2023高考真题全国1卷-3卷数学理答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试•(全国卷I)•理

1-i[1-i)2

1.解析：选C":因为z=EF〕〔K2i=.i*》=i,所以|Z

=1,应选C.

1-il-i+2i[1+i]-1+i-1+i|-l+i|\[2

法二:因为z=T—+2i=-----------=-；—所以|才=——=——-=

l+il+il+i1+1|l+i|、/2

=1,应选C.

2.解析：选B.法一:A=[^x-2)(x+l)>0}={Mx<-1或A>2},所以。储=仍-

14X42},应选B.

法二:因为力={小2-2>0},所以[“1=例解-X-2<0}=3-1*42},应选B.

3.解析：选A.法一：设建设前经济收入为a,那么建设后经济收入为2a,那么由饼图

可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a建设后种植收入为0.74a,

其他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以新农村

建设后，种植收入减少是错误的.应选A.

法二：因为0.6<0.37x2,所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是

错误的.应选A.

3x2

4.解析：选B.设等差数列面｝的公差为4因为3S=S+S,所以3(3力+;-0=

4x33

2ai+<y+4ai+-—£/,解得d=--ai,因为力=2,所以d=-3,所以为=仇+44=2+

4x(-3)=-10.应选B.

5.解析：选D.法一：因为函数仆)=2+(a-1)/+ax为奇数，所以M=-。)，

所以(-炉+⑵-]_)(-切2+式一切=_[〃+⑵-+邮，所以2(a-1)^=0,因为

XGR,所以a=1,所以M+x,所以，(M=3彦+1,所以/(0)=1,所以曲线y=

在点(0,0)处的切线方程为y=x应选D.

法二：因为函数4切=2+(”1)区+^^为奇函数，所以4-1)+41)=0,所以-1+^

-l-a+(l+a-l+a)=0,解得8=1,所以/W=M+x,所以，(切=3炉+1,所以/(0)

=1,所以曲线y=KM在点(0,0)处的切线方程为y=x.应选D.

解析：选A.;S-：如下歹U图,EB=ED+DB=~AD+~CB=5x5(油+AC)+-^AB-AQ

二|油-/，应选A.

3T1

法二:'EB=AB-AE=AB--^AD=AB--x-(^5+AC)=~^B--AC,诞A.

7.解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2,底面

周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②耐，连接例/V,那么MS=2,S/V=4,那么

从用到/V的路径中，最短路径的长度为田例夕+SM=^22+42=23.应选B.

8.解析：选D.法一：过点(-2,0)且斜率为§的直线的方程为/=-(%+2),由

片|0+2],

x=l,x=4,

得A2・5x+4=0解彳导x=1或x=4所以＜不妨设Ml,

j=2

l〉=4x,

2),M4,4),易知^1,0),所以9=(0,2),FN=(3,4),所以加成/=8.应选D.

法二：过点(-2,0)且斜率为］的直线的方程为y=-(x+2),由

-5x+4=0,设MM,幺)，M及，度)，那么外＞0,度＞0,根据根与系数的关系，得M+

加=5,所加=4易知网1,0),所以加=(M-1,乂)，加=(及-1,㈤，所以防尿/=(xi

-1)(X2-1)+yiyi=X\X2-(AV+至)+1+4yAi及=4-5+1+8=8.应选D.

9.解析：选C.函数=AM+x+a存在2个零点，即关于x的方程Q)=-*-a有

2个不同的实根，即函数/W的图象与直线片-x-a有2个交点，作出直线片-x-a与

函数4M的图象，如下列图，由图可知，-＜341,解得抡-1,应选C.

-2-10

10.解析：选A.法一:设直角三角形48C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

11(61⑶2

那么区域I的面积即“8C的面积，为S^-bc,区域口的面积S=¥x-+尸x--

2)1,=/(d+〃-#)+；&=Jbc,所以51=$,由几何概型的知识知6=

应选A.

法二：不妨设△/女：为等腰直角三角形，AB^AC=2,那么BC=2y[2,所以区域I的

1Fnx2

面积即M8c的面积，为51=3x2x2=2,区域II的面积$=TTX12-————-2=2,

TTX〔也〕2

区域m的面积S=--------------2=n-2.根据几何概型的概率计算公式，得.=.=

2n-2

",必，所以■声必，吁Pi,pi*P2+Pi.应选A.

A2-\/3

11.解析：选B.因为双曲线石-/=1的渐近线方程为片土?x,所以N例02=60°.

不妨设过点尸的直线与直线y=3-x交于点例，由△。例/V为直角三角形，不妨设N。⑨/V=

90°,那么N例尸0=60。，又直线例/V过点82,0),所以直线例/V的方程为y=-函*

2),

(-I-(3

由j亚得j厂所以"5,弓一，所以|。仞=

[y~3X'y=2,

।2+[坐]=3,所以।例M=3，应选民

12.解析：选A.记该正方体为ABCD-ABCD,正方体的每条棱所在直线与平面而成

的角都相等，即共点的三条棱/'/,AB,AZ7与平面a所成的角都相等.如图，连接26,

AD.BD,因为三棱锥4-/3〃是正三棱锥，所以/'/,48,4〃与平面/3。所成的角

都相等.分别取CD.BC.BB.AB,AD,。〃的中点E,F,G,H,I,J,连接EF,FG,

GH,IH,IJ.JE,易得E,F,G,/〃六点共面，平面EFGHD与平面48〃平行，且

截正方体所得截面的面积最大.又EF=FG=GH=IH=IJ=JE=+,所以该正六边形的面积

AHB

13.解析：作出可行域为如下列图的“歌所表示的阴影区域，作出直线3x+2y=0,

并平移该直线，当直线过点42,0)时，目标函数z=3x+2y取得最大值，且为ax=3x2+

2x0=6.

答案：6

14.解析：法一：因为Sn=2an+1,所以当/?=1时，仇=2仇+1,解得力=-1;

当〃=2时，仇+力=2出+1,解得力=-2;

当77=3时，<31+<32+<?3=2^3+1,解得为=-4；

当〃=4时，力+力+为+砌=2加+1,解得34=-8;

当77=5时，3I+32+33+3A+3S=2<35+1,解得3s—~16；

当〃=6时，为+力+为++比+%=2a+1,解得56=-32;

所以5^=-1-2-4-8-16-32=-63.

法二：因为Sn=2an+1,所以当〃=1时，仇=2为+1,解得力=-1,当"22时，打

=Sn-Sn.i=2an+l-(2an-i+l),所以an=2an-i,所以数列｛»｝是以-1为首项，2为公

-lx〔1-26〕

比的等比数列，所以a=-2^-1,所以&=-----------=-63.

n1-Z

答案：-63

15.解析：法一:可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有QQ

=12(种);第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C3Q=4(种).根据分类加法计数

原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种.

法二：从6人中任选3人，不同的选法有戛=20(种)，从6人中任选3人都是男生，不

同的选法有Q=4(种),所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4=16(种).

答案：16

16.解析：法—:因为4M=2sinx+sin2x,

(1]

所以f(K=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4cosx-~(cosx+1),

1nn

由，(A)N0得54cosx<l,即2XJT-"<X<2XJT+~,攵wZ,

1nn

由/(A)<0得-Iwcosx<",即2XH+TT之稔2An+]或2Xm-n<x<2An-",XreZ,

所以当x=2尿-；(4£Z)时，4M取得最小值，

/'/'也

nnTT、3

且XMmin二厂2而・a=2sin2XJT--+sin22kn.-

\'J33>2,

_XX

法二：因为=2sinx+sin2x=2sinMl+cosA)=4sin-cos-

xXXxx

2cos2-=8sin-cos3~=3sin2-cos^,

64xx64

所以[大初2=三-乂35仙2-cos6-<—

(xXXx\

3sin2-+cos2-+cos2-+cos2-427

2222

4，

4

xxX1

当且仅当3sin2-=cos2-,即sin2-时取等号,

273\[33\f3

所以04伏M]24了，所以-

所以/w的最小值为-乎.

较案•-维

口•2

BDAB

17.解：（1）在“6。中,由正弦定理得心=就痛

52

由题设知，痴行=心法，所以sin"皿巫

5•

由题设知，//。8<90。，所以COSN/O8二

（2）由题设及⑴知，3-弁

在中，由余弦定理得

BC=BU+DC-ZBDDGcos乙BDC

=25+8-2X5X2-\/2X^-

=25.

所以BC=5.

18.解：（1）证明：由可得，BF'PF,BFLEF,所以84平面PEF.

又8尺平面ABFD,所以平面平面ABFD.

⑵作PHLEF,垂足为〃由Q)得，。/平面ABFD.

以〃为坐标原点，丽)方向为_/轴正方向，|的为单位长,建立如下列图的空间直角坐

标系H-xyz.

由(1)可得，DEIPE又DP=2,。£=1,所以PE=立又PF=1,EF=2,故PELPF.

布3

可得PH瞋,EH=~

那么4。。。)/。,。,普

0

,D-1,-5P=1,|'9，成=

\7乙)I/N」

凿为平面的法向量.

0,0,

3

口P0P4亚

设。。与平面尸。所成角为9,那么sin0=

|而防一3一4.

4

所以。户与平面48尸。所成角的正弦值为

4

19.解:(1)由得尺1,解，/的方程为x=1.

由可得，点力的坐标为

所以/例的方程为片-乎x+/或y=^x-y[2.

⑵当/与x轴重合时,乙。MA=^OMB=0°.

当/与x轴垂直时，OM为Z8的垂直平分线，所以NOMA=ZOM8.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=Rx-1)(60),4/1,力)，次及，口，

乂女

那么X1<CX2<3，直线MA,例8的斜率之和为kMA+kMB=--------4---------

XL-2X2-2

yi=/cxi-k,y2=kx2-攵得

2kxiX2-3k[xi+A5J+4〃

kMA+kMB~fr、rr、•

Oi・2〕[x2-2]

*

将尸做-1)代入5+y=1得

(2F+1)A2-4NX+2N-2=0.

4N2F-2

所以，xi+歪=石记笃，刖乂=病3?

4Q-4k-12X3+8A3+4Xr

那么2kx\X2-3NM+xi)+4〃==0.

2N+1

从而kMA+公e=0,故/VM,MB的倾斜角互补.所以NOMA=zOMB.

综上，40MA=4OMB.

20.解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为心)-2产.因此，(⑼=

0。［20(1-2产-1822(1-⑼叼=2cM(1-⑼RI-10p).令3=0Qp=0.1.当pe(0,

0.1)时3>0;当pe(0.1,。时,，(/?)<0.

所以X⑼的最大值点为十=0.1.

⑵由⑴知，P=0.1.

(i)令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y-5(180,0.1),

%=20x2+25/,即X=40+25匕

所以EX=&40+25力=40+25。=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，那么这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于£¥>400,故应该对余下的产品作检验.

1aA2-ax+1

21.解：(1MM的定义域为(0,+«>),/(A)=----------.

XXX

(i)假设a<2,那么/(A)<0,当且仅当a=2,x=1时=0,所以在(0,+8)单

调递减.

a+\]>-4

(ii)假设a>2，令八切=0得，x=

2

/

当X60,U,+OO•时,/W<0;

/

当xe时，/(M>0.所以办)在0,

27

a+yi,+8)单调递减，在'a_J于-4a+Ja2-4、

单调递增.

22J

(2)由(1)知，存在两个极值点时，当且仅当a>2.

由于的两个极值点M,歪满足解-ax+1=0,所以X1X2=1,不妨设xi<x2,那么

fM-ftX2)1InAI-InA5InAi-In及

加>1.由于----1+a----------=-2+a----------=-2+

Xl-X2X1X2X\-X2Xi-X2

-2lnX2

1

一_X2

X2

fM-f[x2)1

所以--<-a---2--等--价--于----及+2lnX2<0.

M-X2X2

1

设函数P(M=；-x+2lnx，由(1)知0(M在(0,+8)单调递减又［1)=0从而当XG(1,

+°°)时，p(A)<0.

1"㈤幻

所以--^+2lnX2<0,即---------------<a-2.

X2Ai-A5

2

22.解：Q油x=pcos0,y=psin白导C2的直角坐标方程为(x+1)+/=4.

(2)由⑴知G是圆心为4-1,0),半径为2的圆.

由题设知，G是过点期,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为k,y

轴左边的射线为A由于8在圆C的外面，故G与G有且仅有三个公共点等价于4与G只

有一个公共点且6与G有两个公共点，或6与G只有一个公共点且4与C有两个公共点.

I-Z+2I

当4与G只有一个公共点时，/到4所在直线的距离为2,所以不三=2,故攵=-

44

§或k=0.经检验，当攵=0时/与G没有公共点；当攵=-］时/与G只有一个公共点，

6与C有两个公共点.

1〃+2|

当6与G只有一个公共点时，/到6所在直线的距离为2,所以I——=2，故4=0

44

或攵=］经检验，当〃=0时，4与G没有公共点；当4=1时，6与G没有公共点.

4

综上，所求G的方程为y=--|A|+2.

f-2,x<-1,

23解:(1)当a=1时4M=\x+l\-\x-1|,BP=12x,-1<X<1,故不等式办)>1

2,A>1.

1

的解集为{M45}.

⑵当xe(0,1)时|x+1|-\ax-l|>x成立等价于当xw(0,1)时|ax-1|<1成立.

假设a<0,那么当xe(0,1)时|ax-1|>1;

22

假设a>0,|ax-1|<1的解集为0<*<一，所以一21,故0<a<2.

ad

综上，a的取值范围为(0,2］.

2023年普通高等学校招生全国统一考试•(全国卷口)•理

l+2i[l+2i](l+2i)34

1.解析：选^〔i-2i〕〔l+2i〕=-5+?z应选”

2.

解析：选A.法一：由g+/43知，-\f3<x<y[3,-丑-艮又XGZ,代Z,所

以板{-1,0,1},尺{-1,0,1},所以，中元素的个数为QQ=9,应选A.

法二：根据集合力的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆非+〃

=3中有9个整点，即为集合力的元素个数，应选A.

QX_Q-X

3.解析：选B.当x<0时，因为e*-e-<0,所以此时而=1厂<°，故排除A、D;

1

又*l)=e-->2,故排除C,选B.

e

4.解析：选B.a-(2a-b)=2a2-a-b=2-(-1)=3,应选B.

5.解析：选A.法一:由题意知，e=；=3，所以c=3a，所以,

所以,所以该双曲线的渐近线方程为片±*=土业,应选A.

c/(6年厂b厂b

法二：由1+,得:二42，所以该双曲线的渐近线方程为y=±y

=+\(2x,应选A.

C13

6.解析：选A.因为cosC=2cos2--l=2x--l=所以由余弦定理，得力杼=

AG+BC2-2ACBCCOSC=25+1-2x5xlx-|=32,所以28=4#,应选A.

k'J

1

7.解析：选B.由程序框图的算法功能知执行框N=A/+-1十算的是连续奇数的倒数和，

/

1

而执行框厂=7+一不十算的是连续偶数的倒数和，所以在空白执行框中应填入的命令是/=/

/+1

+2,应选B.

8.解析：选C.不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10

个，从中随机选取两个不同的数有00种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于

31

30的有3对，所以所求概率。=77=在，应选C.

Cfo15

9.解析：选C.

如图，连接BDi,交DBi于O,取48的中点M,连接DM,OM,易知。为班的

中点，所以ADiWOM,那么/例。。为异面直线ADi与DB\所成角.因为在长方体

ABCD-AiBiQDi中，28=8C=1,/Mi=3，/功=山了+3=2,DM=

1I

fl亚-----2----------------/-11

A!>+-AB\=^~,DB1=ylAB+AC^+DDi=^5^XOM=~ADi=l,OD=-DBr

Y7)乙

一怦:-闿苴

亚

=看,于是在△。例。中，由余弦定理,得COSN〃O0=r=*一，即异面

A/55

2xlx-^-

直线ADi与DB、所成角的余弦值为■上应选c.

/n、

10.解析：选A.法一：=cosX-sinx二/cosx+1，且函数y=cosx在区间［0，

TT3n

用上单调递减，那么由0<%+-<n,得1-因为.在［■a，司上是减函数，所以

TT

-抡

4TTTTTT

解得a<-,所以0<皎二，所以a的最大值是二，应选A.

法二:因为/(A)=cosx-sinx,所以/(A)=-sinx-cosx,那么由题意，知/(A)=-

「(0

sinx-cos%<0在［-a,司上恒成立,即sinx+cosx>0,即弋2sinx+-20在［-a,a\

、*

TT

/X-a+/0

上恒成立，结合函数片/sinx+j的图象可知有,解得84：，所以0<aw；,

卜+声,

所以a的最大值是:，应选A.

11.解析：选C.因为立)是定义域为(-8,+8)的奇函数，所以小用=-0)，且4。)

=0.因为41-MM,所以4M=[2-M,大-M=<2+M,所以"2+M,所

以％+M=F2+M=佃，所以4M是周期函数，且f周期为4，所以«)=*0)=0,。)

="+1)=心-1)=/(0)=0,e)=心+2)="-2)=-汽)=-2,所以11)+42)+13)

+«)+...+Q0)=12x0+曲9)+"0)=心)+*2)=2,应选C.

12.

解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如下列图，设|6历|=2c,因为△所6为

等腰三角形，旦乙RFiP=120°,所以仍£|=|后£|=2c,所以|。£|=c,所以点P坐标为(c

+2aos60°,2csin60°),即点R2c中。,因为点。在过点力，且斜率为直线上，

岳J3c11

二手，解得所以刀，应选

所以QVD

2

13.解析：因为y=21n(x+1),所以〃=一.当x=0时，〃=2,所以曲线片21n(x

+1)在点(0,0)处的切线方程为尸0=2(x-0)，即片2x.

答案：y=2x

14.解析：画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影局部所示.作出直线x+y=0,

平移该直线，当直线过点仇5,4)时，z取得最大值，4ax=5+4=9.

答案：9

15.解析：因为sina+cos/3=1,cosa+sin/?=0,所以析r)2a+cos20+2sinacos

夕=1①，cos2a1+sin2y5+2cosasin£=0②，①②两式相加可得sin2cr+cos2a+sin2

1

/?+cos2£+2(sinacos夕+cosasin6=1,所以sin(a+£)=-5.

1

里口宝.---2

16.解析：如下列图，设S在底面的射影为S，连接力S,55工以6的面积为591685m

乙ASB=|s42^/l-cos2z.ASB==5^/15，所以弘2=80,夕1=4下.因为SA与

底面所成的角为45°,所以N，IS=45°,ZS=弘・cos45°=256.所以底面周

___1___

长/=2TV/S=4^/lOn,所以圆锥的侧面积为］x4小、4声冗=4入忸.

答案：40^271

17.解：Q)设｛8〃｝的公差为d,由题意得3力+34=-15.

由西=-7得/2.所以｛a〃｝的通项公式为an=2n-9.

⑵由⑴得Sn=〃-8n=(n-4)2-16.

所以当"=4时，多取得最小值，最小值为-16.

A

18.解：(1)利用模型①，该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值为尸-30.4

+13.5x19=226.1(亿元).

利用模型②，该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值为

A

y=99+17.5x9=256.5(亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

(i)从折线图可以看出，2000年至2023年的数据对应的点没有随机散布在直线片-

30.4+13.51上下，这说明利用2000年至2023年的数据建立的线性模型①不能很好地描述

环境根底设施投资额的变化趋势.2023年相对2023年的环境根底设施投资额有明显增加，

2023年至2023年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2023年开始环境根底设

A

施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2023年至2023年的数据建立的线性模型y=

99+17.51可以较好地描述2023年以后的环境根底设施投资额的变化趋势，因此利用模型

②得到的预测值更可靠.

(ii)从计算结果看，相对于2023年的环境根底设施投资额220亿元，由模型①得到的

预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用

模型②得到的预测值更可靠.

19.解：Q)由题意得,0),/的方程为y=Kx-l)(k>0).

设4*1，川，讥及，刃.

y=k[.x-1],

由1得N/-(2K+4)x+e=0.

4=4x

2N+4

21-16A2+16>0,故然+尤=~~.

一R

4N+4

所以|/同=\Af\+|朋|=(M+1)+/+1)=—,

K

4“+4

由题设知丁二=8,解得k=-1(舍去)，k=1.因此/的方程为片x-1.

⑵由(1)得的中点坐标为(3,2),所以28的垂直平分线方程为外2=-(x-3),即

y--x+5.设所求圆的圆心坐标为(的,次),那么

yb=-At)+5,

1［乂)-汝+1〕2

|〔的+1〕2=-+16,

府=3,Ab=11,

解得或

.乂)=2yb=-6.

因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+3+6)2=144.

20.解：(1)证明：因为AP=O=ZC=4,。为ZC的中点，所以OPVAC,且OP=

2季.

连接皈因为皿心学―为等腰直角三角形,

1

^OBrAC,OB=-^AC=2.

由O部+Oa=P皮知PO1.OB.

由OP\OB,。户，/C知平面ABC.

(2)如图，以。为坐标原点，曲勺方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。-xyz.

由得［0,0,0),讥2,0,0),40,-2,0),Q0,2,0),厘0,0,2木，AP=

(0,2,2、「)•取平面以1C的一个法向量励=(2,0,0).

设Ma,2-a,0)(0<a<2),那么刀指=(a,4-a,0).

设平面外例的法向量为〃=(x,y,Z.

由力。〃=0,/M〃=0彳导

2j/+2yl~3z=0,厂厂

可得"=C]3(a-4)々3a,-a),

ax+〔4-d〕y=0,

,一、23〔a-4〕

所以cos(OB.n)=i/-----.由可得

2勺3[a-4]2+3a2+a2

|cos@,〃〉百,

231a-4|4

所以，解彳导a二・4(舍去),

’2、3〔8-4〕2+3于+于-2

8^/34^/3,

所以,二

3，3'-3;

又走=(0,2,-2yji),所以cos(PC.n)=

4-

所以PC与平面外例所成角的正弦值为

41

21.解：⑴当a=1时，0)21等价于(g+l)e--140.

设函数aM=(4+l)e--1,那么0(M=-(A2-2x+l)e-x=-(x-l)2e-<

当后1时<0，所以在(0,+⑼单调递减.而［0)=0，故当/0时,式球0,

即XA)>1.

⑵设函数/XM=1-a?e-<

4M在(0,+8)只有一个零点当且仅当/XM在(0,+8)只有一个零点.

(i)当把0时，力⑶>0,力⑶没有零点;

(ii)当a>0时，%⑼=ax(x-2)eY当%F(0,2)时，伙团<0;当xw(2,+8)时,H

(M>0.

所以力(切在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.

4a

故力(2)=1--B在［0，+网的最小值.

e2

①假设/2)>0,即,/XM在(0,+8)没有零点；

e2

②假设M2)=0,即,/XM在(0,+8)只有一个零点;

e2

③假设力(2)<0,即a>a，由于力(0)=1,所以/XM在(0,2)有一个零点.

由⑴知，当x>0时，e，>M,所以

16#16#16#1

/7(4a)=1---=1-r,、,>1-_..=1-->0.

e4a〔e2a〕2(r2a)4a

故久用在(2,4a)有一个零点.因此方⑶在(0,+8)有两个零点.

e2

综上，在(0,+8)只有一个零点时，a=1.

*必

22.解：(1)曲线。的直角坐标方程为了+；7=1.

416

当cos'0时，/的直角坐标方程为y=tanax+2-tana,

当cosa=0时，/的直角坐标方程为x=1.

(2)将/的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于f的方程(1+3cos2为2+4(2cos

a+sinol)t-8=0.①

因为曲线C截直线/所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为4,右，那

么ft+力=0.

4(2cosa+sind}

又由①得ti+t2=--------；:-----,故2cosa+sina-0,于是直线/的斜率k

1+3cos2a

=tana--2.

23.解:⑴当a=1时,

2%+4,x<-1,

=，2,-1<x<2,

1-2x+6,x>2.

可得伪20的解集为M-2<%<3}.

⑵的41等价于|x+a|+|x-2|24.

而|x+a\+\x-2\>\a+2\,且当x=2时等号成立.故心)41等价于|a+2|1.

由|a+2住4可得建-6或抡2.所以a的取值范围是(-8,-6]U[2,+oo).

2023年普通高等学校招生全国统一考试・全国m卷・理

I.解析：选c.由题意知，/={M贬1},那么zng={1,2}.

2.解析：选D.(l+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.

3.解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，禅头看不见，

所以是虚线，结合样头的位置知选A.

外7

4.解析：选B.cos2a-1-2sin2a=1-2x-="

⑺9

5.解析：选C.『+i=C§(*)5'=323。-3,，由10-3/^=4,得/^=2,所以旧的系

数为QX22=40.

|2+0+2|广

6.解析：选A.圆心(2,0)到直线的距离d=#=2勺2,所以点。到直线的距离

&曰、/5,3#].根据直线的方程可知4B两点的坐标分别为4-2,0),-2),

所以M用=24，所以A/妙的面积=因为&曰啦，34],所以SW[2,

6],即A/8户面积的取值范围是[2,6].

7.解析：选D.当x=0时，y=2,排除A,B.由〃=-4〃+2x=0,得x