冀教新版九年级上学期《28.3圆心角和圆周角》同步练习卷

冀教新版九年级上学期《28.3圆心角和圆周角》

同步练习卷

解答题(共39小题)

1.如图，OA、OB、0C分别是的半径，且4c=BC,D、E分别是OA、OB的中点,

C

2.如图所示，在中，点C为弧AB的中点，点M,N分别是半径的中点，求

3.如图，在0。中，已知AC=BQ,试说明:

(1)OC=OD；

(2)AE=BF.

4.如图，AB是的直径，点。在上，C是BD的中点，CE_L4B于E,CE交BD于F.

(1)求证：CF=BF；

(2)当CD=6,AC=8时，求。。的半径及CE的长.

求证：AB=CD.

6.如图，己知AB是O。的直径，弦4C〃0D.

(1)求证：BD=CD.

（2）若AC的度数为58°,求/AOZ）的度数.

尸分别是半径0A、。8的中点，求证：CE=CF.

8.如图，点C是AB上的点，COLOA于。，CELOB于E,若CD=CE.求证：点C是AB

9.如图,AB是。。的直径，AC=BD,ZCOD=60°.求证:

（1）AD=BC；

(2)OC//BD.

10.如图，在00中，AB=CD，求证：NB=NC.

A

11.如图，AB为。。的直径，弦CDJ_AB于E,ZCDB=\5°,OE=2

(1)求。。的半径；

(2)将△08。绕。点旋转，使弦8。的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BO与弦

12.如图，AB是。。的直径，弦BC垂直且平分半径。Q,A8=6,

(1)求/ABC的度数；

13.如图，在△ABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，过A,C,。三点的圆交8A的延

长线于点E,连接EC.

(1)求证：ZE=90°；

(2)若A8=6,8C=10,求4E的长.

14.如图，在。。中，直径A8=10,弦BC=8,AD=BD，连接CD

（1）求NAC。的度数：

15.如图，点A在。。上，点C为。。外的一点，AC交。。于点8,且。4=BC,/C=

16.已知AB是半圆。的直径，弦AC于O,过点。作OE〃AC交半圆。于点E,过

点E作EF_LA8于F.若AC=2,求OF的长.

17.如图，AO是。。的直径，点。是圆心，C、F是AC上的两点，OC=OF,B、E是。。

上的两点，且AB=DE，求证：BC//EF.

5

AD

18.如图，AB是G)0的直径，。是弦4c的延长线上一点，且CO=AC,力8的延长线交

于点E.

(1)求证：CD=CE；

(2)连结4E,若/£>=25°,求/BAE的度数.

19.如图，AB是。0的直径，弦CCJ_AB于点E,在京上取点G,连结CG,DG,AC.求

证：ZDGC=2ZBAC.

20.如图，A8是。。的直径，C为。。上一点，连结AC,BC,过0作0£>J_BC于点

延长交。。于点E,连结AE.

(1)求证：OE〃AC.

(2)若AC=1,AB=4,求AE的长度.

21.如图，四边形ABC。内接于。0,NABC=135°,AC=4,求。。的半径长.

D

22.如图，四边形A8C£＞内接于。0,ZABC=60Q,80平分/AOC.

(1)试说明△力BC是等边三角形;

(2)若AO=2,DC=4,求四边形ABC。的面积.

23.如图，四边形4BCD内接于NBAC=60°,AO平分NB4C交OO于点。，连接

08、OC、BD、CD.

(1)求证：四边形OBQC是菱形;

(2)若NA8O=15°,求NADC的度数.

24.如图，在圆内接四边形ABCQ中，。为圆心，/8。。=160°,求NBCD的度数.

25.如图，A,P,B,C是00上的四个点，NAPC=NCPB=60°

(1)判断△48C的形状，并证明你的结论；

(2)若BC的长为6,求。。的半径.

26.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，对角线AC是。0的直径，A8=2,ZADB

=45°.求OO半径的长.

27.如图，四边形4BC£＞内接于。0,点E在对角线AC上，/1=/2,EC=BC.

(1)若NCBD=39°,求NCA。的度数；

(2)求证：BC=CD.

28.如图，在。。的内接四边形A8CQ中，DB=DC,ND4E是四边形ABCQ的一个外角.Z

D4E与ND4C相等吗？为什么？

29.如图，ND4E是。0的内接四边形ABCO的一个外角，且/D4E=ND4C.求证：DB

=DC.

30.如图，四边形4BCD内接于AD//BC,求证：AB=CD.

31.如图，在O。中，弦AO,BC相交于点E,连接0E,已知AD=BC,ADLCB.

(1)求证：AB=CD-,

(2)如果。。的直径为10,DE=\,求AE的长.

32.如图，已知圆。，弦A&CD相交于点M.

(1)求证：AM'MB=CM'MD；

(2)若M为CD中点，且圆O的半径为3,OM=2,求的值.

33.如图，。。的直径AB与弦CD交于点E,AE=5,BE=1,CD=4近,求EC的长.

34.如图，在OO中，过弦AB的中点E作弦CD,且CE=2,DE=4,求弦AB的长.

两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图

试着证明.

(2)利用(1)的结论，解决右图问题：AB为。。的弦，P是48上一点，AB=10,以=4,

0P=5,求。0的半径R.

36.已知：如图，。。的弦BE平分弦CZ)于点F,过点B的切线交。C的延长线于点A,

且AC=BF=4,FE=9.求CP和A8的长.

已知AP=4,BP=6,CP=3,求CQ的长.

38.如图，AB为。0的弦，M是AB上一点，若A8=20cm,MB=8cm,OM=10cm,求。0

的半径.

39.如图，的直径AB和弦CO相交于点E,AE=-\cm,EB=5cm,ZDEB=60°,OF

_LC。于F.

(1)求EF的长;

(2)求C£＞的长.

冀教新版九年级上学期《28.3圆心角和圆周角》2019年

同步练习卷

参考答案与试题解析

解答题（共39小题）

1.如图，04、OB、0C分别是。0的半径，且AC=BC,D、E分别是04、08的中点，

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到NA0C=/B0C,证明△DOC之△E0C,根据全

等三角形的性质证明结论.

【解答】证明：'JAC^BC,

ZAOC=NBOC,

：£）、E分别是。4、OB的中点，且。4=。8,

：.OD=OE,

在△OOC和△EOC中，

'OD=OE

<ZDOC=ZEOC-

,oc=oc

:.△D08XE0C（SAS）,

：.CD=CE.

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和三角形全等的判定和性质，理解在同圆或等

圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组

量都分别相等是解题的关键.

2.如图所示，在。0中，点C为弧AB的中点，点M,N分别是半径0A,。8的中点，求

证：MC=NC.

【分析】根据弧与圆心角的关系，可得NAOC=NBOC,又由例、N分别是半径OA、0B

的中点，可得OM=ON,利用S4S判定△MOC丝△NOC,继而证得结论.

【解答】证明：\•弧AC和弧BC相等，

/AOC=NBOC,

又.：OA=OB,例、N分别是。4、。8的中点

：.OM=ON,

在△MOC和△NOC中，

'OM=ON

<ZAOC=ZBOC)

,oc=oc

：./\MOC^/\NOC(SAS),

：.MC=NC.

【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解

决问题的关键.

3.如图，在。0中，已知4c=B£>,试说明:

(1)0C=。。；

(2)AE=BF.

【分析】(1)首先连接。4，0B,利用ASA可判定4c丝△08。，继而证得0C=0D；

(2)由可证得NA0C=N8。。，然后由圆心角与弦的关系，证得结论.

p-.„

【解答】证明：(1)连接。4,OB,E—一尸

'：OA=OB,

ZA—ZB,

在△OAC和△08。中，

f0A=0B

<NA=NB，

AC=BD

：./\0AC^^0BD(SAS),

OC=ODx

(2)♦.•△OAC丝△OB。，

4Aoe=/BOD,

:.AE=BF.

【点评】此题考查了圆心角与弦的关系以及全等三角形的判定与性质.注意作出辅助线，证

得△OAC丝△08。是关键.

4.如图，4B是。0的直径，点。在。。上，C是面的中点，C及LAB于E,CE交BD于F.

(1)求证：CF=BF；

(2)当CC=6,4c=8时，求。0的半径及CE的长.

【分析】(1)要证明CF=BF,可以证明NQBC=NECB；A8是。。的直径，则NACB=90°,

又知CE±AB,则NCEB=90°,贝Ij/£>8C=9O°-ZACE=ZA,ZECB=ZA,则N

DBC=NECB；

(2)在直角三角形ACB中，AB1=AC1+BC1,又知，BC=CD,所以可以求得4B的长，即

可求得圆的半径；再根据三角形面积可以求得CE的长.

【解答】证明：(1)•••A8是。。的直径，

AZACB=90°,

AZA=90°-ZABC.

'：CE±AB,

：.ZCEB=90°,

：.ZECB=90°・NABC,

：.ZECB=ZA.

又YC是笳的中点，

••CD=CB>

:・/DBC=NA,

：・NECB=NDBC,

：.CF=BF；

(2)VBC=CD,

:.BC=CD=6,

VZACB=90°,

•'•AB=VBC2+AC2=762+82=10,

，。0的半径为5,

,/SAABC=—Afi.C£=—BCMC,

22

.sBOAC6X824

AB105

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，相交弦定理，相似三角形的性质和判定，

圆周角定理，垂径定理等知识点的综合运用，此题综合性很强，难度适中，注意数形结

合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法.

5.如图，A。、8C是。。的两条弦，且AO=BC,求证：AB=CD.

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，AD=BC,则向二京，则定;而，则AB=CO.

【解答】证明：,••AO=8C,

.,•AD=BC.

/.AD+DB=BC+DB.

HPAB=CD,

：.AB=CD.

【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条

弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

6.如图，已知AB是。。的直径，弦4c〃0。

(1)求证：BD=CD.

(2)若踊的度数为58°,求NA。。的度数.

【分析】(1)欲证弧80=弧CD,只需证明它们所对的圆心角相等，即NB0D=NC0D

(2)利用圆周角、弧，弦的关系得N8OC=LNBO£>=61°,则NAOO=119°.

2

【解答】解：(1)连接OC.：0A=0C,

,N0AC=NAC0.

'CAC//0D,

：.Z0AC=ZB0D.

：.ZD0C=ZAC0.

：.NB0D=2C0D,

•••BD=CD.

(2)VBD=CD>

・・・BD=CD=yBC

AZBOC=—ZBOD=—(180°-58°)=61°.

22

NAOO=58°+61°=H9°

D

【点评】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系.要探讨两弧的关系，根据等

弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以

再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系.

7.如图，AC=CB，E、尸分别是半径。A、的中点，求证：CE=CF.

【分析】连接0C,构建全等三角形△(%>£和△<%>「；然后利用全等三角形的对应边相等证

得CE=CF.

【解答】证明：连接。C.

在。。中，：同二G，

ZAOC^ZBOC,

•：OA=OB,E、F分别是半径OA、的中点，

Z.OE=OF,

在△COE和△COF中，

roc=oc

<ZC0E=C0F>

OE=OF

：.^COE^/\COF(SAS),

：.CE=CF(全等三角形的对应边相等).

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质.判定两个三角

形全等的一般方法有：SSS、SAS.SSA、HL.

注意:AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若

有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

8.如图，点C是定上的点，CDL04于。，CELOB于E,若CD=CE.求证：点C是窟

的中点.

【分析】由条件可证得RtACOD^RtACOE,则可证得NCOD=/COE,利用圆心角与弧

的关系可证得结论.

【解答】证明：

'：CD±OA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=90°,

在RtACOD和RtACOE中

fCD=CE

loc=oc

：.Rt/^COD^R/\COE(HL),

：*2C0D=/C0E,

AC=BC»

•••点C是褊的中点.

【点评】本题主要考查全等三角形的判断及圆的有关性质，利用HL证明得RtACOD^Rt

△COE是解题的关键.

9.如图，A8是。。的直径，AC=BD,ZCOD=60°.求证：

(1)AD=BC；

(2)OC//BD.

D

【分析】（1）利用弦相等得到弧然后加上弧CD即可得到结论;

（2）先证明NCOA=NBOO=60°,再证明△B。。是等边三角形，从而得到NCO£>=N

。£>3=60°,然后根据平行线的判定可判断0C〃8D

【解答】证明：（1）•.•弦4。=弦8。,

...弧4。=弧8力,

于RAC+弧CD=®BD+^lCD,

AD=BC；

(2)•.•弧AC=M8D,

：.ZCOA^ZBOD,

'：ZCOD=60°,

：.ZCOA=ZBOD=60a,

,：OB=OD,

：./\BDO是等边三角形,

：.ZCOD=ZODB=60°,

OC//BD.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、

两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

10.如图，在0。中，AB=CD，求证：NB=NC.

【分析】由于AB=CD,所以AB=C。，故NAOB=NC。。，进而证明即可.

【解答】证明：•••在。。中，AB=CD,

:・AB=CD,

：.ZAOB=ZCOD,

•：OA=OB,OC=OD,

.•.在△AOB中，ZB=900-yZAOB>

在△C。。中，ZC=90°-yZCOD»

:.NB=NC.

【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据第=而，得出NA08=NC0D

11.如图，AB为00的直径，弦CD_LAB于E,ZCDB=\5Q,0E=2®

（1）求。。的半径；

（2）将△08。绕。点旋转，使弦8。的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦8。与弦

【分析】（1）求出N8。。的度数，在RtAODE中，根据/OOE=30°,0E=2y[z，求出

QE和。。即可；

（2）分为4种情况，分别求出/CAB和/0A8（或NOA。、NOCB）的度数，相加（或相

减）即可求出答案.

【解答】解：（1）「AB为的直径，弦COLAB于E,

：.ZBDC=—ZBOD,

2

而/C£）B=15°,

NBO£)=2X15°=30°,

在Rt/XODE中，/£)OE=30°,0E=2«,

A0E=y/3DE,0D=2DE,

3等=2,

・・・0。=4,

即。。的半径为4；

（2）有4种情况：如图:

图4

①如图1所示：：OA=OB,NAOB=30°,

；.NOAB=/Oa4=75°,

；CDLAB,A8是直径，

...弧

：.ZCAB^—ZB0D^\5°,

2

AZCAB=ZBA0+ZCAB=\5°+75°=90°；

②如图2所示，/CW=75°-15°=60°；

③如图3所示：NACB=90°；

④如图4所示：NACB=60°；

故答案为：60°或90°.

【点评】本题考查了圆周角定理及其推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角.也考查了垂

径定理以及角平分线的定义，本题是一道比较容易出错的题目，注意不能漏解啊.

12.如图，A3是00的直径，弦BC垂直且平分半径0£>,AB=6,

（1）求NA3C的度数；

（2）求BC的长.

【分析】(1)只要证明△08。是等边三角形即可解决问题;

(2)根据BC=AB・cos30°求解即可；

【解答】解：(1)如图连接2D

BO=BD,

'：0D=0B,

：.OD=OB=BD,

...△008是等边三角形，

AZABD=60°,

BE1.0D,

；.NABC=L/OBD=30。,

2

(2)是直径，

，NACB=90°,

•；AB=6,NABC=30°,

.♦.BC=A8・cos30°=3后

【点评】本题考查圆周角定理，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是证明△08。是等边三角形.

13.如图，在aABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，过A,C,。三点的圆交8A的延

长线于点E,连接EC.

(1)求证：ZE=90°；

(2)若A8=6,8C=10,求4E的长.

BD,C

【分析】(1)连接AO,根据等腰三角形“三线合一”的性质知NADC=N4DB=90°,从

而知点A,C,。在以AC为直径的圆上，再根据圆周角定理可得答案.

(2)证△BAOsaBCE得空■=股，将有关线段长度代入计算可得.

BCBE

【解答】解：(1)如图，连接AD,

,：AB=AC,。是8c中点，

：.AD±BC,即NADC=NAOB=90°,

.•.点A,C,。在以AC为直径的圆上，

Z£=90°；

(2)VBC=10,

BD=—BC^5,

2

•：4B=4B,ZADB^ZE=90Q,

:.ABADs/\BCE,

・BA_BD即6_5

••而―前‘、元―6+AE，

解得：AE=—.

3

【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，圆

周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质.

14.如图，在00中，直径AB=10,弦BC=8,标=而，连接CD

(1)求NACO的度数；

(2)求AC,AO的长.

B

D

【分析】(1)由A8是直径知NACB=90°,根据俞=俞得NACQ=/BCC=*NACB,

可得答案；

(2)RtZ\A8C中根据勾股定理可得AC=6,由标1=而知/D4B=/OBA=45°,根据A8

=10可得答案.

【解答】解：(1)为直径，

.•./ACB=/AOB=90°,

又,•俞=前

AZACD^ZBCD=—ZACB^45Q；

2

(2)♦.•在RtZXABC中，AB=10,BC=8,

，AC=6,

VAD=BD.

:・/DAB=/DBA,

•.•在山△ABO中，ZCAB=ZCBA=45°,48=10,

：.AD=5-^2-

【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及半圆(或直径)所对的圆周角是直角，

90°的圆周角所对的弦是直径.

15.如图，点A在0。上，点C为00外的一点，AC交00于点3,且0A=BC,NC=

20°,求/A的度数.

4

【分析】连接。8,利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可.

•：OA=OB=BC,

：.ZC=ZBOC=20°,

・・・NA8O=40°,

/.ZA=40°.

【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系.关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦

的关系解答.

16.已知A8是半圆0的直径，。。1_弦4。于£),过点。作。七〃AC交半圆。于点E,过

点七作E凡L48于尸.若AC=2,求。尸的长.

【分析】根据垂径定理求出A。，再证△A。。g△OFE,推出Ob=AO,即可求出答案.

【解答】解：V0D1AC,AC=2,

：.AD=CD=19

VODLAC,EFLAB,

：.ZADO=ZOFE=90°,

OE//AC,

：.ZDOE=ZADO=90°,

・・・NQAO+NZ)OA=90°,ZDOA+ZEOF=90°,

：.ZDAO=ZEOF,

在△AD。和△OFE中，

rZAD0=ZEF0

<ZDA0=ZF0E>

OA=OE

:.缸ADO盥4OFE(A45),

OF=AD=\,

【点评】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键

是求出△AOO四△OFE和求出AO的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.

17.如图，AO是。O的直径，点。是圆心，C、尸是40上的两点，OC=OF,B、E是0。

上的两点，且定=笳，求证：BC//EF.

【分析】由△BAC名△后£)/:1(S4S),推出NACB=N£)FE,推出NBCF=/EFC,可得BC

//EF.

【解答】证明：•.•第=褚，A。是直径，

：.AB=DE,而=鬣，

NA=/£),

VOC=OF,OA=OD,

：.AC=DF,

：./\BAC^/\EDF(SAS),

：.NACB=NDFE,

：.NBCF=ZEFC,

：.BC//EF.

【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关

键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型.

18.如图，AB是的直径，。是弦AC的延长线上一点，且CZ)=AC,0B的延长线交。0

于点£.

(1)求证：CD=CE；

(2)连结AE,若N£>=25°,求N8AE的度数.

【分析】（1）连接BC.首先证明8A=B。，推出NO=NBA£>=NCEQ即可解决问题;

（2）连接AE,根据/BAE=90°-/ABE,只要求出/ABE即可；

【解答】（1）证明：连接BC,

「AB是。。的直径，

ZABC=90°,即BC±AD,

'：CD=AC,

：.AB=BD,

：.ZA=ZD,

：.ZCEB=ZA,

:./CEB=/D,

：.CE=CD.

（2）解：连接AE.

BE=/A+/O=50°,

是OO的直径，

...NAEB=90°,

：.ZBAE=90°-50°=40°.

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

19.如图，AB是。。的直径，弦CCAB于点E,在AC上取点G,连结CG,DG,AC.求

证：NDGC=2NBAC.

【分析】连接A。，由A8是。。的直径，CDVAB,根据垂径定理的即可求得2/84C=2

NBAD=NDAC,由圆周角定理得NOGC=ND4C,从而得证.

【解答】证明：连结A。，

•.•弦CD_L直径AB,

：.2ZBAC=2ZBAD=ZDAC（垂径定理），

又•；NZ）GC=/D4C（圆周角定理），

：.ZBAC^ZDGC,

：.ZDGC=2ZBAC.

【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形

结合思想的应用.

20.如图，4B是。。的直径，C为。。上一点，连结AC,BC,过。作。。,8c于点。，

延长0。交。。于点E,连结4E.

（1）求证：OEMAC.

（2）若AC=1,AB=4,求AE的长度.

【分析】（1）由AB是。。的直径知ACLBC,结合ODLBC即可得证;

(2)连接8E,由勾股定理求得BC=S三，再利用垂径定理知B/)=Yp",结合AO=BO,

CD=BD知。。=工DE=OE-0D=昱,利用勾股定理先后求得BE=^,

222

AE—V10.

【解答】解：(1)•..AB是。0的直径，

ZACB=90°,

：.AC±BC,

,：OD1.BC,

C.AC//OD-,

(2)连结BE,

：AB是直径，

，/ACB=90°,ZA£B=90°,

.•・在RtAABC中，BC=y/fC2r42T2=元,

,CODLBC,OE是OO的半径，

：.CD=BD-^-(垂径定理)，

2

为△ABC的中位线，

OD=^AC=—,

22

13

ADE=OE-OD=2--=—,

22_________

'S£=VBD2+DE2=^(^1^)2+^-i^^

AE-q小型2=《q2近产屈.

【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，勾

股定理，三角形中位线定理及勾股定理等知识点.

21.如图，四边形A8CD内接于。0,NABC=135°,AC=4,求。。的半径长.

D

七

B

【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出/。=45°,由圆周角定理知/AOC=90°,根

据。4=0C可得答案.

【解答】解：；四边形A8CO内接于。。，NABC=135°,

.•,ZD=180°-ZABC=45°,

AZAOC=2ZD=90°,

：OA=OC,且4c=4,

/.OA=OC=J^-AC=2&,

即OO的半径长为2&.

【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要

依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不

是邻角互补.

22.如图，四边形4BCO内接于NABC=60°,8。平分NADC.

(1)试说明△43C是等边三角形；

(2)若AO=2,DC=4,求四边形ABC。的面积.

【分析】(1)根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；

(2)过点A作AELCD,垂足为点E,过点B作BFLAC,垂足为点F.根据SWWABCD

=SAABC+SMCD，分别求出△A8C,△48的面积即可；

【解答】(1)；四边形ABC。内接于OO.

ZABC+ZADC=\SO°,

；NA8C=60°,

AZADC=\20°,

,・"平分NAOC,

ZADB=ZCDB=60°,

・・・NACB=NAOB=60°,ZBAC=ZCDB=60Q,

/ABC=ZBCA=ZBAC,

・・・△ABC是等边三角形

（2）过点A作AEJ_CD,垂足为点E,过点8作B尸，AC,垂足为点尸.

ZAED=90°

VZADC=120°,

，/ADE=60°,

：.ZDAE=30°,

.,.£>E=/A£>=LA£=VAD2-DE2^22-12

VCD=4,

CE=CD+DE=1+4=5,

S^ACD=~CD-AE=-^-X4XA/3=2V3>

为△AEC中，ZAED=90°,

♦,•AC=\AE2+CE2=、3+52=2救,

「△ABC是等边三角形，

:.AB=BC=AC=25,

：.AF=FC=\[j,

BF=yA‘2-EC2=、28-7=21,

SAA3C=-^"X2斤亚=7仃

二四边形ABCD的面积=7代+2近=9\总

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面

积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常

考题型.

23.如图，四边形ABCO内接于。0,NBAC=60°,AQ平分NBAC交。。于点。，连接

OB、OC、BD、CD.

(1)求证：四边形OBOC是菱形；

(2)若乙4BO=15°,求NADC的度数.

D

【分析】连接0D,证明△BOD和△CO。都是等边三角形，得OB=BD=DC=OC,所以

四边形08DC是菱形.

【解答】(1)证明：连接。。，

4c=60°,

：.ZBOC=l20a,

'：AD平分NBAC交。。于点D,

：.ZBAD=ZCAD,

BD=DC>

：.ZBOD^ZCOD=60°,

,?OB=OD=OC,

：./XBOD和△CO。都是等边三角形,

：.OB=BD=DC=OC,

.•.四边形080c是菱形.

(2)解：连接0A.

'：AO=OB,

，/O8A=/Q4B=15°,

VZBAC=60°,

：.ZOAC=45°,

'：OA=OC,

NOAC=NOC4=45°,

NAOC=90°,

ZADC=—ZA<9C=45°.

【点评】此题考查圆周角定理、角平分线的定义、等边三角形的判定、菱形的判定，关键是

熟知有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形以及菱形的判定解答.

24.如图，在圆内接四边形ABCQ中，。为圆心，ZBOD=\60°,求/BCD的度数.

【分析】根据圆周角定理求出NA，根据圆内接四边形性质得出N2CD+/84Z)=180°,代

入求出即可.

【解答】解：•••/8。£>=160°,

AZBAD=—ZBOD=SO0,

2

：A、B、C、。四点共圆，

：.ZBCD+ZBAD^\S0Q,

AZBCD=100°.

【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据圆内接四边形的性质得出N

BCD+ZBAD=iSO°是解此题的关键.

25.如图，4,P,B,C是00上的四个点，/APC=NCPB=60°

(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；

(2)若BC的长为6,求。0的半径.

【分析】(1)根据圆周角定理得到/ABC=N4PC=60°,NCAB=NCPB=60°,根据等

边三角形的判定定理证明；

(2)延长B。交。。于E,连接CE,根据圆周角定理得到NE=/BAC=60°,根据正弦

的概念计算即可.

【解答】解：(1)ZVIBC是等边三角形，

理由如下：由圆周角定理得，N4BC=N4PC=60°,ZCAB=ZCPB=6Q°,

AABC是等边三角形；

(2)延长2。交00于E,连接CE,

由圆周角定理得，/E=/8AC=60°,

BC

.*.B£=-T—=473,

sin/E

的半径为2«.

【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题

的关键.

26.如图，四边形ABCC是。。的内接四边形，对角线AC是。。的直径，AB=2,ZADB

=45°.求OO半径的长.

B

【分析】根据圆周角定理得NA8C=90°,然后在RtaABC利用勾股定理计算即可.

【解答】解：•・•AC是。。的直径，

・・・NA8C=90°,

VZADB=45°,

/.ZACB=ZADB=45°,

•・・A8=2,

：.BC=AB=2f

=22

*',ACVAB+BC=2V2，

.♦.00半径的长为加.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周

角所对的弦是直径.

27.如图，四边形A8CQ内接于。。，点E在对角线AC上，Z1=Z2,EC=BC.

（1）若/C8O=39°,求/CAQ的度数；

（2）求证：BC=CD.

【分析】（1）直接利用圆周角定理得出答案；

（2）直接利用圆周角定理以及三角形外角的性质分析得出答案.

【解答】（1）解：'：ZCBD=39°,

的度数为：39°（同圆中，同弧所对圆周角相等）；

（2）证明：,：EC=BC,

，ZCBE=ZCEB,

：.Z\+ZCBD=Z2+ZBAC,

VZ1=Z2,

：.ZCBD^ZBAC,

'：NBAC=NBDC,

：.ZCBD=ZBDC,

：.BC=CD.

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质，正确应用圆周角定理是解题关

键.

28.如图，在。。的内接四边形A8CQ中，OB=CC,ND4E是四边形A8CQ的一个外角.Z

D4E与ND4C相等吗？为什么？

【分析】首先利用等腰三角形的性质得出8c=NOCB,进而利用圆内接四边形的性质得

出NEA£)=N£)CB,再利用圆周角定理求出ND4E与ND4c相等.

【解答】解：ND4E与ND4c相等，

理由：,:DB=DC,

NDBC=NDCB,

ND4E是四边形ABCD的一个外角，

：.ZEAD=ZDCB,

：.ZDBC^ZEAD,

又〈NDAC=NDBC,

：.ZDAE=ZDAC.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得

出NO2C=ZEAD是解题关键.

29.如图，ND4E是。0的内接四边形ABC。的一个外角，且ND4E=ND4C.求证：DB

=DC.

【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到ND4E=NOCB,由圆周角

定理得到NZMC=NQBC,等量代换得到/OCB=NOBC,根据等腰三角形的性质得到

答案.

【解答】证明：•../■DAE是的内接四边形ABCC的一个外角，

NDAE=NDCB,

'：ZDAE=ZDAC,

：.ZDCB=NDAC,

'：ZDAC^ZDBC,

：.ZDCB=ZDBC,

：.DB=DC.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内

对角是解题的关键.

30.如图，四边形4BCO内接于AD//BC,求证：AB=CD.

【分析】由平行线的性质和圆内接四边形的性质可求得/B=/C,可证得四边形ABC。为

等腰梯形，则可证得AB=CD

【解答】证明：-：AD//BC,

：.ZA+ZB=180°,

•.•四边形ABC。内接于。0,

NA+NC=180°,

:.NB=NC,

又,：AD//B3且AOW8C,

.••四边形ABC。是等腰梯形,

：.AB=CD.

【点评】本题主考查了圆内接四边形的对角互补的性质，得出是解题的关键.

31.如图，在。0中，弦4。，BC相交于点E,连接0E,已知AO=BC,ADLCB.

(1)求证：AB=CD；

(2)如果。。的直径为10,DE=\,求AE的长.

【分析】(1)欲证明AB=CZ),只需证得AB=CD;

(2)如图，过。作OF_LAO于点F,作OGLBC于点G,连接OA、OC.构建正方形EFOG,

利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求A尸的长度，则易求4E的长度.

【解答】(1)证明：如图，

•**AD=BC>

AAD-BD=BC-BD.即第=而，

：.AB=CD；

(2)如图，过。作OF_LA。于点F,作OG_LBC于点G,连接。4、OC.

则AF=F£>,BG=CG.

"：AD=BC,

：.AF=CG.

在RtAAOF与RtACOG中，［研二，G,

lOA=OC

ARtAAOF^RtACOG(HL),

：.OF=OG,

四边形OFEG是正方形，

，OF=EF.

设OF=EF=x,则AF=FD^x+\,

22

在直角△OAF中.由勾股定理得到：/+(x+i)=5,

解得x=5.

则AF=3+1=4,即AE=AF+3=7.

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关

系.注意（2）中辅助线的作法.

32.如图，已知圆0,弦AB、CD相交于点

（1）求证：

（2）若M为8中点，且圆0的半径为3,0M=2,求的值.

【分析】（1）连接A。、BC,利用同弧所对的圆周角相等，证明△AOMsaCBM；

（2）连接OM、0C,由于M是CZ）的中点，由垂径定理得利用勾股定理可求

出CM的值，根据（1）的结论，求出

【解答】解：（1）连接40、BC.

VZA=ZC,ND=NB,

：./XADM^/\CBM

.AMDM

即AM'MB=CM'MD.

（2）连接OM、OC.

为C£＞中点，

：.OM1CD

在RtZ\OMC中，：0C=3,0M=2

CD=C^=VOC2-OM2

=V32-22

=依

由（1）知

:.AM*MB=®匹

=5.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合

性较强的题目.(1)利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；(2)中利用垂径定理、勾

股定理和相交弦定理得到了AM与8M的积.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点

分成的两条线段长的积相等

33.如图，。。的直径A8与弦交于点E,AE=5,BE=l,CD=4近,求EC的长.

【分析】设EC=x,则EZ)=C。-CE=4&-x,根据相交弦定理x(4&-x)=5・1,然

后解一元二次方程即可.

【解答】解：设EC=x,则ED=C£>-CE=4我-x,

根据题意得AE・BE=CE*DE,

所以x(4&-x)=5・1,

整理得4亚+5=0,

解得x=2&±质，

即EC的长为2a+V^2V2-V3.

【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

34.如图，在。。中，过弦4B的中点E作弦CO,且CE=2,DE=4,求弦A8的长.

【分析】直接利用相交弦定理得出CEXOE=AEXBE,求出即可.

【解答】解：•.,过弦AB的中点E作弦CD,CE=2,DE=4,

:.CEXDE=AEXBE,

.,.2X4=AE2,

解得：AE=2近,

.•.弦A8的长为：AB=2AE=4-/2-

【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键.

35.(1)在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图

试着证明.

(2)利用(1)的结论，解决右图问题：A8为。。的弦，尸是上一点，AB=10,B4=4,

0P=5,求。。的半径凡

【分析】(1)连4C,BD,根据圆周角定理得到/C=NB,NA=/O,再根据三角形相似

的判定定理得到利用相似三角形的性质得AE：DE=CE：BE,变形有

AE・BE=CE・DE；由此得到相交弦定理；

(2)由AB=10,PA=4,0P=5,易得P8=10-4=6,PC^OC-OP=R-5,PD=OD+OP

=R+5,根