第42讲 空间角（原卷版）

第42讲空间角一、基础知识1.空间角的定义:(1)异面角所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围:.

(2)线面角①直线与平面所成的角:如图7421,AB是平面α的垂线段,AC是平面α的斜线段,直线BC称为直线AC在平面α内的射影,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.图7421②线面角的取值范围:.

(3)二面角和二面角的平面角①从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为,这条直线称为二面角的,这两个半平面称为.

②二面角的平面角:在二面角αABβ的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角,如图7422,O∈l,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥l,OB⊥l,二面角αlβ的平面角是.

图7422③二面角的平面角的取值范围:.

2.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角θ的求法设a,b分别为l1,l2的方向向量,则cosθ=|cosa,b|=|a·b||a|·|b(2)直线和平面所成角的求法如图7423所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=|e·n||e|·|n图7423(3)二面角的求法如图7424所示,n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足.

图7424二、分类探究探究点一异面直线所成的角例1如图7426,已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为22.(1)求该圆锥的体积;(2)已知AB为圆锥底面圆的直径,C为底面圆周上一点,且∠BOC=90°,M为AC的中点,求异面直线OM与PB所成角的大小.图7426[总结反思](1)用几何法求异面直线所成的角时,可将异面直线通过平移转化为共面直线;(2)用向量法求异面直线所成角的步骤:①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;②确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.变式题如图7427,四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD=BD=2,点E,F为平面ABCD外两点,EF∥AC且EF=2AE=23,∠EAD=∠EAB.(1)证明:BD⊥CF;(2)若∠EAC=60°,求异面直线AE与DF所成角的余弦值.图7427探究点二直线与平面所成的角例2如图7428,在四棱锥EABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠DAE=∠BAE=45°,∠DAB=60°.(1)证明:平面ADE⊥平面ABE;(2)若平面DCE与平面ABE所成角的余弦值为155,求直线DE与平面ABE所成角的正弦值图7428[总结反思](1)解决直线与平面所成角的问题,关键是找到此直线在平面上的射影,常用的方法是寻找一个经过此直线并与已知平面垂直的平面,从而利用面面垂直的性质定理确定直线上一点在平面上的射影.如果从已知直线出发较难找到直线在平面上的射影时,可以尝试通过平移直线(或平面)将它转化到其他位置来解决.当然我们也可以利用等体积法直接求出直线上一点到平面的距离,从而使问题得到解决.(2)事实上,对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量来解决,如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决.变式题如图7429,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,∠ABC=90°,且侧面ABB1A1为菱形.(1)证明:A1B⊥平面AB1C1;(2)若∠A1AB=60°,AB=2,直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为55,求三棱锥CABA1的体积.图7429探究点三二面角例3如图74210,半圆弧AB所在平面与平面ABCD垂直,M是AB上异于A,B的动点,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC.(1)证明:MB⊥平面MAD;(2)当直线MB与平面ABCD所成的角为45°时,求二面角DMAC的正弦值.图74210[总结反思](1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理).(2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.变式题如图74211,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,且CD=2,AB=1,BC=22,PA=1,AB⊥BC,N为PD的中点.(1)求证:AN∥平面PBC.(2)求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值.(3)在棱PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626?若存在,求出DMDP图74211三、同步作业1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2A1B1=2B1C1,且AB⊥BC,点M是A1C1的中点,则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为 ()A.13 B.223 C.32图K4212.如图K421,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角为 ()A.π6 B.πC.π4 D.3.如图K422,将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形PBCD,将△PBD沿对角线BD折起到△ABD的位置,使得平面ABD⊥平面BCD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ()图K422A.223 B.63 C.334.在生活中,我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为2m的圆面,在圆周上选定一个点固定在水平的地面上,然后将圆面撑起,使得圆面与南北方向的某一条直线平行,做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成30°角,若要使所遮阴影面的面积最大,那么圆面与阴影面所成角的大小为 ()A.30° B.45° C.60° D.75°5.如图K423,在菱形APCD中,∠APC=60°,将△APC沿AC折起到△ABC的位置,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角BCDA的余弦值为 ()A.2 B.12 C.33 D图K423图K4246.如图K424,第41届世界博览会于2010年5月1日至2010年10月31日在中国上海举行,气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖,层叠出挑,制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑,总高度为60.3米,上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台,上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米,则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为()A.20° B.28° C.38° D.48°7.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,点P是线段B1C上的一个动点,则:(1)AP+D1P的最小值为;

(2)直线AP与平面AA1D1D所成角的正切值的取值范围为.

8.在三棱锥PABC中,已知△ABC是边长为6的等边三角形,PA⊥平面ABC,PA=12,则AB与平面PBC所成角的余弦值为 ()A.25719 B.C.13319 D.9.如图K425,将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成的角为60°;④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是 ()图K425A.① B.② C.③ D.④10.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折,使得二面角ABDC的平面角的大小为π3,若点E,F分别是线段AC和BD上的动点,则BE·CF的取值范围为 (A.[1,0] B.[1,14C.[12,0] D.[12,11.(多选题)如图K426,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,面对角线B1D1上有两个动点E,F,且EF=22a,以下结论正确的有 (图K426A.AC⊥BEB.点A到平面BEF的距离为定值C.三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的1D.异面直线AE,BF所成的角为定值12.(多选题)如图K427,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=AC=23AB=2,AB⊥AC,点D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且ECB1C=DCBC.A.ED∥平面ACC1A1B.该三棱柱的外接球的表面积为68πC.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为3D.二面角AECD的余弦值为4图K427图K42813.如图K428,在三棱锥PABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,E为PC的中点.若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为427,则PA的长为14.已知菱形ABCD的边长为23,∠BAD=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使得二面角ABDC为钝角,且所得四面体ABCD的外接球的表面积为36π,则二面角ABDC的余弦值为.

15.如图K429,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G为BE的中点.(1)求证:AG⊥平面ADF;(2)若AB=3,BC=1,求二面角DCAG的余弦值.图K42916.如图K4210,在四棱锥EABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2BC=2CD,△EAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,且平面EAB⊥平面ABCD,点F满足EF=λEA(λ∈[0,1]).(1)试探究λ为何值时,CE∥平面