得到结果.【题目详解】（1）当时，，，切点为，，，曲线在点处的切线方程为，即.（2）设，，不等式对任意恒成立，即函数在上的最小值大于零.①当，即时，在上单调递减，的最小值为，由可得，，.②当，即时，在上单调递增，最小值为，由可得，即.③当，即时，可得最小值为，，，故.即，综上可得，的取值范围是.【题目点拨】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函