2022-2023学年贵州省黔西南州高一下学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省黔西南州2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟）考生注意：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.2.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出答䋈后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：A.2.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故选：B3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以.故选：C.4.将一组从小到大排列的数据如下：50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，这组数据的第60百分位数是（）A.55 B.55.5 C.56 D.56.5〖答案〗B〖解析〗因为这组数据共有10个，而，所以这组数据的第60百分位数为第6个数与第7个数的平均值，即.故选：B.5.下列函数中，在定义域上单调递增的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，在和上为单调递减函数，故A不正确；对于B，在上为减函数，故B不正确；对于C，在上为减函数，故C不正确；对于D，在上为单调递增函数，故D正确.故选：D6.函数在上的最小值是（）A. B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数在上的最小值是3.故选：D7.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心，连接并延长交于，则为的中点，且，依题意，，正三角形的边长为2，所以，，，，所以该三棱锥的侧面积为.故选：B8.如图，在中，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（）.A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗设，，则，解得：所以，即即，则.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的实部是 B.z的共轭复数为C.z的实部与虚部之和为2 D.z在复平面内的对应点位于第一象限〖答案〗ACD〖解析〗由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.故选：ACD.10.样本容量为100的样本，其数据分布在内，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）A.样本数据分布在内的频率为0.32B.样本数据分布在内的频数为40C.样本数据分布在内频数为40D.估计总体数据大约有分布在内〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由题图可得，样本数据分布在内的频率为，故A正确；对于B，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故B正确；对于C，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故C正确；对于D，由题图可估计，总体数据分布在内的比例约为，故D错误．故选：ABC11.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）A.B.直线与面所成角为45°C.线段D.直线面〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以，因为底面是正三角形，为棱的中点，所以，又面，所以面，因为面，所以，故A正确；对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角，因为面，所以，又，所以，则，故B正确；在正中，，则，所以，故C错误；对于D，记的中点为，连接，如图，因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以，，因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，又面，面，所以直线面，故D正确.故选：ABD.12.对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（）A.B.，C.当，，时，则D.〖答案〗ACD〖解析〗中，令，，，，，因为与不共线，则，解得，所以，A正确；对于B，，，则，因此，解得，，B错误；对于C，依题意，，，，，，，，，C正确；对于D，，，于是，解得，则，，同理，，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.已知与的夹角为60°，，，_______________.〖答案〗1〖解析〗由题意知，.故〖答案〗为：1.15.在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为______.〖答案〗〖解析〗依题意，一共有5个球，从中摸出1个球的基本事件有5件，其中2个红球，3个黄球，故事件“摸到红球”的基本事件有2件，则所求概率为.故〖答案〗为：.16.如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是______.〖答案〗〖解析〗过点在平面内作，垂足为点，如图，因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，平面，平面，所以点到平面的距离为，因为四边形为正方形，则，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，，则，又，，，，，由等面积法可得.因此，点到平面的距离为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，（1）求的最小正周期；（2）求的最大值和最小值.解：（1）因为，所以的最小正周期为.（2）因为，所以，则，即，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值2；所以最大值是2，最小值是.18.已知分别为三个内角的对边，且，（1）求；（2）若，且，求的面积.解：（1）因为，显然，则，又，故.（2）根据余弦定理可得，又，，所以，则，所以的面积.19.中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：甲班813283239乙班1225262831如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．（1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．解：（1）甲班样本数据的平均值为，由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；乙班样本数据的平均值为，由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．（2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为，从中任取2人，有，共10种可能，其中都来自甲班的有，共3种可能，所以所求概率．20.如图，在正方体中，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.（1）证明：连接交于，连接，如图，因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，又是的中点，则是的中位线，故，又面，面，所以平面.（2）解：因为正方体中，平面，所以.21.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点．（1）求证：平面；（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值．（1）证明：证法一：在正方形中，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面，因为平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，平面，所以平面，证法二：在正方形中，又侧面底面，侧面交底面于，所以平面，又平面，故平面平面，是正三角形，是的中点，所以又平面交平面于，平面，故平面．（2）解：取，的中点分别为，，连接，，，则，，因，所以，又在正中，，因为，平面，平面，正方形中，，平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，设正方形的边长，则，，所以，所以，即侧面与底面所成二面角的余弦值为.22.在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答.在中，角的对边分别为，且______.（1）求外接圆半径；（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.解：（1）若选①：由正弦定理得：，即，又因为，则，所以，又，则，所以，又，所以，因为，所以由正弦定理得，故.若选②：由正弦定理得：，化简得：，又由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以由正弦定理得，故.若选③：因为，则，则，又由正弦定理得：，又，，所以，即，又因为，则，所以，又，则，所以，又，所以，因为，所以由正弦定理得，故.（2）由正弦定理得：，则，，所以，又，，所以，则，∵为锐角三角形，∴，即，解得：，∴，则，∴，即，故，所以周长的取值范围.贵州省黔西南州2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟）考生注意：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.2.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出答䋈后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故选：A.2.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故选：B3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以.故选：C.4.将一组从小到大排列的数据如下：50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，这组数据的第60百分位数是（）A.55 B.55.5 C.56 D.56.5〖答案〗B〖解析〗因为这组数据共有10个，而，所以这组数据的第60百分位数为第6个数与第7个数的平均值，即.故选：B.5.下列函数中，在定义域上单调递增的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，在和上为单调递减函数，故A不正确；对于B，在上为减函数，故B不正确；对于C，在上为减函数，故C不正确；对于D，在上为单调递增函数，故D正确.故选：D6.函数在上的最小值是（）A. B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数在上的最小值是3.故选：D7.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，正三棱锥中，底面，则为正三角形的中心，连接并延长交于，则为的中点，且，依题意，，正三角形的边长为2，所以，，，，所以该三棱锥的侧面积为.故选：B8.如图，在中，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（）.A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗设，，则，解得：所以，即即，则.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的实部是 B.z的共轭复数为C.z的实部与虚部之和为2 D.z在复平面内的对应点位于第一象限〖答案〗ACD〖解析〗由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.故选：ACD.10.样本容量为100的样本，其数据分布在内，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）A.样本数据分布在内的频率为0.32B.样本数据分布在内的频数为40C.样本数据分布在内频数为40D.估计总体数据大约有分布在内〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由题图可得，样本数据分布在内的频率为，故A正确；对于B，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故B正确；对于C，由题图可得，样本数据分布在内的频数为，故C正确；对于D，由题图可估计，总体数据分布在内的比例约为，故D错误．故选：ABC11.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）A.B.直线与面所成角为45°C.线段D.直线面〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以，因为底面是正三角形，为棱的中点，所以，又面，所以面，因为面，所以，故A正确；对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角，因为面，所以，又，所以，则，故B正确；在正中，，则，所以，故C错误；对于D，记的中点为，连接，如图，因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以，，因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，又面，面，所以直线面，故D正确.故选：ABD.12.对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（）A.B.，C.当，，时，则D.〖答案〗ACD〖解析〗中，令，，，，，因为与不共线，则，解得，所以，A正确；对于B，，，则，因此，解得，，B错误；对于C，依题意，，，，，，，，，C正确；对于D，，，于是，解得，则，，同理，，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.已知与的夹角为60°，，，_______________.〖答案〗1〖解析〗由题意知，.故〖答案〗为：1.15.在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为______.〖答案〗〖解析〗依题意，一共有5个球，从中摸出1个球的基本事件有5件，其中2个红球，3个黄球，故事件“摸到红球”的基本事件有2件，则所求概率为.故〖答案〗为：.16.如图，在多面体中，已知，，，平面平面，四边形是正方形，则点到平面的距离是______.〖答案〗〖解析〗过点在平面内作，垂足为点，如图，因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，平面，平面，所以点到平面的距离为，因为四边形为正方形，则，平面，平面，平面，因为平面，平面平面，，则，又，，，，，由等面积法可得.因此，点到平面的距离为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，（1）求的最小正周期；（2）求的最大值和最小值.解：（1）因为，所以的最小正周期为.（2）因为，所以，则，即，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值2；所以最大值是2，最小值是.18.已知分别为三个内角的对边，且，（1）求；（2）若，且，求的面积.解：（1）因为，显然，则，又，故.（2）根据余弦定理可得，又，，所以，则，所以的面积.19.中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：甲班813283239乙班1225262831如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．（1）请根据样本数据，分别估计甲、乙两班学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．解：（1）甲班样本数据的平均值为，由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；乙班样本数据的平均值为，由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．（2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为，从中任取2人，有，共10种可能