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文档简介
1.4充分条件与必要条件新授课第2课时1.理解充要条件的意义,并能判断证明充要条件思考:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题?(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0;
(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集.知识点:充要条件命题(1)、(4)与它们的逆命题都是真命题
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”为真命题,即既有p
⇒q,又有q
⇒p,就记作:p
⇔q.概念生成此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.即:如果p
⇔q,那么p与q互为充要条件.
所以上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件.则命题(2)(3)中p与q是什么条件?一般地,(1)若p⇒q,但q⇏
p,则称p是q的充分不必要条件;(2)若p⇏q,但q⇒
p,则称p是q的必要不充分条件;(3)若p⇏q,且q⇏
p,则称p是q的既不充分也不必要条件.例1
下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分;(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例;(2)因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理,“若q,则p”是相似三角形的判定定理,所以它们均是真命题,即p⇔q,所以p是q的充要条件.解:(1)因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形,所以q⇏p,所以p不是q的充要条件.(4)因为“若p,则q”与“若q,则p”均为真命题,即p⇔q,所以p是q的充要条件.
(3)因为xy>0时,x>0,y>0不一定成立,所以p⇏q,所以p不是q的充要条件.例1
下列各题中,哪些p是q的充要条件?(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0)判断充要条件的方法:(1)分清命题的条件和结论(2)找推式,判断p⇒q和q⇒p的真假(3)根据条件和推式得出结论总结归纳思考:通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗?四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行.指出下列各组中p是q的什么条件①p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;练一练②p:四边形对角线互相平分,q:四边形是矩形;因为p和q代表的都是等腰三角形,所以p=q,即p⇔q,p是q的充要条件.矩形的对角线相等,p⇒q;对角线相等的四边形不一定是矩形,也可能是等腰梯形等,q⇏p,所以p是q的充分不必要条件.例2
已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.解:设p:d=r,q:直线l与⊙O相切.(1)充分性(p⇒q):如图,作OP⊥l于点P,则OP=d,若d=r,则点P在⊙O
上,在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ.在Rt△OPQ中,OQ>OP=r.所以,除点P外直线l上的点都在⊙O
的外部,即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O
相切.PQlO例2
已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.(2)必要性(q⇒p):若直线l与⊙O相切,不妨设切点为P,则OP⊥l,因此,d=OP=r.由(1)(2)可得,d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.PQlO求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.练一练证明:(1)充分性,即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0”.∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(2)必要性,即“若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左边,得
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