行列式性质与计算二章

三.行列式的计773A1设A2例2解三.行列式的计773A1设A2例2解010071007A39124301004120432例2.计算D.0335939124301004120432例2.计算D.033595232D12解23xyyx .例3.计各行元之和相观察ny解2列到n列都加到1xxyyx .例3.计各行元之和相观察ny解2列到n列都加到1xn1yxn1xn111yxyxy n110y0xx00例证明范德蒙行列式1111 1ji (xx例证明范德蒙行列式1111 1ji (xxn123nij123n11x,命题为真n=证明21xx12设对n-阶结论成立对于n阶行列式10001x2x2x2x11x3x3x3x11xnxnxnx1Vn10001x2x2x2x11x3x3x3x11xnxnxnx1Vnn2n3nnxxxxxxxx2131n1x2x2x2x1x3x3x3x1xnxnxnx11n2n3nnxxxxxxxxx2131n111xxx2131n1xnxnxn23nVnx2x1x3x1xnx1 xj xixj2ji1jidddddddddd各行分别有公因a,b,c,例计算D1111dd1111dDabcddcdbdacbcaba可变形为范德蒙行列11计算 例11计算 例.n解1000111100010001Dn加边1100010001从第2列到n列加到1100010001从第2列到n列加到第1n1ai100010001i000n1aii1111.计算n其它观其它方逐列相加各行元之和相各行类每行减去第1行得“爪型拆最后一行猜测+归若某行为a1an则较好xx1例7.计xx1例7.计nn123nn23434512n12nn2Fnxaxx0xxaxx0xx1nx0axxa0x00axaaxaxxax1Dnx xaax1Dnx xaaxan由行列式的对称性拆开第一列类似可 xaaxa2n两式联立(a不等于零时得xanxanDn2容易验证当a=0或者n=1时上式依然成立nn123nn234nn123nn23434512n12nn2111Fnnn11111111131111n1111倒数第1行减去倒数第2倒数第2行减去倒数第31nn11111121111311112n111111211113111121111n1111第2行3行行元之和均为11将第2列3列n列加到第1nn111110311n1111nn1按第1列展20011n1111100001111111111111110000111111111111111000011111各行元之和均为-将第2列3列n列加到第1nn2000000000nn1200000000000000000n00000000000000000nn1斜上三角行列2nn22n11FnnF1四.方阵乘积的行列AB都是n阶方阵则定理1A若A不可逆2A证明A可经系列初等行变换四.方阵乘积的行列AB都是n阶方阵则定理1A若A不可逆2A证明A可经系列初等行变换化成最后一行全0的阶梯形于是存在初等矩E1,E2,...,使AE1E2EtAR□0A不可AB不可逆定理.AB都是n阶方阵则1A可2A存在初等矩若A可逆AE1E2□初等定理.AB都是n阶方阵则1A可2A存在初等矩若A可逆AE1E2□初等矩阵的行列式不□E1E2Es□A推论.A1A2推论设AB为n阶矩阵ABI(BAIA推论.A1A2推论设AB为n阶矩阵ABI(BAIA可逆且B证明ABIAIAA可ABI两端同时左乘A1B1A1A可逆应用AAATIA1证明IA例IAAATIA1证明IA例IAAAT证明AATIAIIA设1P1BPIB例2设1P1BPIB例2nP1BPBPP解IPPI填空题的做法例已A12A1n求第一行元的代例已A12A1n求第一行元的代数余子式之和直接计算所有代数余子式再求和不可行分析将行列式按第一行展开Dn1A112得到1A11(3)我们需计原行列式Dn1A112A121A111A121A1n原行列式Dn1A112A121A111A121A1n构造一个新行列式将第一行换成1111122003030n01112001030100n01n1但第一行上元的代数余子式相同Dn与Fn第一行不其和也相同恰为Fn按第一行展开后的1nn!1A12A1nj已知,1,2是列向量,并且行列例A,1,,1,B行列式A.,已知,1,2是列向量,并且行列例A,1,,1,B行列式A.,1,2,1,2A解,21,24,1,4,1,,1,填空题的做法ABA,B112112行列式的计算小1、定义法(按某一行展行列式的计算小1、定义法(按某一行展开）：2阶或32、化为上三角形(初等行变换3、逐行相4、拆边5、加边法(升阶法6、猜测＋归又叫降阶7、基本原则：充分的观察化复杂为简2.3拉普拉斯展开定理设A是一个矩阵或行列式 任取Ak2.3拉普拉斯展开定理设A是一个矩阵或行列式 任取Ak行、k列,位于这k行、k列交点上的k2的一个k阶子式.对位置组成的n-k阶行列式M,称为S的余子式.设S的各行位于A中i1,…,ik行S的各列位于1i1ikj1jk01100101120102S110010211121AM1021201111132 A11101201100101120102S110010211121AM1021201111132 A11101212121001 221134235 A222S如5阶行列式中取子125S如5阶行列式中取子125S的代数余子式aaaLaplace定理在行列式D中任取k1kn-1行D=该k行上的全部k阶子式与对应代数余子式的乘积之2评注:n阶行列式Dn中1,2行上共有Cn个2阶子式DnCn2个2阶子式对应代数余子式,再求D=该k行上的全部k阶子式与对应代数余子式的乘积之OArrC行展开D=该k行上的全部k阶子式与对应代数余子式的乘积之OArrC行展开r行虽然r阶子惟一的非零子式是因此行列式值AA对应的代数余子式112r12r对应的代数余子式BABAA1tAtO1rsArrCr行展开行列式按前r行虽然r阶子惟O1rsArrCr行展开行列式按前r行虽然r阶子惟一的非零子式是因此行列式值AA对应的代数余子式A对应的代数余子112rs1s2srB1212rBO1rsA1B210000012110021121通常选0元较多的(列)做Laplace展开,(余)子式尽可能好例2.210000012110021121通常选0元较多的(列)做Laplace展开,(余)子式尽可能好例2.计算D121按1,2行展开,不为零的2阶子式解211121S ,1212121110001121(1)120，A121D例 设A,B可逆.证明DC,并求其逆可 X21rs1令DA所以可逆解X43AX2例 设A,B可逆.证明DC,并求其逆可 X21rs1令DA所以可逆解X43AX2OXX4CXAXCX2O1I12313 AX4OBX1OBX2I