新高考数学一轮复习讲义+分层练习 3.3《利用导数解决函数的极值、最值》教案 (原卷版)

第三节利用导数解决函数的极值、最值1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间［a，b］上连续的函数f(x)在［a，b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a，b］上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在［a，b］上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.eq\o(［常用结论］)1.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点.2.若函数在闭区间［a，b］的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.()(3)函数的极大值一定是函数的最大值.()(4)开区间上的单调连续函数无最值.()二、教材改编1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点2.设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()A.x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B.x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点C.x＝2为f(x)的极大值点D.x＝2为f(x)的极小值点3.函数y＝xex的最小值是.4.函数f(x)＝x﹣alnx(a＞0)的极小值为.考点1利用导数解决函数的极值问题利用导数研究函数极值问题的一般流程根据函数图象判断函数极值的情况设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1﹣x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(﹣2)D.函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(2)可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.求已知函数的极值已知函数f(x)＝(x﹣2)(ex﹣ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况.求函数极值的一般步骤(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数.(2)求f′(x)＝0的根.(3)判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点.(4)求出具体极值.［教师备选例题］设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.已知函数极值求参数的值或范围(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝﹣1时有极值0，则a﹣b＝.(2)若函数f(x)＝eq\f(x3,3)﹣eq\f(a,2)x2＋x＋1在区间(eq\f(1,2),3)上有极值点，则实数a的取值范围是.［教师备选例题］若函数f(x)＝ex﹣alnx＋2ax﹣1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为()A.(﹣e2，﹣e)B.(-∞,-eq\f(1,2)e)C.(-∞,-eq\f(1,2))D.(﹣∞，﹣e)1.若x＝﹣2是函数f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的极值点，则f(x)的极小值为()A.﹣1B.﹣2e﹣3C.5e﹣3D.12.已知函数f(x)＝x(x﹣c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为()A.6B.2C.2或6D.03.若函数f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A.(﹣∞，﹣2eq\r(2)］ B.(﹣∞，﹣2eq\r(2))C.(﹣∞，﹣3］ D.(﹣∞，﹣3)考点2用导数求函数的最值求函数f(x)在［a，b］上的最大值、最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.已知函数f(x)＝2x3﹣ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间［0,1］的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.［备选例题］已知函数f(x)＝lnx﹣ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，求函数f(x)在［1,2］上的最小值.已知函数f(x)＝eq\f(1－x,x)＋klnx，k＜eq\f(1,e)，求函数f(x)在[eq\f(1,e),e]上的最大值和最小值.考点3利用导数研究生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题，结合实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x﹣6)2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.利用导数解决函数的极值、最值一、选择题1.函数y＝eq\f(x,ex)在［0,2］上的最大值是（）A.eq\f(1,e)B.eq\f(2,e2)C.0D.eq\f(1,2\r(e))2.已知函数f（x）＝cosx＋alnx在x＝eq\f(π,6)处取得极值，则a＝（）A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,12)D.﹣eq\f(π,12)3.函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于（）A.eq\f(8,9)B.eq\f(10,9)C.eq\f(16,9)D.eq\f(28,9)4.若x＝1是函数f（x）＝ax＋lnx的极值点，则（）A.f（x）有极大值﹣1 B.f（x）有极小值﹣1C.f（x）有极大值0 D.f（x）有极小值05.已知函数f（x）＝x3＋3x2﹣9x＋1，若f（x）在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k的取值范围为（）A.［﹣3，＋∞） B.（﹣3，＋∞）C.（﹣∞，﹣3） D.（﹣∞，﹣3］二、填空题6.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是.7.已知函数f（x）＝lnx﹣ax存在最大值0，则a＝.8.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为.三、解答题9.已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）.（1）当a＝eq\f(1,2)时，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.10.已知函数f（x）＝lnx﹣eq\f(a,x).（1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在［1，e］上的最小值为eq\f(3,2)，求实数a的值.1.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）ABCD2.函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间［﹣3,2］上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A.20B.18C.3D.03.若函数f（x）＝2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k＋1）内存在最小值，则实数k的取值范围是.4.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2，0＜x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)，x＞10.))（1）写出年利