2024届山西省太原市山西大学附属中学数学高一下期末监测试题含解析

2024届山西省太原市山西大学附属中学数学高一下期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图像大致为（）A． B． C． D．2．已知，则等于（）A． B． C． D．33．已知为递增等比数列，则（）A． B．5 C．6 D．4．下列说法正确的是（）A．函数的最小值为 B．函数的最小值为C．函数的最小值为 D．函数的最小值为5．已知一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为()A． B． C． D．6．为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x图象上所有的点()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角（）A． B． C． D．8．若满足，且的最小值为，则实数的值为（）A． B． C． D．9．直线与圆相交于点，则（）A． B． C． D．10．中,，则（）A．5 B．6 C． D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=.13．设，其中，则的值为________.14．已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的体积为__.15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则an＝_____16．在数列中，，，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．有一款手机，每部购买费用是5000元，每年网络费和电话费共需1000元；每部手机第一年不需维修，第二年维修费用为100元，以后每一年的维修费用均比上一年增加100元.设该款手机每部使用年共需维修费用元，总费用元.（总费用购买费用网络费和电话费维修费用）（1）求函数、的表达式：（2）这款手机每部使用多少年时，它的年平均费用最少？18．已知点，，曲线任意一点满足.(1)求曲线的方程；(2)设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.19．等差数列的前项和为，求数列前项和.20．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率．21．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．(1)求满足的实数m，n；(2)若，求实数k；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

先判断函数为偶函数排除；再根据当时，，排除得到答案.【题目详解】，偶函数，排除；当时，，排除故选：【题目点拨】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.2、C【解题分析】

等式分子分母同时除以即可得解.【题目详解】由可得.故选：C.【题目点拨】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.3、D【解题分析】

设数列的公比为，根据等比数列的性质，得，又由，求得，进而可求解的值，得到答案.【题目详解】根据题意，等比数列中，设其公比为，因为，则有，又由，且，解得，所以，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、C【解题分析】

A．时无最小值；

B．令，由，可得，即，令，利用单调性研究其最值；

C．令，令，利用单调性研究其最值；

D．当时，，无最小值．【题目详解】解：A．时无最小值，故A错误；

B．令，由，可得，即，令，则其在上单调递减，故，故B错误；C．令，令，则其在上单调递减，上单调递增，故，故C正确；

D．当时，，无最小值，故D不正确．

故选：C．【题目点拨】本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5、C【解题分析】

根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与弧长公式即可求出扇形的弧长与半径，进而根据扇形的面积公式即可求解．【题目详解】设扇形的弧长为，半径为，扇形的圆心角的弧度数是.

则由题意可得：.

可得：，解得：，.可得：故选：C【题目点拨】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，属于基础题．6、A【解题分析】

由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【题目详解】∵，故要得到的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可，故选:A．【题目点拨】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7、C【解题分析】

利用余弦定理求三角形的一个内角的余弦值，可得的值，得到答案．【题目详解】在中，因为，即，利用余弦定理可得，又由,所以，故选C．【题目点拨】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、B【解题分析】

首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出的值．【题目详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得：，由得：，显然直线过时，z最小，∴，解得：，故选B．【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型．9、D【解题分析】

利用直线与圆相交的性质可知，要求，只要求解圆心到直线的距离.【题目详解】由题意圆，可得圆心，半径，圆心到直线的距离.则由圆的性质可得，所以.故选：D【题目点拨】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.10、D【解题分析】

根据余弦定理，可求边长.【题目详解】，代入数据，化解为解得或（舍）故选D.【题目点拨】本题考查了已知两边及其一边所对角，求另一边，这种题型用余弦定理，属于基础题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】

由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.【题目详解】解：因为数列的前项和为，，且（），，.即，.是首项为，公比为的等比数列，故答案为：【题目点拨】本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.12、13【解题分析】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.13、【解题分析】

由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值．【题目详解】，所以，因为，故．【题目点拨】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用．14、6【解题分析】

如图所示,取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O为外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半径R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法:(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．15、【解题分析】

利用等比数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式．【题目详解】由题意，,不合题意舍去；当等比数列的前n项和为，即，解得，所以，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16、16【解题分析】

依次代入即可求得结果.【题目详解】令，则；令，则；令，则；令，则本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据数列的递推公式求解数列中的项，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）这款手机使用年时它的年平均费用最少【解题分析】

（1）第年的维修费用为，根据等差数列求和公式可求得；将加上购买费用和年的网络费和电话费总额即可得到；（2）平均费用，利用基本不等式可求得最小值，根据取等条件可求得的取值.【题目详解】（1）则（2）设每部手机使用年的平均费用为则当，即时，这款手机使用年时它的年平均费用最少【题目点拨】本题考查构造合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；解决本题中最值问题的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.18、(1)；(2)【解题分析】

(1)设,再根据化简求解方程即可.(2)设过定点的直线方程为,根据轴平分可得.再联立直线与圆的方程,化简利用韦达定理求解中参数的关系,进而求得定点即可.【题目详解】(1)设,因为,故,即,整理可得.(2)当直线与轴垂直,且在圆内时,易得关于轴对称,故必有轴平分.当直线斜率存在时,设过定点的直线方程为.设.联立,.因为无论直线如何运动,轴都平分,故,即,所以,.所以代入韦达定理有,化简得.故,恒过定点.即.【题目点拨】本题主要考查了轨迹方程的求解方法以及联立直线与圆的方程,利用韦达定理代入题中所给的关系式,化简求直线中参数的关系求得定点的问题.属于难题.19、【解题分析】

由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项，由此能求出，且，当时，，当时，。【题目详解】解得，设从第项开始大于零，则，即当时，当时，综上有【题目点拨】本题考查数列的前项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。20、(1)3,2,1(2)【解题分析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所