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文档简介
3.2.1双曲线及其标准方程
第2课时
温故知新说明:双曲线定义M点的轨迹是什么?M点的轨迹是焦点F1
所对应的一支;(1)(2)焦点F2
所对应的一支思考2:为什么定义中的距离之差要加绝对值?不加会得到什么?例1.(教材P121探究)如图点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹.解:设M(x,y),ABMOxy则即化简即为所求点M的轨迹方程.故点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线,并去掉点(±5,0).探究双曲线有关的轨迹问题变1.
点A(,0),B(,0),M在椭圆上,探究直线AM,BM的斜率之积否为定值?变式2.已知△ABC的两个顶点B(-1,0),C(1,0),直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),探求顶点A的轨迹.探究双曲线有关的轨迹问题变式2.已知△ABC的两个顶点B(-1,0),C(1,0),直线AB,AC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),探求顶点A的轨迹.解:设A(x,y),则即即①当m=-1时,顶点A的轨迹是以原点为圆心,半径为1的圆,并去掉点(±1,0);②
当-1<m<0时,顶点A的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,并去掉点(±1,0);③
当m<-1时,顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,并去掉点(±1,0).④当m>0时,顶点A的轨迹是焦点在x轴上的双曲线,并去掉点(±1,0).
例2(教材P120例2)已知A、B两地相距800m,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:由A、B两处听到爆炸声的时间差为2s
,可知A、B两处与爆炸点的距离的差为2v(v为声速),因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.又因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上。ABP探究(二)——定义求轨迹方程
例2已知A、B两地相距800m,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
建系如图,|PA|-|PB|=340×2=680故所求双曲线方程为:解:.设爆炸点P(x,y),则想一想:如果A、B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点应在什么样的曲线上?答:爆炸点应在线段AB的中垂线上.
例2
说明,利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程,但不能确定爆炸点的准确位置.
如果再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,..P
解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.
这是双曲线的一个重要应用.新知讲评,例2(课本第127页第5题)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?探究(二)——定义求轨迹方程【解】连接QA,如图所示:因为l为PA的垂直平分线,所以又因为点A在圆外,所以根据双曲线定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴的双曲线.比较教材P115第6题例2(课本第127页第5题)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?探究(二)——定义求轨迹方程探究(二)——定义求轨迹方程例1:“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴
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