自动控制-03b二阶系统计算举例

四、二阶系统计算举例

例1．二阶系统如图所示，已知。当时，求过渡过程特征量和的数值。╳R（s）C（s）ε（s）+-图3.3-11二阶系统的方块图解：直接利用二阶系统的阶跃响应特征值的计算公式

注：说明过渡过程只存在一次超调。振荡在一个周期内可结束。==

例2．设一个带速度反馈的随动系统，其方块图如图所示。要求系统的性能指标为。试确定系统的K值和KA值，并计算过渡过程的特征值及N的值。+-╳R（s）C（s）ε（s）图3.3-12控制系统的方块图解：思路

1.由的值求出阻尼比的值。

2.根据和的值求得无阻尼自振频率的值。

3.将系统的闭环传递函数化成标准形式，求得K值和KA值。4.利用公式求得过渡过程的特征值及N的值。

例3．如图所示是一个机械平移系统，当有3N的力（阶跃输入）作用于系统时，系统中的质点M作如图所示的运动，试根据这个过渡过程曲线，确定M、粘性摩擦力f和弹簧刚度K的数值。图3.3-13机械平移系统解：根据牛顿第二定律，求得系统的微分方程为：

在零初始条件下对上式进行拉氏变换得系统的传递函数为：

用终值定理求的稳态值（）

由图可知，所以

又由于：化成标准形式：

根据特征值的计算公式：由

由

从而求得

单位速度函数为，则有，其对应的输出信号的拉氏变换式为：

1）

欠阻尼（）时的过渡函数由

五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程→

其中

(2)临界阻尼（）时的过渡过程

→

(3)过阻尼（）时的过渡过程（）

★二阶系统反应单位速度函数的过渡过程也可以通过对反应阶跃函数的过渡过程求积分得到，积分常数可根据t=0时过渡过程c（t）的初始条件来确定。

单位速度函数作用下，二阶系统工作在欠阻尼状态时的偏差信号为：

单位速度函数作用下，二阶系统工作在过阻尼状态时的偏差信号为：

两者的稳态误差相同所以我们又得到减小稳态误差的方法：增大或减小，但减少会使超调量增大，因此需折中考虑，确定一个合理的设计方案。图3.3-16示出了不同放大倍数的系统在速度函数作用下的过渡过程曲线.图3.3-16二阶系统反应速度函数的过渡过程曲线例:已知单位反馈系统的传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA=13.5,这时系统的动态性能指标如何?解:系统的闭环传递函数为:则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:由此可见,KA越大,ξ越小,wn越大,tp越小,б%越大,而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数不存在。KA增大，tp减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例－微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。例.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号

和偏差信号微分的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。系统开环传递函数闭环传递函数:等效阻尼比：增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短,然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td,即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。例3.图:

是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解:系统的开环传递函数为式中kt为速度反馈系数.

为系统的开环增益。

(不引入速度反馈开环增益)k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。闭环传递函数

显然，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率ωn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。等效阻尼比：在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比ξt增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。六、二阶系统的脉冲过渡函数

当二阶系统的输入信号为理想单位脉冲函数时，其响应过程称为二阶系统的脉冲响应，记为。理想单位脉冲函数，则有

则：

根据对上式取拉氏反变换得：

1.欠阻尼（）时的脉冲过渡函数

2.无阻尼（）时的脉冲过渡函数

3.临界阻尼（）时的脉冲过渡函数

4.过阻尼（）时的脉冲过渡函数

由于单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数，所以脉冲过渡函数除了可以从C（s）取拉氏反变换外，也可以通过对单位阶跃函数作用下的过渡过程求关于时间的导数而得到。各阻尼情况下的脉冲过渡函数曲线

见图3.2-14。

图3.3-14二阶系统的脉冲过渡函数★如果系统脉冲过渡函数不改变符号，系统将处于临界阻尼状态或过阻尼状态。这时，相应的反应阶跃函数的过渡过程不具有超调现象，而是单调地趋于某一常值。在某些情况下，实际初始条件不一定为零，设二阶系统的运动方程式具有如下形式：

考虑初始条件，对上式进行拉氏变换得：

→

七、初始条件不为零时二阶系统的过渡过程令，将上式写成标准形式得：

其中

对上式取拉氏反变换得：前面已讨论过，只讨论，当

时得：

其中

当

时：

●

与的振荡特性相似。C2(t)补充具有零点的二阶系统的分析

具有零点的二阶系统的闭环传递函数为增加了零点

也可以写成如下形式和零、极点的关系为具有零点的二阶系统（当时）在单位阶跃信号作用下的输出响应为：

式中

（1）

（2）

分别求，的拉氏反变换得

式中，为典型二阶系统的单位阶跃响应，为附加零点引起的分量。

由式（1）、（2）可知

所以

其中，为典型二阶系统的单位脉冲响应。因此

例3-15原控制系统如图3-23(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的超调量δ

p%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a)和(b)的单位阶跃响应h(t)。图3-23例3-15图解

对于系统(b)，其闭环传