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常微分方程辅导课程七主讲教师:王稳地解的延拓考虑初值问题由存在唯一性定理,解的存在区间为直接求解为y=-1/x,存在区间为局部的Lipschitz条件:定理设f(x,y)在区域G中连续,关于y满足局部的Lipschitz条件,则通过G内任何一点的解可以延拓,直到点任意接近于G的边界
饱和解解的存在区间为最大推论若G是无界区域,饱和解的存在区间为,则有例通解为过(0,0)的解为过(ln2,-3)的解为解对初值和参数的连续依赖性例初值问题解为一般情形:讨论y与x的关系由于实际问题的需要,把y看成x,初值和参数的3元函数,讨论连续性用表示初值问题的解定理设f在区域G上连续,关于y满足局部的Lipschitz条件.又设解定理设f连续,关于y满足一致Lipschitz条件,若解在区间[a,b]
上存在,高阶微分方程目的:是介绍高阶线性微分方程的基本理论和求解方法设f(t)和所有的系数在[a,b]上连续定理(1)存在唯一的解满足(3)对(2)有同样的结果例如果由观察知x=0是(2)满足这个初始条件的解,再由唯一性定理,(2)满足这个初始条件的解只能是x=0齐线性方程解的性质与结构定理目的:这个线性空间的维数注:由(2)的解组成的集合是一个线性空间定义对于函数组如果存在不全为0的常数使得则这个函数组在[a,b]上线性相关,否则是线性无关例考虑解:例考虑函数组如果则必须有如果例函数组线性无关,事实上,设也就是[a,b]中的每一个t都是这个方程的根,因此有无穷多个根,另一方面,如果有一个系数不为0,则是一个不超过n的代数方程,最多有n个根线性相关性的判定方法设k-1次可微定理只要线性相关,就有证明由于求导得
系数行列式为W(t),由于线性方程组有非0解,W(t)=0,t在[a,b]中任意取值推论如果函数组在[a,b]上线性无关例对于函数组1,s
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